Nel 1995, Michel Talagrand si chiese se la convessità potesse essere “creata” in un numero fisso e uniforme di passaggi (utilizzando operazioni chiamate “somme di Minkowski”) in dimensione qualsiasi. Ricordiamo che una forma o una funzione sono convesse quando si incurvano verso l’esterno, garantendo l’assenza di spazi vuoti o rientranze in modo che qualsiasi linea tracciata da due punti sul perimetro o all’interno della forma ricada completamente all’interno della forma stessa. Per esempio, un cerchio o un quadrato in due dimensioni, o una sfera o un cubo in tre dimensioni, sono considerati convessi.

La congettura di convessità di Talagrand necessita delle somme di Minkowski, operazioni matematiche che combinano due insiemi di punti o forme geometriche sommando ogni singolo punto del primo insieme a ogni punto del secondo. All’aumentare del numero di dimensioni, la faccenda però si complica. Alcuni matematici infatti si riferiscono al problema posto da Talagrand come alla “maledizione della dimensionalità” (che fa sì che sia la complessità geometrica che il tempo di calcolo delle forme risultanti aumentino esponenzialmente mentre si vaglia la congettura).

Lo stesso Talagrand non riteneva che la congettura di convessità fosse risolvibile e offrì 2000 dollari a chiunque fosse in grado di fornirne la dimostrazione. “Ho fatto questa audace congettura senza alcun fondamento, sapete, è solo un tentativo alla cieca. Quando si dice una cosa del genere, si ha la sensazione che non possa essere vera”, ha dichiarato in proposito in passato.

Nel suo articolo del 1995 Talagrand dimostrò che due somme di Minkowski non sono sufficienti a garantire la creazione di un ampio sottoinsieme convesso. Nel 2025, un altro matematico ha mostrato che sostituendo la somma di Minkowski con operazioni convesse, questa versione più forte del problema della convessità risultava falsa. Tuttavia, non era ancora risolta la versione più generale del problema di Talagrand.

Ora, una nuova dimostrazione è stata elaborata da Dongming Hua e Antoine Song del California Institute of Technology, e da Stefan Tudose dell’Università di Princeton. Insieme, i matematici hanno riformulato la congettura geometrica di Talagrand convertendolo in un problema di teoria della probabilità e vettori casuali. Come si legge nell’articolo postato su arXiv, i tre hanno dimostrato una congettura equivalente nella teoria della probabilità, mostrando che qualsiasi vettore casuale 1-subgaussiano in n dimensioni può essere espresso come somma di tre vettori casuali gaussiani standard.

Questo risultato risolve il problema di convessità di Talagrand, dimostrando che per qualsiasi insieme sufficientemente grande nello spazio gaussiano, è possibile trovare un insieme convesso di misure significative all’interno di una tripla somma dell’insieme originale. La soluzione conferma anche un analogo combinatorio del problema, importante per la matematica discreta.

Inizialmente, Song e Hua hanno affermato di aver tentato di trovare una soluzione con l’aiuto di ChatGPT. Tuttavia, sebbene il modello LLM abbia contribuito a rispondere ad alcune delle loro domande e ad avvicinarli a una soluzione, è stato Tudose a fornire la dimostrazione finale. In definitiva, il team non ha utilizzato il lavoro svolto con ChatGPT. Nel loro articolo, il team scrive che la dimostrazione di Tudose era “più generale e concettuale”.

La soluzione a questo mistero matematico vecchio di decenni collega geometria, probabilità e combinatoria, e fornisce alcune sorprendenti connessioni tra il mondo continuo e quello discreto. La soluzione alla congettura di Talagrand potrebbe avere un impatto sulla scienza dei dati, sull’apprendimento automatico e su ambiti come l’ottimizzazione logistica, dove sono molto diffusi modelli simili che coinvolgono la casualità complessa