OpenAI ha annunciato un ulteriore progresso nella capacità di ragionamento dei suoi modelli linguistici, uno dei quali ora ha risolto un problema matematico vecchio di 80 anni. L’azienda, che è prossima alla quotazione a Wall Street, ha dichiarato infatti di aver raggiunto un risultato fondamentale su un problema posto per la prima volta dal matematico ungherese Paul Erdős nel 1946: il problema della distanza unitaria planare. La domanda posta da Erdős era: se si tracciano dei punti su un foglio, quante coppie si possono trovare alla stessa distanza l’una dall’altra? Erdős ipotizzò che il numero di queste coppie sarebbe aumentato solo poco più velocemente rispetto al numero dei punti stessi.

Ebbene, il modello di OpenAI ha smentito questa previsione. Attingendo a diverse branche della matematica, il modello ha scoperto una famiglia di configurazioni che superano il limite precedentemente ipotizzato da Erdős. Il problema più ampio rimane, tuttavia, irrisolto, perché l’IA non ha fornito una risposta sulla velocità con cui sale il numero delle coppie di punti, dimostrando solo che il limite proposto da Erdős era troppo basso. Un risultato comunque notevole che diventa ancora più significativo considerando che, stando a quanto dichiarato da OpenAI, i calcoli sono stati effettuati da un modello di ragionamento generico, che scompone i problemi in passaggi più piccoli, piuttosto che da un sistema addestrato specificamente per la matematica.

Più specificatamente, sia \(u(n)\) il massimo numero possibile di coppie a distanza unitaria tra \(n\) punti nel piano. È facile costruire esempi che presentano crescita lineare, basta disporre \(n\) punti su una linea retta per avere \(n-1\) coppie, mentre una griglia quadrata ne fornisce circa \(2n\). Da questa si poteva dedurre la costruzione precedentemente considerata finora come la migliore, ossia con il maggior numero di coppie a distanza unitaria, che aveva una stima del tipo: \(n^{1 + C/\log\log(n)}\) per una costante \(C\). Poiché \(\log\log(n)\) tende all’infinito al tendere di \(n\) all’infinito, il termine aggiuntivo all’esponente tende a \(0\), il che significa che questo tipi di costruzioni raggiungono una crescita solo leggermente più veloce di quella lineare. Per decenni si è ampiamente creduto che questa stima fosse essenzialmente la migliore possibile e che nessuna costruzione potesse migliorare significativamente rispetto alla griglia quadrata. In termini tecnici, Erdős congetturò un limite superiore di \(n^{1+o(1)}\), in cui il termine aggiuntivo \(o(1)\) indica un termine che tende a \(0\) con \(n\).

Il nuovo risultato di OpenAI nega questa congettura. Più precisamente, per infiniti valori di \(n\), la dimostrazione costruisce configurazioni di \(n\) punti con almeno \(n^{1+\delta}\) coppie a distanza unitaria, per un qualche esponente fisso \(\delta > 0\).

Questo lavoro è stato convalidato da matematici umani, e Open AI ha pubblicato un articolo di commenti tra cui quello Thomas Bloom, che gestisce il sito Web che raccoglie i problemi di Erdős (e che aveva in passato criticato affermazioni di OpenAI su Erdős). Secondo Bloom, “Il sistema di Intelligenza Artificiale ha raggiunto questi risultati insistendo su percorsi che un essere umano avrebbe potuto scartare ritenendoli non meritevoli di essere esplorati. Sebbene la dimostrazione originale prodotta dall’IA fosse già valida, è stata poi ulteriormente perfezionata da ricercatori umani di OpenAI e da molti altri matematici coinvolti in questo lavoro. L’essere umano continua ad avere un ruolo vitale”.

Il matematico Tim Gowers ha descritto il risultato come “una pietra miliare nella matematica dell’IA”. “Non c’è dubbio che la soluzione al problema della distanza unitaria rappresenti una pietra miliare nella matematica basata sull’Intelligenza Artificiale: se un essere umano avesse scritto l’articolo e lo avesse presentato agli Annals of Mathematics, per esempio, e mi fosse stato chiesto un parere immediato, ne avrei raccomandato l’accettazione senza alcuna esitazione. Nessuna dimostrazione generata da un’IA in precedenza si è mai avvicinata a questo risultato”. Gowers ha anche aggiunto: “La mattina dopo (l’annuncio via Zoom) io e gli altri autori di questi commenti abbiamo ricevuto un’email con il risultato, e solo allora ho capito che la congettura era stata dimostrata essere falsa, piuttosto che vera. Ed è stato un bel sollievo. (…) senza sapere nulla della soluzione, riesco a immaginare più facilmente un modello che produce un controesempio, anche se non ha alcune capacità matematiche essenziali, piuttosto che immaginarlo fornire una dimostrazione completa del risultato.”

Immagine di copertina: Costruzione che riporta quella che si credeva essere la migliore costruzione possibile di molti punti a distanza unitaria su una griglia quadrata. Fonte: @OpenAI