Nel rito del caffè c’è un aspetto fondamentale: berlo caldo. Ma quanto tempo abbiamo prima che una tazzina di caffè si raffreddi? Possiamo calcolarlo con l’equazione di Newton. Ce ne parla Marco Menale.

 

A Napoli il caffè va bevuto bollente. Non solo la bevanda, ma deve essere bollente anche la tazzina con quel veloce tocco sulle labbra. Veloce perché oltre si rischia l’ustione. Dicono sia il miglior modo di gustarlo. Forse, sono solo leggende. Comunque, al di là di tazzine bollenti, siamo soliti in Italia bere il caffè caldo. Com’è solita la frase, al bancone di un bar, “bevilo, prima che si faccia freddo”. Ma in quanto tempo si fredda il caffè?

Per rispondere a questa domanda, ci serviamo di un modello fisico-matematico: l’equazione di raffreddamento di Newton. Come spesso accade per la matematica, non possiamo dare una data certa, ma collocarla intorno al 1701. A dire il vero, non possiamo nemmeno dire che sia tutto merito di Sir Isaac Newton. Infatti, a Newton si devono le osservazioni sui tassi di cambiamento della temperatura in un corpo. Senza troppo badare a questi aspetti, formuliamo la legge in termini moderni come un’equazione differenziale ordinaria.

Sia \(T(t)\) la temperatura di un corpo all’istante \(t>0\). Diciamo \(T_0\) la sua temperatura alla prima osservazione e \(T_a\) la temperatura dell’ambiente esterno. Infine, sia \(h\) il coefficiente di trasferimento di calore (misurato in \(s^{-1}\) nel Sistema Internazionale). Si tratta di un parametro costitutivo che dipende dalla composizione del corpo considerato. La variazione di temperatura è descritta dall’equazione differenziale lineare del primo ordine

\[T’(t)=h \left(T_a-T(t)\right)\],

che è proprio equazione di raffreddamento di Newton.

La struttura lineare consente di scrivere una soluzione esplicita, cosa non sempre possibile per le equazioni differenziali. Infatti:

\[T(t)=T_a+e^{-ht}\left(T_0-T_a\right).\]

Con l’espressione precedente possiamo conoscere il valore della temperatura in ogni istante di tempo, noti i dati iniziali e il valore della costante \(h\). Tuttavia, quest’ultimo valore può essere noto solo sperimentalmente e con un certo errore, dovuto alle misurazioni.

Torniamo al nostro caffè. Supponiamo che ci venga servito a una temperatura di \(75^{\circ}\) e che la temperatura dell’ambiente sia \(T_a=20^{\circ}\). Ora, usando le tabelle di conducibilità termica, oltre che una certa approssimazione, possiamo supporre per una tazzina di caffè \(h=0.02 s^{-1}\). A questo punto, dalla soluzione esplicita dell’equazione di Newton possiamo ricavare il tempo di raffreddamento \(t\) affinché il caffè passi da una temperatura iniziale \(T_0\) a una temperatura finale \(T_{fin}\):

\[t=-\frac{1}{h}\ln \left(\frac{T_{fin}-T_a}{T_0-T_a}\right).\]

Nel nostro esempio, il tempo che impiega il caffè a passare da \(T_0=75^{\circ}\) a \(T_{fin}=30^{\circ}\), così da lamentarci, è

\[t \approx 85\, \text{secondi} \approx1,42\,  \text{minuti}.\]

Nella prima approssimazione dell’equazione di raffreddamento di Newton, assegnate le condizioni iniziali, a fare la differenza è la costante \(h\), che dipende dalle proprietà fisiche del sistema considerato. Ad esempio, se il caffè avesse le proprietà di materiali come gli aerogel, un buon isolante per la conduzione del calore, il valore di \(h\) sarebbe molto più piccolo. Al punto che il raffreddamento avverrebbe in un tempo \(t\approx 2,36 \,\text{ore}\); ascoltate serenamente un disco e il caffè all’aerogel sarà ancora caldo ad aspettarvi. Invece, con un sistema tazzina di caffè con coefficiente \(h\) nella scala del grafene, un ottimo conduttore di calore, il raffreddamento avverrebbe in appena  \(t \approx 0.00006 \,\text{secondi}\); non ci sarà nemmeno il tempo per pensare la frase “bevilo, prima che si faccia freddo, questo caffè al grafene” \(^*\).

 

 

\(^*\) Per chi vuole divertirisi, vi lascio il codice Wolfram Mathematica per ottenere i tempi di raffreddamento, con la soluzione dell’equazione di Newton, in varie condizioni

(*temperatura ambiente*)Ta = 20;
(*temperatura iniziale caffè*)T0 = 75;
(*temperatura finale del caffé*)Tfin = 30;
(*coefficiente di trasferimento di calore*)h = 30000;
rapp = (Tfin - Ta)/(T0 - Ta);
traffr = -Log[rapp]/h;
traffrmin = traffr/60;
trafrror = traffrmin/60;

Print["Tempo di raffreddamento: ", N[traffr], " secondi"];
Print["Tempo di raffreddamento: ", N[traffrmin], " minuti"];
Print["Tempo di raffreddamento: ", N[trafrror], " ore"];
end