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Formula di Eulero, Teorema di Eulero, Funzione di Eulero, Caratteristica di Eulero, Costante di Eulero, Numeri di Eulero, Metodo di Eulero, … L’elenco potrebbe continuare a lungo; basta scorrere le voci di wikipedia per farsi un’idea. In effetti, Eulero è stato uno dei matematici più prolifici della storia: ha scritto 886 pubblicazioni, tra libri e articoli. È una scommessa pressoché sicura che ogni matematico ha il suo “Teorema di Eulero'” o la sua “Formula di Eulero” preferita. La Matematica è piena di Eulero! è una serie che raccoglie le scelte di alcuni membri del comitato di redazione di MaddMaths!, ai quali abbiamo chiesto di presentare uno di questi argomenti ai nostri lettori e lettrici. Il sesto episodio, “L’identità dei quattro quadrati” è a cura di Giuseppe Rosolini.

Come si è già ben capito con la serie, Leonardo Eulero ha affrontato una quantità impressionante di problemi, risolvendoli egregiamente. Ma non sempre è giunto alla conclusione; qualche volta si è incagliato in una secca — può sembrare impossibile che capiti a un grandissimo matematico, e ancora più impossibile che un tale evento diventi conoscenza comune, ma l’onestà intellettuale di Eulero ha permesso agli storici della matematica di indagare molto a fondo nelle sue attività scientifiche. La storia degli sviluppi intorno all’identità dei quattro quadrati è uno di questi (pochissimi) casi. La raccontiamo insieme con altri risultati di Eulero collegati a questa, perché pensiamo che questo dimostri in modo ancora più chiaro quanto grande egli sia stato.

Il problema dei quattro quadrati nasce nell’antichità: Diofanto, nelle sue ricerche aritmetiche, presenta un’argomentazione a sostegno del fatto che ogni numero naturale \(n\) si riesce a scrivere come somma di quattro quadrati di numeri razionali
\[n=a^2+b^2+c^2+d^2.\]
In aggiunta, suggerisce che sia possibile trovare \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) interi, ma non offre una dimostrazione di quest’ultima osservazione. Il problema dei quattro quadrati è questo: scrivere ogni numero naturale come somma di quattro quadrati di numeri interi.

Per quanto ne sappiamo, dopo Diofanto il problema resta in pausa fino al 1621 quando il matematico francese Claude Bachet, traducendo il testo di Diofanto, esprime la convinzione che il problema dei quattro quadrati sia risolubile: questo basta per far diventare il problema la congettura di Bachet.

Pierre de Fermat sarà uno dei lettori della traduzione di Bachet del testo di Diofanto — è proprio quella su cui lascia i suoi famosi commenti a margine. Leggendola, Fermat scopre una generalizzazione del problema dei quattro quadrati: il problema dei numeri poligonali.

Prima di esporlo, serve spiegare che cosa è un numero poligonale.

Un numero triangolare conta i pallini impilati a formare “triangoli equilateri”, come ad esempio

 

 

 

Iniziando con lato nullo, i numeri triangolari sono \(T_0=0\), \(T_1=1\), \(T_2=3\), \(T_3=6\), \(T_4=10\), \(\dots\), \(T_{n+1}=T_n+(n+1)={n+1\choose2}\).

È facile prevedere che i numeri quadrati sono \(Q_0=0\), \(Q_1=1\), \(Q_2=4\), \(Q_3=9\), \(Q_4=16\),\(\dots\), \(Q_{n+1}=Q_{n}+(2n+1)=(n+1)^2\), a contare i pallini organizzati a quadrati come

 

 

I numeri pentagonali contano i pallini in disegni del tipo

 

 

 

I numeri sono dunque \(P_0=0\), \(P_1=1\), \(P_2=5\), \(P_3=12\), \(P_4=22\),\(\dots\), \(P_{n+1}=P_{n}+(3n+1)=\frac{(n+1)(3n+2)}{2}\). Dato che non tratteremo il caso generale, ci limitiamo a segnalare la pagina di Wikipedia relativa ai numeri poligonali.

Sappiamo che Fermat considera il problema più generale perché ne scrive esplicitamente a Marin Mersenne nel 1636: ogni numero naturale si scrive come somma di tre numeri triangolari \(n=T+T+T\), come somma di quattro numeri quadrati \(n=Q+Q+Q+Q\), come somma di cinque numeri pentagonali
\(n=P+P+P+P+P\), ecc. Nella lettera, scrive anche di conoscerne una dimostrazione, ma non dà alcun suggerimento per come svolgerla.

Anni dopo, nel 1659 Fermat scrive a Christiaan Huygens: stavolta afferma di saper dimostrare il caso dei quattro quadrati e presenta qualche osservazione su come pensa di svolgerla. A tutt’oggi nessuno è riuscito a immaginare come ricostruire una dimostrazione a partire da quelle osservazioni.

Anche nei famosi commenti a margine al testo di Diofanto, Fermat annota che conosce la dimostrazione del caso generale; ma, come ci si può aspettare, aggiunge che

Hujus autem propositionis demonstrationem, quae ex multis, variis et abstrusissimis numerorum mysteriis derivatur, hic apponere non licet

— in poche parole, non c’è spazio per la dimostrazione.

È proprio questo commento che attira l’attenzione di Eulero!

Nel 1730, Eulero spiega in una lettera a Christian Goldbach di essere incuriosito dal commento di Fermat. Il primo attacco al problema lo conduce all’identità dei quattro quadrati: il prodotto di due numeri, ciascuno somma di quattro quadrati, si può scrivere come somma di quattro quadrati di numeri ottenuti come funzioni bilineari dei numeri dati — come vedremo, questa identità è fondamentale per la soluzione, ma non c’è traccia di questa nelle osservazioni di Fermat a Huygens. Eulero trascrive la formula

\[
\begin{equation}\begin{split}
(a^2+b^2+c^2+d^2)&(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2)=\\&
=(a\alpha-b\beta-c\gamma-d\delta)^2+(a\beta+b\alpha+c\delta-d\gamma)^2\\&
+(a\gamma-b\delta+c\alpha+d\beta)^2+(a\delta+b\gamma-c\beta+d\alpha)^2
\end{split}\end{equation}\]

esplicitamente nei suoi appunti tra il 1736 e il 1740; ne informa Goldbach riguardo nel 1748.

Dall’identità segue immediatamente che il prodotto di due somme di quattro quadrati di numeri interi è la somma di quattro quadrati di numeri interi

\[(Q+Q+Q+Q)(Q+Q+Q+Q)= Q+Q+Q+Q,\]

ma anche il prodotto di due somme di quattro quadrati di numeri razionali è la somma di quattro quadrati di numeri razionali

\[(Q_r+Q_r+Q_r+Q_r) (Q_r+Q_r+Q_r+Q_r)= Q_r+Q_r+Q_r+Q_r\]

— l’indice \(Q_r\) sta a ricordare che i numeri sono razionali.

Come ulteriore corollario della proprietà per i quadrati di numeri razionali, si ottiene che, se il prodotto di due numeri è somma di quattro quadrati razionali e un fattore è somma di quattro quadrati (razionali), allora anche l’altro fattore è somma di quattro quadrati razionali.

Nel 1749 Eulero dimostra un lemma che gli permette di derivare dai due risultati precedenti che ogni numero naturale si scrive come somma di quattro quadrati di numeri razionali.

Lemma A. Per ogni numero primo \(p\) esistono numeri naturali \(n\) e \(m\) tali che \(n,\, m<\frac {p}{2}\) e \(p\) divide \(1+n^2+m^2\).

La dimostrazione sfrutta il principio dei cassetti: i resti nella divisione con \(p\) dei quadrati \(m^2\) sono tanti quanti la parte intera di \(\frac {p}{2}+1\), così come pure i resti dei numeri \(-1-n^2\). Così almeno uno tra i resti degli \(m^2\) coincide con uno dei resti dei \(-1-n^2\). Per essere certi di trovare \(n\) e \(m\) che verificano la disuguaglianza richiesta basta notare che i resti nella divisione con \(p\) di \(n^2\) e di \((p-n)^2\) sono uguali, e uno tra \(n\) e \(p-n\) è minore di \(\frac {p}{2}\).

Nello stesso anno, scrive a Goldbach spiegandogli che, grazie all’identità dei quattro quadrati, ritiene di avere una strategia di attacco alla congettura di Bachet: dimostrare un rafforzamento del corollario sulla divisibilità delle somme di quadrati, cioè

Lemma B. Se il prodotto di due numeri è somma di quattro quadrati interi e pure un fattore è somma di quattro quadrati interi, allora anche l’altro fattore è somma di quattro quadrati interi.

Grazie all’identità dei quattro quadrati, è sufficiente dimostrare

Lemma B’. Se un primo \(p\) divide la somma dei quadrati di quattro numeri naturali, e non divide almeno uno dei quattro numeri, allora \(p\) è somma di quattro quadrati di numeri naturali.

Ammette anche di averne una dimostrazione per i casi \(p=2,\,3,\,5,\,7\).

Il 17 giugno 1751 presenta all’Accademia di Berlino una relazione sull’argomento: basta leggere il titolo per capire quanto gli interessi il problema dei quattro quadrati.

Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum sive integrum
sive fractum esse summam quatuor pauciorumve quadratorum

cioè dimostrazione di un teorema di Fermat che ogni numero intero o razionale è la somma di quattro o meno quadrati (razionali).

Poco dopo prepara una nota che compare nel 1755 nei Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. Contiene la dimostrazione di un altro “Teorema di Fermat”. Ancora, il titolo dice tutto: ogni numero primo della forma \(4n+1\) è la somma di due quadrati interi. Ma la nota contiene anche una lunga appendice che riporta i dettagli del risultato presentato a Berlino: presenta tra l’altro la strategia che potrebbe portare alla soluzione, la stessa che aveva indicato a Goldbach. Eulero chiude la nota riconoscendo di non aver ottenuto il risultato desiderato.

 

 

L’epilogo della storia arriva nel 1772 quando Jean-Louis Lagrange chiude la questione sulla congettura di Bachet dimostrando il Lemma B’ e il teorema diventerà noto come il “Teorema di Bachet–Lagrange”.

Stimolato dal risultato di Langrange, Eulero in pochissimo tempo produce un’altra dimostrazione, sicuramente più semplice, che compare nel 1773 con il titolo Novae demonstrationes circa resolutionem numerorum in quadrata nella rivista Nova acta eruditorum.

 

Ultima ora: un articolo di Herbert Pieper apparso sulla rivista  Historia Mathematica nel 1993 — vi aspettavate forse una notizia apparsa ieri? Lo sapete benissimo che i tempi della cronaca matematica non si misurano in minuti, ma in decenni!—segnala il rinvenimento, tra le note manoscritte di Eulero datate 1744, di una osservazione che è essenzialmente il fulcro della dimostrazione del Lemma B’. Pieper lascia senza risposta la domanda: perché Eulero non ha trovato la dimostrazione nel 1749 dopo aver ottenuto il Lemma A?

Appendice A chi interessa sapere come è andata a finire la questione sollevata da Fermat per i numeri poligonali, segnaliamo innanzi tutto che Karl Gauss, il 10 luglio 1796, annota nel suo diario

\[\text{** EYRHKA} \, \textit{num}=T+T+T\]

 

 

 

Il matematico indicava in codice che aveva trovato una dimostrazione per il problema dei numeri triangolari, come raccontato qui.

Il lieto fine è prodotto da Augustin-Louis Cauchy che, nel 1813, risolve il caso generale per numeri poligonali di qualunque tipo. Chi è interessato a questo risultato trova una presentazione efficace nell’articolo di Melvyn Nathanson nel volume 99 dei Proceedings of the American Mathematical Society del 1987.

 

 

 

Lorenzo Paderni

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