Un nuovo approccio alla risoluzione delle equazioni polinomiali di grado superiore è stato proposto da Norman Wildberger dell’Università del Nuovo Galles del Sud in collaborazione con l’informatico Dean Rubine. Il metodo, descritto in un articolo pubblicato sulla rivista The American Mathematical Monthly, si basa su estensioni delle serie di potenze e introduce una nuova classe di sequenze numeriche con l’obiettivo di ottenere soluzioni non approssimate a problemi finora affrontati principalmente con metodi numerici. 

Nel 1832, il matematico francese Évariste Galois dimostrò che non è possibile trovare una formula generale per le equazioni di quinto grado o superiore, utilizzando solo radicali, ponendo un limite teorico importante alla risolubilità algebrica dei polinomi. Negli anni successivi sono stati sviluppati metodi di approssimazione numerica per le equazioni di grado superiore tuttavia, secondo Wildberger, questi approcci non rientrano nell’algebra in senso stretto, poiché non forniscono una soluzione espressa in termini simbolici.

Il suo nuovo metodo parte da una posizione teorica che non accetta l’uso dei numeri irrazionali e dei radicali nelle formule risolutive. Secondo Wildberger, questi concetti implicano una rappresentazione infinita che non può essere trattata in modo finito né computabile. Come esempio, cita la radice cubica di 7, ossia \(\sqrt[3]{7}\), che produce una sequenza decimale infinita e non ripetitiva. Wildberger ritiene che l’uso di numeri irrazionali implichi un’assunzione problematica sull’infinito e introduca complicazioni logiche nella matematica. Questa posizione lo ha portato in passato allo sviluppo di teorie alternative, come la trigonometria razionale e la geometria iperbolica universale, che escludono l’uso di funzioni trascendenti come seno e coseno.

Il nuovo metodo proposto evita dunque del tutto i radicali facendo invece uso di serie di potenze troncando le quali è possibile ottenere valori numerici approssimati utili per la verifica dei risultati. Tra i test eseguiti, Wildberger cita un’equazione cubica nota del XVII secolo, utilizzata da John Wallis per illustrare il metodo di Newton. La soluzione ottenuta tramite la nuova tecnica ha prodotto risultati coerenti. Il cuore teorico del metodo si basa su nuove sequenze numeriche di tipo combinatorio, che rappresentano relazioni geometriche complesse. In particolare, il lavoro parte dall’analogia con i numeri di Catalan, che contano, tra l’altro, i modi in cui è possibile dividere un poligono in triangoli con diagonali non intersecanti. Questi numeri compaiono anche in informatica, nella teoria dei giochi e in biologia molecolare. L’idea di Wildberger e Rubine è che, così come i numeri di Catalan sono collegati alle equazioni quadratiche, esistano analoghi di ordine superiore per i polinomi di grado più elevato. Hanno quindi introdotto una nuova struttura numerica denominata “Geode”, che estende i numeri di Catalan a più dimensioni.

Secondo gli scienziati, il Geode potrebbe rappresentare una base utile per una soluzione logica generale delle equazioni polinomiali, incluse quelle di quinto grado, finora considerate non risolvibili con metodi simbolici. Oltre all’interesse teorico, il metodo potrebbe trovare applicazioni nell’ambito della programmazione matematica e nella costruzione di algoritmi per la risoluzione simbolica di equazioni. Utilizzando l’approccio delle serie di potenze, i software matematici potrebbero evitare il ricorso a numeri irrazionali e radicali, migliorando precisione e efficienza in alcune circostanze oltre, infine, a offrire spunti per ulteriori ricerche nel campo della matematica combinatoria.