Formula di Eulero, Teorema di Eulero, Funzione di Eulero, Caratteristica di Eulero, Costante di Eulero, Numeri di Eulero, Metodo di Eulero, … L’elenco potrebbe continuare a lungo; basta scorrere le voci di wikipedia per farsi un’idea. In effetti, Eulero è stato uno dei matematici più prolifici della storia: ha scritto 886 pubblicazioni, tra libri e articoli. È una scommessa pressoché sicura che ogni matematico ha il suo “Teorema di Eulero'” o la sua “Formula di Eulero” preferita. La Matematica è piena di Eulero! è una serie che raccoglie le scelte di alcuni membri del comitato di redazione di MaddMaths!, ai quali abbiamo chiesto di presentare uno di questi argomenti ai nostri lettori e lettrici. Il secondo episodio “le equazioni della fluidodinamica” è a cura di Marco Menale.

Per il secondo episodio di questa serie passiamo all’Eulero fisico-matematico, forse uno due primi fisici-matematici in senso moderno. Lo facciamo con il suo lavoro nella modellistica fluidodinamica, almeno per quanto riguarda i fluidi incomprimibili e non-viscosi, più noti come fluidi ideali. Qui ricaverermo il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali giunto a noi come Equazioni di Eulero della fluidodinamica.

Come spesso accade nella matematica, anche in questo caso è difficile individuare l’anno esatto in cui Eulero ottenne questi risultati, così come l’articolo o libro originali. Le ipotesi che vanno per la maggiore sono due: 1755 e 1757, date di uscita di “Institutiones calculi differentialis” e “Principes généraux de l’état d’équilibre des fluides”, rispettivamente. Stando alla pagina wikipedia, pare che già nel 1752 Eulero abbia presentato le sue equazioni all’Accademia di Berlino. Questo articolo non risolverà la questione; anzi, non rientra proprio negli intenti di chi scrive. Infatti, per la presentazione delle equazioni di Eulero ci rifacciamo alla più attuale e comoda notazione riportata nel libro “Fluid Mechanics, di L.D. Landau e E.M. Lifshitz”. Oltre qualche semplificazione per rendere più chiari i ragionamenti, provando a ripercorrere quelli modellistici di fluidodinamica di Eulero, o almeno quelli che pensiamo abbia potuto seguire.

L’obiettivo è studiare il moto di un fluido, guardandolo come un mezzo continuo; non possiamo certo descrivere la dinamica molecola per molecola. Consideriamo la sua velocità \(\mathbf{v}=\mathbf{v}(x,\,y,\,z,\,t)\) e le grandezze termodinamiche pressione \(p\) e densità \(\rho\). Per quanto detto, con velocità \(\mathbf{v}(x,\,y,\,z,\,t)\) del fluido nella posizione \((x,\,y,\, z)\) e all’istante \(t\) non ci riferiamo alla velocità di una singola molecola, ma a quella di una porzione infinitesima di fluido che transita in \((x,\, y,\, z)\), all’istante \(t\).

Per ottenere le equazioni di evoluzione, consideriamo un volume \(V_0\) di fluido, come quello in Figura 1. In questo volume c’è una quantità di fluido

\[\int _{V_0}\rho \, dV.\]

 

 

La quantità di fluido che attraversa un elemento di superficie di \(V_0\), per unità di tempo, è \(\rho \mathbf{v} \cdot d\mathbf{f}\), dove \(d\mathbf{f}\) è il vettore che ha il verso della normale uscente e intensità pari all’area dell’elemento di superficie. Per convenzione si assume come positivo il verso della normale uscente. Pertanto, la quantità \(\rho \mathbf{v} \cdot d\mathbf{f}\) è positiva se il fluido esce dal volume, altrimenti è negativa. Detta \(\Sigma\) la superficie chiusa che circonda l’elemento di volume \(V_0\), la quantità totale di fluido che esce da \(V_0\) è

\[-\frac{\partial}{\partial t}\int_{V_0}\rho\, dV=\int_{\Sigma} \rho\mathbf{v}\cdot d\mathbf{f}.\]

Dal teorema della divergenza segue che

\[-\frac{\partial}{\partial t}\int_{V_0}\rho\, dV=\int_{\Sigma} \rho\mathbf{v}\cdot d\mathbf{f}=-\int_{V_0}\nabla\cdot (\rho \mathbf{v})\, dV.\]

In definitiva, si ha che, per ogni volume \(V_0\),

\[\int_{V_0}\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot (\rho \mathbf{v}) \, dV =0.\]

Otteniamo così

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot (\rho \mathbf{v})=0,\]

ossia la prima equazione di Eulero della fluidodinamica, meglio nota come equazione di continuità della massa.

Per la seconda equazione usiamo l’unica grandezza finora non considerata: la pressione \(p\). Su ogni volume, all’interno del fluido, agisce la forza

\[-\int p\, d\mathbf{f}.\]

L’ultimo integrale è calcolato sulla superficie che circonda il volume considerato. Applicando ancora il teorema della divergenza segue che

\[-\int p\, d\mathbf{f}=-\int \nabla p\, dV.\]

Questo significa che \(-\nabla p\) è la forza che agisce sull’elemento di volume. Proviamo ad applicare la legge di Newton \(m \mathbf{a} =\mathbf{F}\) nel nostro caso. Facendo giocare alla densità \(\rho\) il ruolo di massa, segue che

\[\rho \frac{D \mathbf{v}}{Dt}=-\nabla p.\]

Nell’ultima formula, la quantità \(\displaystyle \frac{D \mathbf{v}}{Dt}\) è la derivata totale, ossia una misura della variazione della velocità di una particella di fluido. Tuttavia, noi siamo interessati alla variazione della velocità della porzione di fluido. Senza troppi dettagli (ci sono le referenze di cui sopra per i curiosi), vale la relazione

\[\frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}.\]

Con quest’ultima, si ha che

\[\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}\right)=-\nabla p.\]

Dividendo entrambi i membri per \(\rho\), otteniamo

\[\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}=-\frac{1}{\rho}\nabla p,\]

ossia la seconda Equazione di Eulero della fluidodinamica. A dirla tutta, spesso ci si riferisce solo a quest’ultima come Equazione di Eulero.

In definitiva, le Equazioni di Eulero sono

\[
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot (\rho \mathbf{v})=0\\\\
\displaystyle\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}=-\frac{1}{\rho}\nabla p.
\end{cases}
\]

Si tratta di un sistema di \(4\) equazioni differenziali alle derivate parziali in \(5\) incognite. Tuttavia, se supponiamo, come detto all’inizio, la densità costante, allora la prima equazione, ossia quella di continuità della massa, diventa

\[\nabla \cdot \mathbf{v}=0.\]

Questa condizione, nota (seppure con qualche asterisco) come condizione di incomprimibilità, consente di chiudere il sistema precedente, così da poterlo risolvere; o, almeno, sperare di farlo.

Per una descrizione più realistica non possiamo trascurare l’azione della gravità. Così, la seconda Equazione di Eulero diventa

\[\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}=-\frac{1}{\rho}\nabla p +\mathbf{g}.\]

In particolare, nel caso idrostatico, ossia per \(\mathbf{v}=\mathbf{0}\), si ha

\[\nabla p=\rho \mathbf{g},\]

da cui segue

\[
\begin{cases}
p_x=0\\\\
p_y=0\\\\
p_z=g.
\end{cases}
\]

Dalla terza equazione segue che

\[p(z)=-\rho g h+c,\]

dove \(c\) è una costante reale che può essere determinata nota la pressione \(p_0\) che agisce sulla superficie libera di fluido a una certa quota \(h\). Verificate queste condizioni, si ha

\[p(z)=p_0+\rho g (h-z).\]

Abbiamo così il valore della pressione che agisce alla quota \(z\). Quest’equazione spiega, tra gli altri, perché un pallone si restringe quando lo si immerge sott’acqua. Infatti, aumenta la differenza \((h-z)\) e, di conseguenza, la pressione \(p(z)\).

Finora abbiamo considerato la densità costante. Ma, lo studio dei fluidi a densità variabile è rilevante per le applicazioni. Come già detto, in quest’ultimo caso, il sistema delle equazioni di Eulero non è chiuso: le incognite sono più delle equazioni. Tuttavia, un modo per chiudere il sistema, a differenza di quanto fatto prima, è aggiungere a posteriori la condizione di incomprimibilità, \(\nabla \cdot \mathbf{v}=0\). Otteniamo così un sistema di \(5\) equazioni in \(5\) incognite. Il problema resta non semplice; il suo studio passa per  strumenti analitici anche avanzati. Infatti, ci sono risultati di esistenza di soluzioni, ma locali nel tempo.

Potremmo andare ancora avanti, ma per questo secondo episodio ci fermiamo qui. Con una certa licenza di libertà, abbiamo tentato (almeno) di simulare il ragionamento di Eulero nella formulazione di uno dei primi modelli fluidodinamici. Sono passati quasi trecento anni, abbiamo modelli più raffinati come le equazioni di Navier-Stokes, eppure le equazioni di Eulero continuano a interessare ed essere studiate dalla comunità matematica.