Tre matematici cinesi sembrano aver fatto un passo avanti ritenuto straordinario su un problema vecchio di 2000 anni riguardante il numero di punti razionali su una curva. Il team, che include Xinwen Yuan dell’Università di Pechino, ha sviluppato una formula per il limite superiore del numero di punti razionali su curve algebriche. Come si legge nello studio pubblicato su arXiv, la formula trovata fornisce un limite massimo teorico che il numero di punti razionali non può superare (anche se il numero esatto resta sconosciuto) per tutte le equazioni di curve di quarto grado o superiore.

Fin dai tempi dell’antica Grecia, i matematici cercano i punti razionali sulle curve algebriche, ovvero quelli con coordinate (X,Y) intere o frazionarie. Ad esempio, nell’equazione di una circonferenza, X²+Y²=1, il punto (1, 0) è un punto razionale sulla circonferenza. Si tratta di punti molto utili anche nella vita reale dato che, per esempio, i punti razionali sulle curve ellittiche hanno contributo alla crittografia, e la crittografia a curve ellittiche è ora utilizzata in vari campi, dagli smartphone all’e-commerce.

Da molto tempo i matematici stanno cercando di capire se il numero di punti razionali sia finito o infinito e questo è diventato un problema centrale nella teoria dei numeri. Alcune curve, come le circonferenze, hanno un numero infinito di punti razionali. In generale, un’equazione quadratica, in cui il grado di X o Y non supera 2, non ha punti razionali o ne ha infiniti. Per le curve cubiche, alcune hanno un numero infinito di punti razionali, mentre altre ne hanno un numero finito.

Nel 1922, il matematico britannico Louis Mordell ipotizzò che, se il grado dell’equazione di una curva è quattro o superiore, il numero di punti razionali è sempre finito. Sessantuno anni dopo, nel 1983, questa congettura è stata dimostrata dal matematico tedesco Gerd Faltings, che per questo ha vinto la Medaglia Fields nel 1986. Questo risultato, noto come “teorema di Faltings”, stabilì che le curve di quarto grado o superiore hanno un numero finito di punti razionali, senza però rivelarne il numero preciso. Da allora, i matematici hanno cercato una formula per determinare questo numero. Ora, la formula sviluppata dai matematici cinesi stabilisce il limite superiore in base al grado dell’equazione della curva e a una struttura geometrica chiamata varietà jacobiana e si scopre anche che il limite superiore tende ad aumentare all’aumentare del grado. Wansu Kim, professore al KAIST, Istituto Coreano di Scienza e Tecnologia Avanzata della Corea del Sud, spiega: “Il risultato in sé è importante, ma la metodologia utilizzata nella dimostrazione sarà utile anche per risolvere altri problemi. Data la natura del settore matematico, ci vorrà del tempo prima che venga pubblicato su una rivista peer-reviewed, ma è uno studio degno di nota la cui direzione generale della dimostrazione viene accettata come corretta”.