Recentemente è stato pubblicato un preprint di Jaijie Chen e Thomas Y. Hou, dove si mostra che il sistema di equazioni di Eulero in tre dimensioni spaziali può avere soluzioni che, pur partendo da dati regolari, “esplodono” dopo un tempo finito. Se ne è parlato anche su in un articolo comparso su Quantamagazine il 16 novembre 2022. Nonostante l’articolo sia ancora un preprint non validato da una procedura di peer review, è interessante cercare di capire il contenuto di questo risultato, anche perché la dimostrazione è stata ottenuta utlizzando in alcune parti  anche calcoli assistiti da computer. Ce ne parla Alberto Valli. 

Cosa sono le equazioni di Eulero? Cosa descrivono? Proviamo a partire da lontano… Leonhard Euler (italianizzato in Eulero; 1707–1783), uno dei più noti matematici della storia, propose in una serie di articoli fra il 1753 e il 1761 l’insieme di equazioni differenziali a derivate parziali che forniscono la descrizione del moto di un fluido non viscoso (si vedano ^{[1 ]}Euler, L., Principes généraux de l’état d’équilibre des fluides, Mémoires de l’Academie des Sciences de Berlin 11, 217–273 (1757)., ^{[2 ]}Euler, L., Principes généraux du mouvement des fluides, Mémoires de l’Academie des Sciences de Berlin 11, 274–315 (1757), ^{[3 ]}Euler, L., Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides, Mémoires de l’Academie des Sciences de Berlin 11, 316–361 (1757)., ^{[4 ]}Euler, L., Principia motus fluidorum, Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 6, 271–311 (1761).). Gli storici ci dicono che questo contributo alla formulazione dei problemi della realtà fisica in linguaggio matematico sia stato preceduto solo dalla descrizione del moto di un’onda proposta da d’Alembert nel 1747.

Le equazioni di Eulero esprimono in forma matematica la conservazione della quantità di moto e della massa, e sono rispettivamente \[\rho \big(\partial_t {\bf v}+ ({\bf v}\cdot \nabla) {\bf v}\big) + \nabla P = \rho {\bf f}\] \[\partial_t {\rho} + \nabla \cdot (\rho {\bf v}) = 0 \, ,\] dove \(\rho\), \({\bf v}\) e \(P\), funzioni dello spazio e del tempo, sono rispettivamente la densità, la velocità e la pressione del fluido e \({\bf f}\) è l’accelerazione delle forze esterne. Qui il simbolo \(({\bf v}\cdot \nabla){\bf v}\) indica il vettore la cui \(i\)-esima componente è data da \(\sum_{j=1}^n v_j\partial_j v_i\), e infine \(\nabla P\) è il gradiente di \(P\) e \(\nabla \cdot {\bf w}\) è la divergenza di \({\bf w}\).

Il sistema sopra descritto ha come incognite \(\rho\), \({\bf v}\), \(P\), dunque più incognite che equazioni: per la sua chiusura manca un’equazione scalare. Per un fluido compressibile si impone una relazione di tipo termodinamico fra pressione e densità, per esempio \(P = A \rho^\gamma\), con \(A >0\) e \(\gamma > 1\) costanti note. Nel caso di un fluido incompressibile deve essere aggiunta l’equazione che esprime la conservazione del volume di ogni porzione di fluido, equazione che è data da \[\nabla \cdot {\bf v}= 0 \, .\] Tenendo conto di quest’ultima equazione la conservazione della massa si riscrive come un’equazione di trasporto \[\partial_t {\rho} + { \nabla\rho\cdot \bf v}= 0 \, ,\] che ha soluzione \(\rho({\bf x},t)= \rho_0\) se il fluido all’istante iniziale ha densità costante \(\rho_0 >0\) (la soluzione \(\rho\) è data dalla densità iniziale calcolata lungo le linee caratteristiche del campo \({\bf v}\)). Si noti a questo riguardo che un fluido incompressibile non è necessariamente a densità costante: lo è solo quando lo è all’istante iniziale (come esempio fisico di un fluido incompressibile a densità non costante si pensi ad una miscela, non omogenea, di acqua salata e di acqua dolce).

Se il fluido all’istante iniziale ha densità costante \(\rho_0\) il sistema di Eulero diventa quindi quello più universalmente noto \[\hbox{[Euler]}
\left\{
\begin{array}{ll}
\partial_t {\bf v}+ ({\bf v}\cdot \nabla) {\bf v}+ \nabla p = {\bf f}\\
\nabla \cdot {\bf v}=0 \, ,
\end{array}
\right.\] ove \(p = \frac{P}{\rho_0}\). Ad esso si aggiunge la condizione iniziale \({\bf v}_{|t=0} = {\bf v}_0\) e, nel caso in cui il dominio \(\Omega\) occupato dal fluido sia limitato, la condizione di scorrimento al bordo: \({\bf v}_{|\partial \Omega} \cdot {\bf n}= 0\), essendo \({\bf n}\) il versore normale su \(\partial \Omega\). Si noti che la prima equazione del sistema [Euler] è nonlineare, con una nonlinearità di tipo quadratico.

Quali risultati matematici sono noti per questo sistema? Fin dagli anni ’30 del secolo scorso si sa che, se la dimensione spaziale è uguale a 2 e sotto opportune ipotesi su \({\bf f}\), \({\bf v}_0\) e \(\Omega\), esiste una soluzione \(({\bf v},p)\) di energia finita (cioè con \({\bf v}\) a quadrato sommabile) globale in tempo, e questa soluzione è unica (a meno di una funzione del solo tempo che può essere aggiunta a \(p\)). Ricordiamo qui che con globale in tempo si intende una soluzione che è definita per tutti i tempi successivi a quello iniziale, e non manifesta comportamenti “esplosivi” (blow-up). Si noti che per un problema di evoluzione una nonlinearità quadratica può essere responsabile di blow-up della soluzione, come si vede dall’equazione differenziale ordinaria \(y'(t)=y^2(t)\), \(y_{|t=0}=y_0 >0\), che ha per soluzione \(y(t) = \frac{y_0}{1-y_0t}\).

Il punto fondamentale della dimostrazione dell’esistenza globale per l’equazione di Eulero bidimensionale è che la vorticità \(\omega = \hbox{rot} \, {\bf v}= \partial_1 v_2 – \partial_2 v_1\) per un campo \({\bf v}\) a divergenza nulla soddisfa all’equazione di trasporto \[\partial_t \omega + {\bf v}\cdot \nabla \omega = \hbox{ rot} \, {\bf f}\, ,\] poiché \(\hbox{ rot} \, \nabla p = 0\) e (in due dimensioni!) \(\hbox{ rot} [({\bf v}\cdot \nabla) {\bf v}] = (\nabla \cdot {\bf v}) \omega + {\bf v}\cdot \nabla \omega\). Quindi la vorticità è esprimibile integrando il termine forzante \(\hbox{ rot} \, {\bf f}\) lungo le linee caratteristiche del campo \({\bf v}\), ed è immediato dimostrare per essa delle stime a priori in funzione dei dati del problema. Le stime sulla vorticità permettono di ottenere altre stime per \({\bf v}\) e \(p\): prendendo come esempio il caso di un dominio limitato \(\Omega\), per la velocità tramite la soluzione del sistema ellittico

\[\left\{
\begin{array}{ll}
\hbox{rot} \, {\bf v}= \omega &\hbox{in} \ \Omega \\
\nabla \cdot {\bf v}= 0 &\hbox{in} \ \Omega \\
{\bf v}\cdot {\bf n}= 0 &\hbox{su} \ \partial\Omega\\
{\bf v}\, \bot \, {\cal H}_\Omega \, ,
\end{array}
\right.\]

(qui \({\cal H}_\Omega\) è lo spazio dei cosiddetti campi armonici di Neumann, che è triviale se \(\Omega\) semplicemente connesso), e quindi per la pressione tramite la soluzione del problema di Neumann \[\left\{
\begin{array}{ll}
\Delta p = \nabla \cdot {\bf f}- \sum_{i,j=1}^n \partial_i v_j \partial_j v_i &\hbox{ in} \ \Omega\\
\nabla p\cdot {\bf n}= {\bf f}\cdot {\bf n}+ \sum_{i,j=1}^n v_{j} v_{i} \partial_j n_i &\hbox{ su} \ \partial \Omega
\end{array}
\right.\]

(ottenuto operando sull’equazione [Euler]\(_1\) facendone la divergenza e il prodotto scalare con \({\bf n}\) sulla frontiera). La situazione è drasticamente differente in tre dimensioni, poiché ora si ha \({\boldsymbol{\omega}}= \hbox{rot} \, {\bf v}= (\partial_2 v_3 – \partial_3 v_2,\partial_3 v_1 – \partial_1 v_3,\partial_1 v_2 – \partial_2 v_1)\) e \[\hbox{rot} [({\bf v}\cdot \nabla){\bf v}] = (\nabla \cdot {\bf v}) {\boldsymbol{\omega}}+ ({\bf v}\cdot \nabla) {\boldsymbol{\omega}}- ({\boldsymbol{\omega}}\cdot \nabla) {\bf v}\, ,\] per cui a causa della presenza del termine \(- ({\boldsymbol{\omega}}\cdot \nabla) {\bf v}\) la vorticità \({\boldsymbol{\omega}}\) non è più esprimibile tramite integrazione dei soli dati del problema lungo le linee caratteristiche (la sua evoluzione è guidata anche dai valori dello jacobiano di \({\bf v}\)).

Nel caso in cui il dominio spaziale sia \(\mathbb{R}^3\) e il termine forzante \({\bf f}\) sia nullo nel 1984 Beale, Kato e Majda ^{[5 ]}Beale, J.T., Kato, T., Majda, A., Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations, Commun. Math. Phys. 94, 61–66 (1984) hanno individuato un importante criterio per verificare la possibile presenza di blow-up per soluzioni di energia finita: se l’integrale \[\int_0^T \|{\boldsymbol{\omega}}(t)\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)} dt\] è finito (e sono soddisfatte opportune condizioni di regolarità e di decadimento in spazio per la vorticità iniziale) allora la soluzione rimane regolare per \(t \in [0,T]\), mentre se l’integrale è infinito si ha un blow-up prima di \(T\). (Il criterio poi è stato esteso nel 1993 da Ferrari^{[6 ]}Ferrari, A.B., On the blow-up of solutions of the 3-D Euler equations in a bounded domain, Commun. Math. Phys. 155, 277–294 (1993). e Shirota e Yanagisawa^{[7 ]}Shirota, T., Yanagisawa, T., A continuation principle for the 3-D Euler equations for incompressible fluids in a bounded domain, Proc. Japan Acad. 69, Ser. A, 77–82 (1993). al caso di un dominio limitato \(\Omega\).)

Questo risultato mette quindi in evidenza che l’elemento cruciale per stabilire l’esistenza di un blow-up è il comportamento della vorticità \({\boldsymbol{\omega}}\).

Veniamo dunque al recente lavoro di Chen e Hou (un preprint di 177 pagine!). Il sistema di Eulero viene considerato in un cilindro \(\Omega\) a base circolare e di altezza finita; sul bordo laterale del cilindro si considera la condizione \({\bf v}\cdot {\bf n}= 0\), mentre nella direzione verticale si assumono condizioni di periodicità (questa scelta permette una certa semplificazione del problema: ma non ne cambia le caratteristiche più significative, poiché la condizione al bordo di scorrimento è comunque presente su una parte della frontiera). A grandi linee, l’idea della dimostrazione è questa:

• partire da una possibile soluzione auto-simile (“self-similar”), cioè sostanzialmente della forma \[{\boldsymbol{\omega}}({\bf x},t) = \frac{1}{1-t} \, {\bf F}\Big(\frac{{\bf x}}{(1-t)^\kappa}\Big) \ \ , \ \ \kappa > 0\] (incorporando cosı̀ in modo esplicito un blow-up a tempo \(1\)) e riscrivere per essa l’equazione di vorticità (questo tipo di approccio è stato proposto fin dalla metà degli anni ’80 del secolo scorso per studiare il possibile blow-up delle soluzioni dell’equazione di Schrödinger, ed è stato recentemente utilizzato per altre equazioni in fluidodinamica)
• semplificare il modello ottenuto fino ad ottenere un modello riscalato “fondamentale”
• dimostrare, utilizzando opportuni schemi numerici, che questo sistema riscalato “fondamentale” ha una soluzione stazionaria approssimata
• provare che questa soluzione approssimata è asintoticamente stabile, mostrando cosı̀ che ci sono dati iniziali sufficientemente vicini alla soluzione stazionaria trovata che generano soluzioni con blow-up a tempo finito.

La parte più delicata del procedimento è quella della stabilità, che viene divisa in un primo risultato di stabilità lineare, per poi giungere a quello nonlineare. Qui la dimostrazione si inoltra in una miriade di sottocasi delicati, in cui spesso occorre utilizzare approcci ad hoc, non escluso passaggi che usano calcoli assistiti da computer. Estrema attenzione è rivolta al controllo degli errori di approssimazione, usando metodi numerici ad alta accuratezza e verifiche legate all’aritmetica degli intervalli (“interval arithmetic”). Ma questa parte, che necessita una grande quantità di stime delicate, può lasciare margini di dubbio a chi volesse poter verificare “a mano” tutti i passaggi dei calcoli.

Prima di continuare, aggiungiamo due parole a margine per contestualizzare il risultato di Chen e Hou nella letteratura recente e meno recente nell’ambito della fluidodinamica.

De Lellis e Székelyhidi, in tre celebrati articoli pubblicati fra il 2009 e il 2013 (si veda in particolare questo articolo^{[8 ]}De Lellis, C., Székelyhidi, L., Jr., Dissipative continuous Euler flows, Invent. Math. 193, 377–407 (2013).), hanno mostrato che esistono soluzioni deboli (distribuzionali) dell’equazione di Eulero che hanno supporto compatto in spazio e tempo. Questo in particolare dimostra la non unicità della soluzione (oltre che la violazione del principio di conservazione dell’energia), segnalando come le soluzioni deboli dell’equazione di Eulero siano fisicamente non accettabili. Non ne deriva però che, in corrispondenza di dati regolari, ci possano essere soluzioni di energia finita che manifestano un blow-up.

Più recentemente Albritton, Brué e Colombo^{[9 ]}Albritton, D., Brué, E., Colombo, M., Non-uniqueness of Leray solutions of the forced Navier–Stokes equations, Ann. of Math. (2) 196, 415–455 (2022)., vedi anche l‘intervista su MaddMaths! a Maria Colombo, hanno preso in considerazione le equazioni di Navier–Stokes (il termine diffusivo \(\nu \Delta {\bf v}\), dove la costante \(\nu > 0\) è la viscosità cinematica, viene aggiunto a destra dell’uguale in [Euler]\(_1\), e la condizione al bordo viene sostituita da \({\bf v}_{|\partial \Omega}= {\bf 0}\)). Per queste equazioni è da quasi un secolo ben noto che esistono soluzioni deboli globali in tempo in una classe che viene detta di “Leray–Hopf con diseguaglianza locale dell’energia”. È stato a lungo un problema aperto se il risultato di unicità valesse in questa classe (la risposta positiva chiuderebbe uno dei sei problemi del millennio del Clay Institute ancora irrisolti!). In [ABC] viene data risposta negativa alla questione, e si mostra l’esistenza di due soluzioni distinte con dato iniziale nullo e un opportuno termine forzante \({\bf f}\). La costruzione dell’esempio trae spunto da certi risultati sull’equazione di Eulero, in particolare un punto nodale è stato quello di trovare una soluzione stazionaria regolare e instabile dell’equazione di Eulero in \(\mathbb{R}^3\). Questa soluzione è sostanzialmente un anello di vorticità dato da una soluzione assi-simmetrica della forma \({\bf v}= a(r,z){\bf e}_r + b(r,z) {\bf e}_z\) (ossia senza la componente lungo \({\bf e}_\theta\) o, come si dice, senza “swirl”), che porta a una vorticità \({\boldsymbol{\omega}}= q(r,z) {\bf e}_\theta\) puramente “swirl”: e qui si vedono riapparire le idee di certe costruzioni di Chen e Hou.

Torniamo ora al lavoro di Chen e Hou, e in particolare a commentare uno dei punti su cui già si sono mosse obiezioni: il fatto che una parte della dimostrazione sia stata ottenuta tramite l’utilizzo del computer. La questione quindi assume aspetti epistemologici: che cosa è una dimostrazione matematica?

Chi scrive è abbastanza persuaso che la definizione che più si avvicina alla realtà sia che una dimostrazione è qualcosa che convince gli esperti e le esperte del settore. In questo senso, dunque, la domanda diventerebbe: una dimostrazione che utilizza un computer convince gli esperti e le esperte del settore?

Nel 1976 Appel e Haken diedero una dimostrazione del teorema dei quattro colori in cui una parte consistente dell’argomentazione era svolta da un computer (bisognava verificare che in un numero di casi estremamente alto una procedura finita ma tutt’altro che semplice poteva essere condotta a termine: e questo era fuori dalla portata di un essere umano). A distanza di quasi cinquanta anni il teorema ora sembra dato per acquisito (anche se per una decina di anni ci furono controversie, e solo dopo una ventina di anni le acque diventarono più quiete a seguito dell’individuazione di nuove dimostrazioni più semplici, sia pure ancora basate sull’uso di un computer). Gli esperti e le esperte hanno infine detto sı̀.

Nel 2018 Atiyah, medaglia Fields nel 1966 e insignito dell’Abel Prize nel 2004, annunciò di aver dimostrato l’ipotesi di Riemann. La breve dimostrazione, in cui alcune affermazioni erano date per vere ma non esplicitamente provate, non venne considerata soddisfacente (anche se, essendo troppo vaga, non era così semplice mostrare che non fosse corretta). In questo caso gli esperti e le esperte hanno detto no (anche se si trattava di smentire Atiyah!).

Nel caso di Chen e Hou l’utilizzo del computer ha un ruolo non tanto nel verificare che una casistica troppo ampia per essere affrontata da opera umana dà le risposte richieste, ma: primo, per costruire una soluzione approssimata che viene poi utilizzata a livello teorico; secondo, e soprattutto, per “dimostrare” che sono vere certe stime analitiche, alcune delle quali anche basate su questa soluzione approssimata. E qui può in effetti presentarsi qualche fondata obiezione procedurale, anche se gli autori non si mostrano indifferenti a questo delicata questione, e forniscono dettagliate (ma non sempre semplici) spiegazioni atte a supportare la correttezza del loro procedere.

Per concludere, chi scrive ritiene che ci sia un altro aspetto da non sottovalutare, e cioè che il preprint di Chen e Hou è lungo 177 pagine. Chi fa ricerca matematica sa che per leggere in profondità una sola pagina specialistica può richiedere varie ore, a volte giorni; per leggerne 177 su un argomento cosı̀ avanzato ed importante bisogna mettere in conto mesi di lavoro dedicato. È probabile che qualcuno lo faccia, ma quanti? E con quanta attenzione? Si cercano volontari…

Sarà dunque vero che nel caso tridimensionale certe soluzioni dell’equazione di Eulero hanno un blow-up? La mia sensazione è che la lunga e complessa dimostrazione di Chen e Hou non troverà il consenso della comunità matematica: non tanto e non solo per la presenza della parte assistita da computer, ma per il fatto che il procedimento su cui si basa è molto (troppo…) articolato e di conseguenza per essere validato necessiterebbe dell’attenta verifica di una esorbitante quantità di stime molto delicate. Alla fin fine l’onere della prova di ogni risultato matematico sta agli autori; e questa prova deve essere esposta con doveroso dettaglio e trasparente chiarezza. Due aspetti che in qualche modo confliggono se la dimostrazione richiede centinaia di pagine, una casistica estremamente ampia e innumerevoli maggiorazioni (oltre che il supporto di un computer).

In conclusione, per avere risposta sul possibile blow-up un buon suggerimento finale potrebbe essere quello di guardare su Wikipedia fra vent’anni…

Alberto Valli

Immagine di copertina: dettaglio da Euler L. Principia motus fluidorum, Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 6, 271–311 (1761). Per la prima volta viene introdotto il vincolo di divergenza nulla.