Pubblichiamo in tre pdf separati (e scaricabili) le risposte pervenuteci ai questi di Archimede EUREKA del numero di Archimede 4/2016, a cura di Massimo Gobbino.

Problema 411

Il punto fondamentale in questa equazione diofantea è che l’esponente del termine a destra è coprimo con tutti gli esponenti a sinistra. In questi casi è possibile ottenere una soluzione (anzi infinite soluzioni, come si vede facilmente) con il procedimento seguente:

– si scelgono a caso dei valori di a, b, c, d, e,

– si calcola la somma S a sinistra, che in generale non sarà una potenza settima,

– moltiplicando tutto a destra e sinistra per un’opportuna potenza di S si riesce a trovare una soluzione: per questo basta che l’esponente scelto sia multiplo di tutti gli esponenti a sinistra e congruo a -1 modulo l’esponente a destra. L’esistenza di un tale esponente è assicurata dal teorema cinese del resto.

Problema 412

Classica applicazione dei vettori, come emerge da tutte le soluzioni pervenute.

Problema 413.

Questo problema è un caso particolare di un risultato molto più generale. Consideriamo infatti i due seguenti fatti noti:

– la circonferenza che passa per i punti medi dei lati è la circonferenza di Feuerbach,

– l’omotetia con centro nell’ortocentro e fattore 1/2 manda la circonferenza circoscritta nella circonferenza di Feuerbach.

Da questi due fatti segue che il punto medio di *ogni* segmento che congiunge l’ortocentro con la circonferenza circoscritta sta sulla circonferenza di Feuerbach.