Alberto Saracco inaugura una serie di recensioni, sia video sia scritte (per soddisfare tutti i gusti — ma attenzione: le recensioni video e scritte non sono esattamente identiche!) di giochi a tema matematico. Nella terza puntata ci dimostra un teorema sul numero di carte di Dobble.
Dobble è un gioco di carte da 2-8 giocatori, dai 6 anni in su (ma disponibile anche nella versione kids, 2-5 giocatori dai 4 anni in su), edito in Italia da Asmodee. Dobble è disponibile in tantissime versioni diverse, con disegni a tema (anche una a tema numeri!), e addirittura una vesrione con carte impermeabili per giocare in piscina o al mare.
Il gioco è minimale. La scatola contiene un certo numero di carte (quante? E’ proprio di questo che parleremo oggi, più che del gioco!) con sopra alcuni simboli (6 nella versione kids, 8 nelle versioni standard)
Ogni coppia di carte ha in comune uno e un solo simbolo e tutte le varie possibilità di gioco sfruttano questa caratteristica delle carte.
Qui non siamo interessati a descrivere le possibili varianti del gioco. Rimando chi volesse saperne di più su come si gioca a Dobble al bel tutorial di amicidigiula.
La domanda a cui voglio rispondere oggi è: quante sono al massimo le carte di un mazzo di Dobble (in cui ogni carta ha in comune con ogni altra esattamente un simbolo) nel caso in cui su ogni carta siano presenti esattamente \(n\) simboli?
La dimostrazione che segue mi è stata raccontata da Matteo Silimbani, che ringrazio. Prima di leggerla, vuoi metterti alla prova?
Dimostrazione
Dividiamo la dimostrazione in tre parti.
Osservazione. Se tutte le carte hanno in comune uno stesso simbolo, allora ci possono essere un qualsiasi numero di carte. Ovviamente in questo caso il gioco sarebbe banale, e pertanto escludiamo questa possibilità.
Ogni simbolo compare su al più \(n\) carte. Supponiamo infatti per assurdo che un certo simbolo (e.g. “ragno”) compaia su almeno \(n+1\) carte e consideriamo una carta senza il ragno (c’è per l’Osservazione 1). Questa carta deve avere in comune con ognuna delle \(n+1\) carte un simbolo diverso dal ragno. Questi simboli sono tutti diversi tra loro, dato che altrimenti due delle carte precedenti avrebbero in comune il ragno e un secondo simbolo. Pertanto l’ultima carta ha almeno \(n+1\) simboli. Assurdo.
Consideriamo una carta quasiasi, “A”. Per ogni simbolo presente su A, ci sono al più \(n-1\) altre carte che hanno in comune con A quel simbolo. Poiché tutte le altre carte hanno in comune con A un simbolo, ci sono al più \(n(n-1)\) altre carte. Contando anche A, le carte in totale sono al più \(n(n-1)+1\), ovvero \(57\) per il Dobble classico e \(31\) per la versione kids.
Questo numero è effettivamente realizzabile? Questa sfida la lascio a voi… Fatecelo sapere nei commenti!
Avevo analizzato la matematica di Dobble molti anni fa, analizzando il problema generale e ne avevo poi parlato anche col matematico Marco Pellegrini (per chi non lo conoscesse, è l’unico (insieme al belga Philippe Niederkorn) ad aver vinto 3 volte i campionati internazionali di Giochi Matematici nella massima categoria HC.
Se n è il massimo numero di simboli utilizzabili, k è il numero di simboli in ogni carta, e prese p carte distinte esse hanno esattamente h simboli in comune, il numero massimo di carte costruibili è m=f(n,k,h,p). Marco Pellegrini ha fatto un piccolo software per indagare un po’ su questa funzione; per ora p vale 2.
m=n vale solo per n=k^2-k+1.
Questo valore di n è abbastanza “critico”, corrisponde a una situazione di “impacchettamento ottimale”: se si prova ad aumentare n, m rimane costante per un certo intervallo, per poi crescere lentamente (vedere tabelle; la situazione “critica” è evidenziata in verde, ma qui non si possono inserire immagini…).
Marco ne parló anche con un professore della Normale, ma alla fine non trovarono una formula generale e convennero che il problema è molto piú complesso di quanto sembri a prima vista.
Se il numero di oggetti su ogni carta è n= p^k+1, dove p è primo, si puo’ sempre raggiungere il numero massimo. Si tratta semplicemente di costruire il piano proiettivo sul campo finito F_q, dove q=p^k.
Nel Dooble classico p=7 ed in quello per bambini à p=5.
This website uses cookies to improve your experience. We'll assume you're ok with this, but you can opt-out if you wish.AcceptRead More
Privacy & Cookies Policy
Privacy Overview
This website uses cookies to improve your experience while you navigate through the website. Out of these, the cookies that are categorized as necessary are stored on your browser as they are essential for the working of basic functionalities of the website. We also use third-party cookies that help us analyze and understand how you use this website. These cookies will be stored in your browser only with your consent. You also have the option to opt-out of these cookies. But opting out of some of these cookies may affect your browsing experience.
Necessary cookies are absolutely essential for the website to function properly. This category only includes cookies that ensures basic functionalities and security features of the website. These cookies do not store any personal information.
Any cookies that may not be particularly necessary for the website to function and is used specifically to collect user personal data via analytics, ads, other embedded contents are termed as non-necessary cookies. It is mandatory to procure user consent prior to running these cookies on your website.
Qui c’è un’interessante analisi che lessi anni fa in connessione al Piano di Fano:
http://jpm.ludus-opuscula.org/PDF_Files/Santos_Jogos_77_104(6_2016)_low.pdf
Avevo analizzato la matematica di Dobble molti anni fa, analizzando il problema generale e ne avevo poi parlato anche col matematico Marco Pellegrini (per chi non lo conoscesse, è l’unico (insieme al belga Philippe Niederkorn) ad aver vinto 3 volte i campionati internazionali di Giochi Matematici nella massima categoria HC.
Se n è il massimo numero di simboli utilizzabili, k è il numero di simboli in ogni carta, e prese p carte distinte esse hanno esattamente h simboli in comune, il numero massimo di carte costruibili è m=f(n,k,h,p). Marco Pellegrini ha fatto un piccolo software per indagare un po’ su questa funzione; per ora p vale 2.
m=n vale solo per n=k^2-k+1.
Questo valore di n è abbastanza “critico”, corrisponde a una situazione di “impacchettamento ottimale”: se si prova ad aumentare n, m rimane costante per un certo intervallo, per poi crescere lentamente (vedere tabelle; la situazione “critica” è evidenziata in verde, ma qui non si possono inserire immagini…).
Marco ne parló anche con un professore della Normale, ma alla fine non trovarono una formula generale e convennero che il problema è molto piú complesso di quanto sembri a prima vista.
h=1 Valori di n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Valori di k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
3 1 1 2 4 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8
4 1 1 1 2 2 3 5 6 9 13 13
5 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 6 6
6 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4
h=2 Valori di n
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Valori di k 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 4 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4 1 1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8
5 1 1 1 2 3 6 11 11 11 13
6 1 1 1 1 2 2 4 4 7
7 1 1 1 1 1 2
h=3 Valori di n
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Valori di k 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 1 5 5 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 1 1 3 7 7 7 7 7 7
6 1 1 1 3 5 11 11 12
7 1 1 1 1 2 3 4 8 15
Se il numero di oggetti su ogni carta è n= p^k+1, dove p è primo, si puo’ sempre raggiungere il numero massimo. Si tratta semplicemente di costruire il piano proiettivo sul campo finito F_q, dove q=p^k.
Nel Dooble classico p=7 ed in quello per bambini à p=5.