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Le equazioni di Naviers-Stokes descrivono l’evoluzioni dei fluidi incomprimibili e sono anche fonte di tanti problemi matematici interessanti. Recentemente è uscito un preprint, Non-uniqueness of Leray solutions of the forced Navier-Stokes equations di Dallas Albritton, Elia Brué e Maria Colombo, che segna un progresso notevole nella nostra comprensione di queste equazioni, dimostrando la non unicità delle soluzioni di Leray nel caso in cui sia presente un certo termine forzante. A conferma dell’importanza di questi studi, proprio in questi giorni si è saputo che Maria Colombo è risultata vincitrice di un ERC Starting Grant per un progetto legato a queste tematiche. Roberto Natalini l’ha intervistata per farsi spiegare meglio questo risultato.

Roberto: intanto grazie per aver accettato di farti intervistare. Partiamo dall’inizio. Ci spieghi intanto qual è questo problema del millennio sulle equazioni di Navier-Stokes e in che modo il vostro risultato è un passo importante per provare a risolverlo?

Maria: Dunque il problema del millennio riguarda un sistema di equazioni alle derivate parziali che prendono il nome da due fisici del XIX secolo, Claude-Louis Navier e George Stokes. Questo sistema è stato sviluppato per descrivere il moto di un fluido che non si comprime, come l’acqua o, in certe condizioni, l’aria, ed è utilizzatissimo nelle applicazioni, anche se dal punto di vista matematico presenta ancora molti misteri. Dei due misteri che voglio menzionare, uno è il cosiddetto problema del millennio, che è legato al fatto che se parto da una configurazione iniziale abbastanza regolare, come un fluido che non ha una particolare situazione di turbolenza o di discontinuità, mi posso chiedere se, evolvendo nel tempo la soluzione di questa equazione, si possano creare delle singolarità, ovvero dei punti in cui la velocità del fluido diventa infinita. Questo fenomeno è in qualche modo legato a quella che chiamiamo buona positura dell’equazione, e in caso ciò succedesse vorrebbe dire che siamo entrati in regimi in cui l’equazione non sta più descrivendo così bene la realtà fisica. Questo è il problema del millennio di Navier-Stokes, per cui esiste un premio di un milione di dollari, e a tutt’oggi non se ne conosce la risposta. Un’altra problematica, in parte connessa, sulla buona positura del problema a livello matematico è quella dell’unicità delle soluzioni. A livello fisico uno si aspetta che se a un certo tempo iniziale abbiamo un fluido di cui si conosce in ogni punto la velocità, allora l’evoluzione che ne segue sia unicamente determinata. Cioè, se io riproduco la stessa situazione in un altro posto o in un altro momento devo vedere la stessa evoluzione. Dal punto di vista matematico questo equivale all’unicità delle soluzioni dell’equazione: data una configurazione iniziale, c’è un unico modo in cui la soluzione dell’equazione può evolvere. Quando si parla di unicità si è capito da molto tempo che è importante anche guardare al tipo di soluzioni per cui si ha questa unicità. A questo proposito c’è un risultato veramente sorprendente del 2017 di Tristan Buckmaster e Vlad Vicol[1 ]Tristan Buckmaster, Vlad Vicol. “Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation.” Annals of Mathematics, 189(1) 101-144 January 2019. https://doi.org/10.4007/annals.2019.189.1.3 [NdR: su MaddMaths! ne abbiamo parlato qui] che dice che in una classe abbastanza naturale di soluzioni, che sono le cosiddette soluzioni distribuzionali, questa unicità può non esserci. Addirittura loro dimostrano che uno può avere un fluido che all’inizio è completamente immobile e poi, a un certo punto, pur continuando a risolvere l’equazione, si comincia a muovere e poi si riferma. Queste soluzioni non sono quello che uno si aspetta fisicamente di vedere in assenza di forze esterne. Un’altra classe di soluzioni significative per le equazioni di Navier-Stokes è invece quella delle soluzioni di Leray, che sono le soluzioni con energia finita non crescente. Per Navier-Stokes, l’energia è fatta da due termini: c’è una parte che si chiama energia cinetica, ossia la norma \(L^2\) della velocità elevata al quadrato, e una parte dissipativa, che invece è legata alla presenza di un termine di diffusione (il Laplaciano) ed è dato dalla norma \(L^2\) al quadrato del gradiente spaziale della soluzione integrata in tempo.

\[\text{Energia di Navier-Stokes}=\frac 1 2\int |v|^2 (x,t)\, dx + \int_0^t \int |Dv|^2 (x,\tau) \, dx\, d\tau\]

L’importanza delle soluzioni di Leray nasce da un lavoro fondamentale del 1934 su Acta Mathematica[2 ]Jean Leray, On the movement of a space-filling viscous liquid. (Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace.) Acta Math. 63, 193-248 (1934)., in cui Leray mostra che queste soluzioni esistono e sono valide per tutti i tempi. Questo lavoro è secondo me abbastanza rivoluzionario perché è diventato in qualche modo il paradigma per tanta matematica successiva, e dà un metodo molto generale per costruire soluzioni globali di tipo debole, cioè a priori non regolari per tutti i tempi, di equazioni alle derivate parziali non lineari. E tra l’altro in quel lavoro vengono usate tecniche che per l’epoca erano pionieristiche come l’uso delle derivate deboli. A partire da quel lavoro in molti si sono domandati se queste soluzioni fossero uniche a partire da ogni dato iniziale. Buckmaster e Vicol non rispondono a questa domanda perché per loro, se da un lato l’energia cinetica è finita, dall’altro la parte dissipativa dell’energia è infinita, quindi non si può parlare di energia nel loro contesto come per le soluzioni di Leray. Inoltre Leray ha dimostrato che le sue soluzioni sono regolari se uno esclude un insieme chiuso di tempi potenzialmente singolari di dimensione \(\frac 12 \). Le soluzioni Buckmaster e Vicol non hanno questa proprietà perché sono irregolari dappertutto. Ci sono stati dei lavori successivi, ai quali anch’io ho partecipato, in cui dimostriamo che queste soluzioni regolari si possono prendere irregolari a meno di un insieme chiuso di dimensione minore di uno. Però la dimensione \(\frac 12 \) resta lontana direi. In tanti hanno cercato di percorrere questa strada, Buckmaster e Vicol stessi all’inizio l’avevano proposta come un possibile approccio alla non unicità di soluzioni di Leray, però al momento questo sembra difficile da fare. Quindi, quello a cui noi rispondiamo è solo al problema della non unicità delle soluzioni proprio di Leray, e con una differenza importante rispetto anche al lavoro di Buckmaster e Vicol. Infatti noi consideramo l’equazione di Navier-Stokes con un termine forzante dato, che sta in uno spazio naturale per cui il teorema di Leray sull’esistenza delle soluzioni continua valere, che per noi ha un ruolo fondamentale nella dimostrazione.

R.: Quindi, per riassumere, il problema del millennio vero e proprio riguarda l’esistenza di soluzioni quando tutto è regolarissimo, sia la forzante che il dato iniziale. E quello che si chiede è se esiste una soluzione regolare per tutti i tempi. Dal 1934 si sa che esiste nel senso di Leray, ma magari non regolare. Si sa inoltre che se fosse regolare, allora sarebbe anche unica. Voi non state affrontando direttamente questo problema, ma solo quello dell’unicità, che però è in realtà molto collegato. Infatti fino a oggi si è pensato che le soluzioni di Leray potessero essere la classe di unicità per Navier-Stokes. E invece voi fate vedere che non è così, giusto?

M.: Esatto, noi facciamo vedere che se il dato iniziale è nullo, ossia il fluido è fermo, esiste un termine forzante ammissibile per Leray per cui esistono due soluzioni di Leray diverse. Si pensa, ma non siamo ancora capaci di dimostrarlo, che la stessa conclusione valga con forzante nulla e dato iniziale non nullo, ma molto irregolare. Le soluzioni differiscono da come la forzante si comporta al tempo iniziale e dopo questo tempo sono entrambe regolarissime. Questo è molto diverso da quello che succedeva a Buckmaster e Vicol che avevano soluzioni non uniche ma molto irregolari ovunque. Le nostre sono bellissime e regolari, solo che quando si raggiunge il tempo iniziale, il termine di forzante è singolare e c’è questa non unicità. Insomma, questo è proprio un fenomeno diverso da quello che si era visto prima.

R.: Ho visto che queste soluzioni che costruite sono ispirate da progetti precedenti che volevano costruire soluzioni non uniche o singolari. Ci puoi raccontare come siete riusciti a farli funzionare insieme per ottenere questo nuovo risultato?

M.: Ci sono due articoli che sono proprio fondamentali in questa analisi. Il primo lavoro è quello di Hao Jia e Vladimir Šverák[3 ]H. Jia and V. Šverák. Are the incompressible 3d Navier-Stokes equations locallyill-posed inthe natural energy space? J. Funct. Anal., 268(12):3734–3766, 2015, poi supportato da delle informazioni numeriche ottenute con Guillod[4 ]J. Guillod and V. Šverák. Numerical investigations of non-uniqueness for the Navier-Stokesinitial value problem in borderline spaces. ArXiv e-prints, Apr. 2017. Loro propongono una sorta di scenario di non unicità possibile, che riguarda quelle che si chiamano le soluzioni auto-similari, che hanno una particolare struttura che rispecchia il riscalamento dimensionale dell’equazione. E propongono un metodo generale per trovare queste soluzioni non uniche, basato sull’analisi spettrale, che permette di considerare in particolare l’instabilità di un certo profilo di base che deve essere una soluzione che ha una particolare instabilità. Loro legano la non unicità di soluzioni per l’equazione non lineare all’instabilità lineare di una specifica soluzione. Il problema è allora costruire una particolare soluzione che abbia questa instabilità. Per instabilità si intende che l’equazione di Navier-Stokes linearizzata intorno a quella soluzione specifica ha un autovalore instabile, ossia con parte reale positiva, che porta a una crescita incontrollata in tempo della soluzione. Costruire questo profilo di base è molto difficile e poi il problema linearizzato stesso va studiato su un oggetto che non si conosce. E loro hanno trovato numericamente questa soluzione instabile.

R.: E invece voi lo dimostrate analiticamente.

M.: Sì infatti. La nostra dimostrazione poi si ispira a un altro risultato per me molto sorprendente di non unicità per le equazioni di Eulero in due dimensioni, di Mikhail Vishik[5 ]M. Vishik. Instability and non-uniqueness in the Cauchy problem for the Euler equations of an ideal incompressible fluid. part i, 2018, arXiv:1805.09426. M. Vishik. Instability and non-uniqueness in the Cauchy problem for the Euler equations of an ideal incompressible fluid. part ii, 2018, arXiv:1805.09440, che è un matematico di origine russa che lavora all’università del Texas a Austin. Questo risultato dimostra che per l’equazione di Eulero (nella formulazione in vorticità), se si prende un certo termine forzante, allora si può avere non unicità in una certa classe di soluzioni. Sono due lavori molto lunghi di difficile lettura che abbiamo deciso di prendere come punto di partenza e che hanno fatto oggetto di un seminario di lettura durato un anno con Camillo De Lellis e altre colleghi all’Institute for Advanced Study di Princeton. Anche se può sembrare un problema molto diverso, in realtà quello che abbiamo fatto è stato costruire un profilo instabile nello spirito di Jia e Šverák partendo da quello delle equazioni di Eulero in due dimensioni, facendolo poi diventare tridimensionale. Tecnicamente questa è una cosa molto difficile che richiede molte approssimazioni e stime accurate degli errori. E alla fine c’è da tradurre questa analisi spettrale lineare in un teorema non lineare.

R.: Ho capito. Quindi voi vi trovate con due soluzioni o ne avete anche altre?

M.: Sì esatto, abbiamo due soluzioni e in realtà abbiamo una famiglia a un parametro, ma sempre legata al termine forzante.

R.: Riesci a dare una interpretazione fisica di queste soluzioni che avete trovato?

M.: Per visualizzare quello che succede io mi rifaccio a un altro tentativo di dimostrare in un’unicità per le equazioni di Eulero in due dimensioni di Alberto Bressan e Wen Shen[6 ]A. Bressan and W. Shen. A posteriori error estimates for self-similar solutions to the Eulerequations.Discrete Contin. Dyn. Syst., 41(1):113–130, 2021  che hanno provato a fare la stessa cosa di Vishik, sempre con approccio numerico. Se guardi questa figura

 

Supporto del dato iniziale nell’articolo di Bressan e Shen, cit.. 

loro prendono come dato iniziale una funzione che dipende solo dall’angolo e ha una certa omogeneità radiale. La parte in grigio è la zona dove la vorticità è negativa. Questo dato iniziale è singolare in zero, e loro propongono di approssimarlo con due dati iniziali diversi: uno in cui si tronca questa vorticità e in un piccolo pallino intorno all’origine si mette un valore costante e molto alto, il secondo dove si tronca ancora questa vorticità, ma nella zona dove la vorticità era molto alta la prendono nulla. Questo dà luogo a due dati iniziali diversi che approssimano la stessa cosa. E loro mostrano che questi due dati iniziali diversi, ma in qualche modo vicini, generano due soluzioni che sono proprio topologicamente diverse, come si vede in queste due figure qui sotto. La vorticità induce delle rotazioni. Se hai il pallino centrale pieno, ma costante, avrai una soluzione che ruota

La distribuzione di vorticità al tempo t=1 per la soluzione di Eulero 2D, corrsipondente alla troncatura con il pallino centrale pieno, dall’articolo di Bressan e Shen, cit.

Se invece hai il pallino vuoto la soluzione si spezza in due pezzi che si allontanano

La distribuzione di vorticità al tempo t=1 per la soluzione di Eulero 2D, corrsipondente alla troncatura con il pallino centrale vuoto, dall’articolo di Bressan e Shen, cit.

La loro idea è che mandando a zero il raggio del pallino centrale si dovrebbero trovare due soluzioni diverse dallo stesso dato iniziale. Questo è il modo in cui ci si immagina che avvenga la non unicità.

R.: Chiaro, molto interessante. E poi che succede? Ora avete questo risultato, che ricordiamo è ancora un preprint. Cosa pensate di fare dopo con il vostro programma di ricerca, al di là del problema del millennio stesso? Insomma con la vostra tecnica e le vostre idee, dove pensate di andare in un futuro medio prossimo?

M.: Sicuramente un problema naturale è fare la stessa cosa ma senza termine forzante, e quindi individuare un dato iniziale che ha la non unicità. Questo filosoficamente è simile al problema del millennio, nel senso che anche per il problema del millennio bisogna riuscire a scegliere un dato iniziale a partire del quale si forma un’esplosione della soluzione. Ma il problema del millennio è ancora fuori portata: nell’ottica di costruire un’esplosione della soluzione non si vedono tecniche ragionevoli. Ed è anche difficile dimostrare la regolarità.
Per me comunque questo tipo di idee hanno a che fare con un ambito molto bello e molto poco compreso che è quello della turbolenza. Possiamo partire da un’osservazione fondamentale di Kolmogorov che prende le soluzioni di Navier-Stokes, ma in modo artificiale riduce la viscosità del fluido e si avvicina sempre di più a una soluzione delle equazioni di Eulero. E quello che si è capito è che la soluzione di Eulero a cui ci si avvicina deve essere irregolare, in quanto l’energia cinetica si dissipa in modo anomalo. Per cui queste soluzioni irregolari, non uniche, hanno a che fare con fenomeni di turbolenza. Questa secondo me è una direzione che sarebbe bello capire meglio.

Intervista a cura di Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths! e Comics&Science.

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Note e riferimenti

Note e riferimenti
1 Tristan Buckmaster, Vlad Vicol. “Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation.” Annals of Mathematics, 189(1) 101-144 January 2019. https://doi.org/10.4007/annals.2019.189.1.3
2 Jean Leray, On the movement of a space-filling viscous liquid. (Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace.) Acta Math. 63, 193-248 (1934).
3 H. Jia and V. Šverák. Are the incompressible 3d Navier-Stokes equations locallyill-posed inthe natural energy space? J. Funct. Anal., 268(12):3734–3766, 2015
4 J. Guillod and V. Šverák. Numerical investigations of non-uniqueness for the Navier-Stokesinitial value problem in borderline spaces. ArXiv e-prints, Apr. 2017
5 M. Vishik. Instability and non-uniqueness in the Cauchy problem for the Euler equations of an ideal incompressible fluid. part i, 2018, arXiv:1805.09426. M. Vishik. Instability and non-uniqueness in the Cauchy problem for the Euler equations of an ideal incompressible fluid. part ii, 2018, arXiv:1805.09440
6 A. Bressan and W. Shen. A posteriori error estimates for self-similar solutions to the Eulerequations.Discrete Contin. Dyn. Syst., 41(1):113–130, 2021
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