Formula di Eulero, Teorema di Eulero, Funzione di Eulero, Caratteristica di Eulero, Costante di Eulero, Numeri di Eulero, Metodo di Eulero, … L’elenco potrebbe continuare a lungo; basta scorrere le voci di wikipedia per farsi un’idea. In effetti, Eulero è stato uno dei matematici più prolifici della storia: ha scritto 886 pubblicazioni, tra libri e articoli. È una scommessa pressoché sicura che ogni matematico ha il suo “Teorema di Eulero'” o la sua “Formula di Eulero” preferita. La Matematica è piena di Eulero! è una serie che raccoglie le scelte di alcuni membri del comitato di redazione di MaddMaths!, e non solo, ai quali abbiamo chiesto di presentare uno di questi argomenti ai nostri lettori e lettrici. Il settimo episodio, “Eulero e la Demografia”, è a cura di Mimmo Iannelli.

Tra i tanti contributi di Eulero non si può trascurare il suo approccio ai problemi demografici che, con la formulazione di un modello a tempo discreto, costituisce il primo passo verso una teoria matematica della dinamica di popolazione.

Un primo semplice accenno ai problemi di popolazione può essere rintracciato nel primo volume del trattato Introductio in analysin infinitorum dove al capitolo sesto (De Quantitatibus exponentialibus ac Logarithmis) Eulero presenta alcuni esempi per illustrare l’uso dei logaritmi nel calcolo degli esponenziali. Nel caso specifico l’esempio (vedi Figura 1) consiste nel calcolare quanti saranno, dopo cento anni, gli abitanti di una certa regione che crescono di un trentesimo all’anno e sono attualmente centomila. Si tratta più che altro di una curiosità che però testimonia di un certo interesse per la demografia, diffuso ai tempi di Eulero se non altro per ragioni pratiche legate a questioni finanziarie.

È comunque con la memoria “Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain” che nel 1767 Eulero affronta sistematicamente la questione, con l’intento di fornire uno schema generale non legato a questa o quella specifica popolazione: “le soluzioni a tutte queste domande sono molto differenti a seconda dei registri sui quali sono basate. È per questo che mi propongo di trattare qui in modo generale la maggior parte di queste questioni senza limitarmi ai risultati che i registri di un certo luogo forniscono: & in seguito sarà facile fare l’applicazione a un luogo qualsivoglia“. ^{[1 ]}Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain, Mém. de l’Acad. Tom XVI, 1767, pag. 144.

Dunque Eulero costruisce un modello di popolazione basato su due ipotesi base, riguardanti la mortalità e la moltiplicazione che sono d’altra parte gli elementi costitutivi di ogni modello di popolazione. Ma prima di discutere l’impostazione di Eulero, è bene richiamare la formulazione e i risultati del cosiddetto modello di Leslie che al giorno d’oggi costituisce il punto di partenza più strutturato per ogni modello discreto di popolazione, sia riferito al contesto della demografia umana sia al contesto dei modelli che riguardano l’ecologia.

Nel modello, il tempo è scandito dall’indice intero \(m\) che rappresenta ad esempio l’anno in cui si censisce una popolazione i cui individui sono raggruppati in base all’età, indicata con l’indice \(i\). Quindi, al tempo \(m\), la situazione è rappresentata tramite il vettore

\[
{\bf N}^m \equiv (N^m_0, N^m_1, \cdots , N^m_i, \cdots, N^m_A)
\]

le cui componenti \(N^m_i\) sono il numero di individui di età \(i\) al tempo \(m\) (\(i=0\) corrisponde ai nuovi nati, \(i=A\) corrisponde all’età massima raggiungibile). La crescita della popolazione è determinata al variare del tempo dal sistema di equazioni

\[
\begin{cases}
\displaystyle N^{m+1}_0 = \sum_{i=0}^{A} \beta_i N^m_i \\\\
\displaystyle N^{m+1}_i = \sigma_{i}N^{m}_{i-1} , &{ i=1, \cdots , A}
\end{cases}
\]

dove

• \(\beta_i\) è il numero di figli generati in un anno da un individuo di età \(i\);
• \(\sigma_i\) è la probabilità che un individuo di età \(i-1\) sopravviva fino all’età \(i\).

La prima equazione raccoglie, al tempo \(m+1\), il contributo di nuovi nati dovuto a ciascuna classe di età presente al tempo \(m\). Le altre equazioni registrano i sopravvissuti di ciascuna classe di età nel passaggio dal tempo \(m\) al tempo \(m+1\).

Il sistema si può scrivere in forma vettoriale

\[{\bf N}^{m+1} =\mathfrak{L} {\bf N}^m,\]

dove \(\mathfrak{L}\) è la matrice \((A+1)\times(A+1)\) (matrice di Leslie)

\[
\left(\begin{matrix}
\beta_0&\beta_1 &\cdots & \beta_{A-1}&\beta_A\\
\sigma_1&0&\cdots & 0&0\\
0&\sigma_2&\cdots & 0&0\\
\\
\cdot&\cdot &\cdots &\cdot&\cdot
\\
\\
0&0&\cdots &\sigma_{A}&0\\
\end{matrix}
\right) ,
\]

i cui autovalori si trovano risolvendo l’equazione caratteristica

\[1 =\frac{\beta_0}{\lambda}+ \frac{\beta_1\pi_1}{\lambda^{2}} + \frac{\beta_2 \pi_2 }{\lambda^{3}}+ \cdots + \frac{\beta_i \pi_i }{\lambda^{i+1}} + \cdots + \frac{\beta_A \pi_A} {\lambda^{A+1}} ,\]

dove

\[
\pi_i = \sigma_i \sigma_{i-1} \cdots \sigma_1 ,\quad i=1,\cdots , A
\]

è la probabilità di sopravvivenza dalla nascita all’età \(i\).

Sappiamo che \(\mathfrak{L}\) possiede (teoria di Perron-Frobenius) un autovalore reale positivo \(\lambda_*\) dominante nel senso che per ogni altro autovalore risulta

\[
\left| \lambda_j\right| < \lambda_*, \quad j= 1, \dots , A .
\]

Indicando con \(\mathbf{V}_*\), \(\mathbf{V}_j\) \((j=1, \cdots, A)\) i relativi autovettori, la soluzione dell’equazione vettoriale si rappresenta nella forma

\[
{\mathbf{N}}^m = \lambda_*^m c_* {\mathbf{V}}_* + \sum_{j=0}^{j=A}\lambda_j^m c_j {\mathbf{V}}_j ,
\]

a partire da un dato iniziale

\[
{\mathbf{N}}^0 = c_* {\mathbf{V}}_* + \sum_{j=0}^{A} c_j {\mathbf{V}}_j ,
\]

come si può verificare sostituendo nella stessa equazione.

Il caso particolare, corrispondente al dato iniziale \({\mathbf{N}}^0 = c_* {\mathbf{V}}_*\) permette di identificare la cosiddetta soluzione della popolazione stabile

\[
{\mathbf{N}}_*^m = \lambda_*^mc_* {\mathbf{V}}_* ,
\]

che corrisponde ad una crescita geometrica di ragione \(\lambda_*\), durante la quale la distribuzione relativa della popolazione nelle classi di età è stazionaria nel senso che il rapporto tra il numero di individui di due qualsivoglia classi resta costante al variare di \(m\). La popolazione è destinata a crescere o ad estinguersi a seconda che sia \(\lambda_* > 1\) oppure \(\lambda_* < 1\).

L’autovalore \(\lambda_*\) gioca un ruolo cruciale in quanto autovalore dominante perché al limite per \(m\to\infty\), a partire da un qualunque dato iniziale, il contributo relativo dovuto agli altri autovettori tende a ridursi a zero e la soluzione tende asintoticamente alla soluzione stabile

\[
{\mathbf{N}}^m \approx \lambda_*^mc_* {\mathbf{V}}_* .
\]

Tornando ad Eulero, la prima parte della memoria del 1767 è dedicata alle questioni di mortalità e all’introduzione delle probabilità di sopravvivenza. Partendo da un numero \(N\) di bambini nati nello stesso anno (una coorte) si indicherà “il numero di quelli che saranno in vita alla fine di un anno con \((1)N\), di quelli che ci saranno ancora alla fine di due anni con \((2)N\), di tre anni con \((3)N\), di quattro anni con \((4)N\) & così di seguito“^{[2 ]}Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain, Mém. de l’Acad. Tom XVI, 1767, pag. 145. fino a cento anni che viene considerata l’età massima raggiungibile. Con i simboli \((1), (2) \cdots\) si indicano quindi le probabilità di sopravvivenza che sopra abbiamo indicato con \(\pi_1, \pi_2 \cdots\). Peraltro, in una delle questioni poste subito dopo avere introdotto le \(\pi_i\), Eulero calcola anche le \(\sigma_i\) in quanto

\[
\sigma_1=\pi_1,\quad \sigma_i= \frac{\pi_{i}}{\pi_{i-1}},\quad (i=2,\cdots, A) .
\]

Così, il “principe de mortalité ” consiste nel definire le quantità \(\pi_i\) che Eulero prescrive di misurare, “per un certo luogo, attraverso un gran numero di osservazioni, [ … ] prima di rispondere questioni che riguardano la vita umana“^{[3 ]}Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain, Mém. de l’Acad. Tom XVI, 1767, pag. 145.. Si preoccupa quindi che la raccolta dei dati sia accurata prima di usare il modello in problemi di interesse applicativo (siamo peraltro agli esordi della statistica) e fornisce intanto un numero di esempi significativi di questioni che possono essere risolte tramite il suo schema. In particolare:

V. Problema

Determinare le rendite vitalizie che è giusto pagare annualmente ad uomini di un’età qualunque, fino alla loro morte, in corrispondenza ad una somma che essi avranno versato inizialmente.^{[4 ]}Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain, Mém. de l’Acad. Tom XVI, 1767, pag. 149.

Si conferma così che il campo applicativo degli studi di demografia è, all’epoca, proprio quello finanziario.

La seconda parte della memoria è poi dedicata alla “hypothese de la multiplication” dove si discute il “principe de la propagation” introducendo una misura della fecondità definita come il rapporto

\[
\alpha= \frac{N}{M}
\]

dove

• \(N\) è il numero di bambini nati in un anno,
• \(M\) è il numero di individui che compone la popolazione nello stesso anno.

In più viene definito il parametro

• \(n= \frac{\text{numero di bambini che nascono in un anno}}{\text{numero di bambini nati nell’anno precedente}}\).

Quindi, partendo con una popolazione che nell’anno corrente contiene \(N\) bambini, Eulero elabora lo schema in Figura 3 dove riporta anno per anno il numero dei nuovi nati affiancato a quello di quanti ne sopravviveranno dopo \(100\) anni dall’inizio del computo.

Poiché dopo cento anni gli individui che all’inizio del calcolo appartenevano alla popolazione saranno tutti morti, la popolazione totale del centesimo anno risulterà dalla somma della colonna di destra

\[
M_{_{100}}= n^{100} N \times \left( 1 + \frac{(1)}{n} + \frac{(2)}{n^2}+ \frac{(3)}{n^3} + \cdots + \frac{(100)}{n^{100}}\right) .
\]

Notando poi che (vedi la tabella di Figura 3) in quello stesso centesimo anno nascono \(N_{_{100}}=n^{100} N\) bambini, possiamo usare la formula di \(\alpha\) per ottenere la sua relazione con \(n\)

\[\frac{1}{\alpha} = \left( 1 + \frac{(1)}{n} + \frac{(2)}{n^2}+ \frac{(3)}{n^3} + \cdots + \frac{(100)}{n^{100}}\right) .\]

Per interpretare quest’ultima formula alla luce del modello di Leslie dobbiamo legare il parametro \(\alpha\) alla fertilità \(\beta\) (che supporremo la stessa per tutte le classi di età). Infatti, se abbiamo una popolazione \(M\) con \(N\) bambini sarà

\[
nN = \beta M
\]

e anche

\[N= \alpha M\]

dunque sarà

\[
\beta= n \alpha
\]

e, tenuto conto che \((i)=\pi_i\), l’equazione precedente diviene

\[
\frac{n}{\beta} = \left( 1 + \frac{\pi_1}{n} + \frac{\pi_2}{n^2}+ \frac{\pi_3}{n^3} + \cdots + \frac{\pi_{100}}{n^{100}} \right) ,
\]

ossia

\[
1= \beta \left( \frac{1}{n} + \frac{\pi_1}{ n^{2}} + \frac{\pi_2}{ n^{3}}+ \frac{\pi_3}{ n^{4}} + \cdots + \frac{\pi_{100}}{n^{100+1} }\right) ,
\]

che può essere confrontata con l’equazione caratteristica della matrice \(\mathfrak{L}\). Si scopre così che le due equazioni coincidono quando si ponga

\[
A=100
\]

e

\[ \beta_i=\beta,\ \ i=0, 1, \cdots , A,\]

e che il parametro \(n\) è proprio l’autovalore dominante \(\lambda_*\). Non a caso l’equazione caratteristica è comunemente nota come equazione di Eulero-Lotka. Infatti Alfred Lotka nel 1907 affrontò indipendentemente lo stesso problema della crescita demografica, formulando un modello a tempo continuo perfettamente parallelo a quello di Eulero.

Eulero dunque, col suo modello “sur la mortalité et la multiplication du genre humain“, anticipa di quasi due secoli quella che sarà l’impostazione di Leslie nel 1945 e la problematica che fa capo ai modelli a tempo discreto. Senza dirlo esplicitamente, Eulero pensa ad una popolazione che ha raggiunto quello che i demografi chiameranno lo stato stabile e fornisce lo schema per affrontare vari problemi concreti. Un primato dunque che lo candida ad essere considerato il fondatore della demografia matematica e in generale della teoria matematica delle popolazioni.

Naturalmente non si dovrebbe trascurare il contesto storico-scientifico in cui Eulero operava e il contributo (e l’influenza) di altri autori che nel periodo si occupavano di demografia, ma resta comunque il fatto che l’approccio di Eulero costituisce un primo tentativo di inquadrare i problemi di popolazione tramite un modello matematico generale.

Per chi volesse approfondire l’argomento^{[5 ]} N. Bacaer, A Short History of Mathematical Population Dynamics Springer-Verlag 2011. ^{[6 ]} H. Caswell, Matrix Population Models: Construction, Analysis, and Interpretation. Sinauer, 2001. ^{[7 ]} E. Lombardo, Eulero, un antesignano dei modelli matematici di popolazione. Genus, 1976, Vol. 32, No. 1/2 (1976), pp. 129-139. ^{[8 ]} P. Pflaumer, Leonhard Euler’s Research on the Multiplication of the Human Race with Models of Population Growth. ASMDA 2023 International Conference held in Heraklion, Crete, Greece, 2023..