“Perché studi matematica?” è la domanda che mi sento ripetere da oltre dieci anni. Non ho mai avuto una risposta immediata, una di quelle che lasciano a bocca aperta. Eppure, dopo gli anni del dottorato e tante discussioni, mi sono convinto di una cosa:  “La Matematica è il pane per chi non ama le verità assolute, soprattutto se si ha a che fare con la complessità del mondo che ci circonda”. Voglio essere più chiaro, e per farlo passo per i miei due rami di ricerca: sistemi complessi e probabilità.

Un sistema complesso è un sistema composta da una molteplicità di agenti, generalmente chiamati particelle, che interagiscono tra loro. Il fisico-matematico austriaco Ludwing Eduard Boltzmann descrive per la prima volta l’interazione tra le particelle (atomi o molecole) che compongono un gas. In particolare, definisce il tasso di urti tra le particelle ed il conseguente cambio di stato di moto. Per la prima volta, un sistema fisico non è più individuato con le equazioni rappresentative di ciascuna particelle, quanto per mezzo di grandezze medie. È l’inizio della Meccanica Statistica.

E da questa si sviluppa un altro filone di ricerca: la Teoria Cinetica. Questo linguaggio va ben oltre la teoria dei gas. Dato un generico sistema complesso, la dinamica interna tra i suoi agenti è descritta da: tassi di interazione tra coppie di agenti e probabilità di transizione che un agente passi da uno stato ad un altro a seguito dell’interazione con un altro agente. Ponendo delle opportune condizioni iniziali, si scrive il sistema di evoluzione del sistema. Ad esempio, un sistema socio-economico può essere descritto come un sistema complesso, dopo aver individuato i tassi di interazioni tra gli attori economici e le probabilità con cui una persona possa migliorare o peggiorare la propria condizione economica.

Ma il problema non è risolto. Da un lato è difficile descrivere con esattezza chi siano i parametri del sistema (tassi di interazione e probabilità di transizione) e le condizioni iniziali. Dall’altro resta la difficoltà di risolvere analiticamente il sistema e provare quanto le perturbazioni su dati e parametri possano influenzare la soluzione. Quest’ultimo è il problema della stabilità, con cui si cerca di rispondere alla domanda: se perturbo di poco i parametri o il dato inziale, resta piccola questa perturbazione sulla soluzione? Questa domanda non ha sempre risposta affermativa, come nel caso delle previsioni meteorologiche. Ecco, la Matematica è bella perché insegna ad osservare e comprendere la complessità della realtà che circonda.

La soluzione delle equazioni di evoluzione di un sistema complesso è una probabilità. La soluzione non ci dirà più cosa accade all’istante t, ma con quale probabilità si verifichi un certo evento all’istante t. Ma cos’è la probabilità? Secondo la definizione classica, è il rapporto tra casi favorevoli Nf e casi totali Nt. Con l’approccio assiomatico di Andrej NiKolaevic Kolmogorov, è una misura. Per il matematico e statistico italiano Bruno de Finetti, in “Introduzione alla probabilità”: La probabilità è un modo di pensare. Sì, perché con la probabilità non si guarda più alle sole verità, eventi con probabilità uguale ad 1, e falsità, eventi con probabilità uguale a 0, ma agli eventi incerti, quelli con probabilità strettamente compresa tra 0 ed 1. Anzi sono proprio questi gli eventi interessanti. La probabilità che domani il sole sorga è 1 e non porta nuova informazione. Mentre conoscere la probabilità con cui possa perdere l’autobus è un’informazione non trascurabile, anzi mi cambia la giornata (e la sveglia!). La probabilità è un modo di pensare, eppure l’intuito ci inganna. Questo valuta come certi gli eventi con alta probabilità, ed impossibili gli eventi con bassa probabilità. Ma la Matematica mostra che abbiamo torto.

L’estrazione di una sestina vincente al Superenalotto si verifica ogni settimana, con la sua bassissima probabilità iniziale di 1/622.614.630. Analogamente, tirando una moneta non truccata, potremmo non veder cadere alcuna croce per i primi sei lanci, sebbene la sua probabilità inziale di 0,5. E sono solo alcune conseguenze della legge dei grandi numeri. Ecco, la Matematica è bella perché allontana i falsi miti di certo ed impossibile; la Matematica accende la luce sull’incerto.

Capire la complessa realtà, valutare l’incerto, descrivere l’evoluzione del mondo: è il lavoro dei Matematici con le armi del ragionamento logico e dei risultati dei teoremi che dimostrano. In un processo continuo di scambio e confronto, studio e riflessione. La Matematica è bella perché è il coraggio di combattere le verità assolute a dispetto della complessità dei fenomeni, con il coraggio di dire “non lo so, ma provo a capirlo”.

[Illustrazione di Luca Manzo]

Marco Menale