Avete presente come si semplificano le frazioni? Bene, dimenticatevelo. Vi spieghiamo noi un metodo semplice e che non richiede troppi calcoli.
Per chiarire il concetto, vi facciamo un breve esempio, con le semplificazioni indicate.
Se leggete queste righe vuol dire che siete sopravvissuti (o che vi siete dimenticati bene come si semplificano le frazioni; ricordatevelo pure, grazie). Vorremmo comunque attrarre la vostra attenzione sul fatto che tutti i risultati intermedi sono esatti, nel senso che valgono tutti 0.4.
Questo simpatico calcolo è il problema numero 21 del libro di Jean-Pierre ALEM (pseudonimo di Jean-Pierre Georges CAILLOT), Jeux d’esprit et divertissements mathématiques; il Nostro procede chiedendo di trovare una frazione della stessa forma abbb…/b…bbbc (dove a lettera uguale corrisponde cifra uguale) “equivalente” (nel senso visto qui sopra) a 1/2.
Conoscete degli altri calcoli “sbagliati ma giusti”, come quello qui sopra? Che caratteristiche devono avere, le cifre dei due numeri, per soddisfare un calcolo del genere?
Problemi di questo genere richiedono, di solito, come personaggi un professore barbogio e uno studente asino; è interessante notare però che in un problema che noi abbiamo sempre considerato simile chi fa il calcolo è un muftì, ossia una persona considerata giusta e moralmente integerrima, autorizzata ad esprimere giudizi che hanno quasi il vaore di legge. E per “epoca” intendiamo un periodo tale da trasformarlo sicuramente in un classico, e da rendere arduo scoprire la data della sua prima pubblicazione.
Un cammelliere, alla sua morte, chiede che i suoi 11 cammelli siano divisi tra i figli; in particolare, il più anziano dovrà ricevere metà della mandria, quello di mezzo un quarto e il più giovane un sesto. Non essendo le frazioni di cammello particolarmente utili per svolgere lavori, si decide di rivolgersi appunto a un muftì, il quale arriva a bordo del proprio malandato cammello ed esegue le seguenti operazioni: tanto per cominciare, aggiunge il proprio cammello alla mandria, che quindi diventa di 12 elementi. Quindi, procede alla divisione, distribuendo 12/2=6 cammelli al più anziano, 12/4=3 cammelli al figlio di mezzo e 12/6=2 cammelli al più giovane. Avendo distribuito 6+3+2=11 cammelli, ne avanza uno, che il muftì si prende per tornare a casa.
La storia non dice se il cammello ripreso dal muftì fosse il malandato proprio o il più bello della mandria: noi propendiamo per la prima ipotesi, ma non è questo il punto.
Il punto è che ci siamo posti alcune domande.
Se indichiamo la soluzione “del muftì” con (2, 4, 6; 11), ossia come i denominatori delle frazioni e il numero totale di cammelli all’inizio, come si ricavano (posto che esistano) tutte le altre soluzioni?
Si può fare lo stesso giochino per quattro figli?
E volendo generalizzare ancora, per k figli?
Quante sono le soluzioni per ogni valore di k (posto che siano in numero finito, chiaro)?
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
Come puoi immaginare, non mi occupo né leggo di eredità di cammelli (e di cammelli in generale…). La rivendicazione di autenticità non si spinge però a includere la formula del mcm dei primi n numeri naturali: sarebbe lesa memoria del legittimo autore, Chebyshev. Approfitto anche per dire che questo mcm è un puro espediente di calcolo, quindi i cammelli del mufti che vanno e vengono non sono fisici ma virtuali. Comunque, tanto per rassicurare il mufti, da k=4 in poi M=2*mcm(1,…, k), cioè la base di calcolo per la ripartizione dell’eredità, è minore di C, cioè il num. cammelli da ereditare, quindi non c’é alcun cammello in prestito, neppure virtuale.
Sulle semplificazioni “rudi”, per contenere la sbrodolata, indicando con abcd le cifre del nominatore, a’b’c’d’ quelle del denominatore (limitando il caso ai numeri con quattro cifre), la prima semplificazione equivale per il nominatore alla sottrazione
N’=abcd – (a*1000+(b-a)*100)
mentre per il denominatore equivale a
D’= a’b’c’d’ – a’*1000
Iterando il calcolo nei tre passaggi successivi ogni volta scalando di un fattore 10, non é difficile dimostrare che un numero per essere rudemente semplificabile deve soddisfare le quattro condizioni
dove N e D sono nominatore e denominatore della frazione di arrivo (2/5 nell’esempio del testo).
La quota dei numeri nel range 1000-9999 che soddisfano la semplificazione dipende molto dalla frazione N/D. Ad es, con ½ sono 32, con 2/5 8, con 1/5 125, con 1/7 1.
Siccome i numeri perfetti pari si ottengono tutti da: 2^n [2^(n+1) − 1] con “n” numero primo di Mersenne, i loro divisori sono in totale 2p
(di numeri perfetti dispari non se ne sono per ora trovati ma, al momento, non c’è neppure una dimostrazione rigorosa che non ne esistano).
Dai divisori di un numero perfetto primo si ricavano i casi in cui i cammelli da ereditare sono uguali al numero perfetto meno 1 e gli eredi in numero uguale ai suoi divisori distinti da esso meno 1
(cioè in in cui, come nel caso degli 11 cammelli e dei tre figli, il mufti deve aggiunge un cammello per poi riprenderselo).
Ad esempio con numero perfetto 6, e i suoi tre divisori 1 2 e 3, si ricava che con 6-1=5 cammelli e 3-1 figli che ereditano in parti di 1/2 e 1/3, il mufti aggiungendo un cammello, fa si che i figli possano ereditare cammelli non sezionati potendo, poi, riprendersi in cammello aggiunto:
5+1=6, 6/2=3, 6/3=2, 3+2=5, 6-5=1 che il mufti si riprende.
Da tali numeri perfetti, ricavandone i successivi multipli, si ottengono altri casi di questo tipo.
Ad esempio:
– 6*2=12, 12-1=11
(il caso che è stato presentato dai Nostri)
– con 6 cammelli le parti sono: 1/6 1/3 1/2 e: 1 escluso perché non distinto
– moltiplicando per 1/2: 1/3 1/2 e 1, si hanno quelli per tre figli e 11 cammelli
– tale metodo vale anche per i successivi numeri perfetti
– ad esempio:
— 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 cioè: 1/28 1/14 1/7 1/4 e 1/2, …più 1
– 28*2 – 1 = 55 numero cammelli
– 5 il numero di figli cioè il totale dei divisori di 28 meno 1
– le parti ai 5 figli sono: 1/2 moltiplicato per: 1/14 1/7 1/4 e 1/2 e 1
– infatti: 56*( 1/28 + 1/14 + 1/8 + 1/4 + 1/2) = 55
– con gli altri multipli dei numeri perfetti si ottengono pure casi di questo tipo.
Se il numero di cammelli è un numero perfetto, e il numero di figli coincide con il numero dei suoi divisori distinti da esso, l’eredità può essere spartita tra i figli tramite tali divisori senza dover aggiungere o sezionare cammelli.
Ad esempio: con sei cammelli e tre figli, i figli possono ereditare rispettivamente: 1/2, 1/3 e 1/6 dei cammelli.
Da enciclopedia Treccani:
numero perfetto: numero naturale che coincide con la somma dei suoi divisori distinti da sé stesso; per esempio 6 e 28 sono numeri perfetti, in quanto 6 = 1 + 2 + 3 e 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. La formula generale con cui si rappresentano i numeri perfetti è data da 2^n (2^n+1 − 1), nell’ipotesi che 2^n+1 − 1 sia un numero primo. Un numero primo della forma 2^m − 1, dove m è un numero naturale, è detto un numero primo di → Mersenne, quindi il problema della determinazione dei numeri perfetti è equivalente a quello della determinazione dei numeri primi di Mersenne. I primi quattro numeri perfetti sono 6, 28, 496 e 8128. I numeri perfetti sono tutti figurati: essi sono allo stesso tempo triangolari ed esagonali (→ numero figurato).
…voglio dire: la ripartizione se è fatta su 60 cammelli, il muftì deve aggiungerne 27 dei sui per permetterla, perché, con i soli 60 cammelli del padre, non si riesce a darne un numero intero (cioè senza sezionarli) ai cinque figlio in parti:
1/2+ 1/3 + 1/4 +1/5 + 1/6 di 60
cioè:
30 + 20 + 15 + 12 + 10 = 87 cammelli dati in eredità.
Questa volta il mufti è stato più che onesto.
La somma dei cammelli lasciati ai figli è di 11/12.
Il mufti avrebbe dovuto prendere per il suo lavoro 1/12 di cammello.
Tutte le soluzione possibili di (x*z…)/(z…*y)=x/z, con incognite intere espresse in base 10 e comprese fra 1 e 9, le ho ottenute risolvendo:
(10x+z)/(10z+y)=x/y,0<x<10,0<y<10,0<z<10,x<y
e sono:
16…/6…4=1/4, 19…/9…5=1/5, 26…/6…5=2/5, 48…/98…=1/2.
Per l'altro problema ho affrontato solo il caso per cui aggiungendo 1 al numero di cammelli e con tre figli che ricevono rispettivamente 1/2 1/3 e 1/6 del totale cammelli.
Grazie all'esposizione di Pietro A l'unico caso possibile mi pare sia con 11 cammelli con il cammello aggiunto che, non essendo stato assegnato a nessun figlio, viene alla fine restituito al proprietario.
Il caso esposto di 120 cammelli che vengono distribuiti a cinque figlio in rapporto:
1+ 1/2+ 1/3 + 1/4 +1/5 + 1/6
cioè rispettivamente in numero:
30, 20, 15, 12, 10
richiede, come ci ha mostrato Alberto A che C (cioè il numero totale di cammelli distribuiti ai figlio) sia 147.
Immagino che, in questo caso, il muftì, per permettere tale suddivisione dell'eredità, aggiunga 27 cammelli ai 120 …ma non recupera nessuno dei 27 cammelli.
Perché ciascun figlio abbia cammelli interi e non vivisezioni, il calcolo del mufti deve basarsi su un numero virtuale M divisibile per 2, 4, —, 2k (essendo ½, ¼, … le quote risp. del primo, del secondo … figlio), cioè
(1) M = mcm(2, 4, 6, …, 2k) = 2*mcm(1,…, k)
(Il numero M è un puro espediente di calcolo, in modo da fare risultare quote intere dei figli, e può essere ottenuto con o senza l’aggiunta del povero cammello del mufti.)
Il ln del mcm dei primi k interi è dato dalla somma dei ln della maggiore potenza dei numeri primi p < = k,
ln(mcm(2…k)) =a*ln2 + b*ln3 + c*ln5…
in cui come detto p^i <= k (i=a, b….). Dunque per (1)
(2) M = mcm(2…2k)= 2*e^( a*ln2 + b*ln3 + c*ln5…)
Inoltre è richiesto che la somma dei cammelli distribuiti secondo il calcolo del mufti debba coincidere con il numero dei cammelli C da ereditare:
C=(M/2)*A(k)
dove A(k) è la serie armonica troncata ai primi k elementi.
Sostituendo la (2), C=2* (e^( a*ln2 + b*ln3 + c*ln5…)/2)*A(k), cioè
Il primo figlio avrà 60 cammelli, il secondo 30, poi 20, 15, 12, 10.
Di fatto, per rispettare la volontà del padre, questi dovrà lasciare in eredità almeno 3 cammelli se ha 2 figli, 11 nel caso di 3, 25 nel caso di 4, 137 nel caso di 5, ecc.
E se I figli fossero 10? L’eredità dovrebbe essere almeno di 7381 cammelli…
Per la questione delle "semplificazioni", oltre a 1333 anche 1313 (cioè 2626/6565) rispetta la “regola” per 2/5. Curiosamente entrambi rispettano anche quella per 3/5 (3939/6565 e 3999/6665). La grande maggioranza dei casi la troviamo comunque con la frazione = 1/5.
Osteria Pietro A., davvero bella proposta di soluzione dei camelidi la tua. È originale o hai trovato/ricordato lo spunto tra i polverosi tomi della tua biblioteca?
Invece con le frazioni “semplificabili” sei stato un po’ laconico pure tu: quante sono le frazioni possibili con dividendo e divisore di qualsiasi grandezza e come si possono (eventualmente) trovare?
Ovviamente potevo direttamente risolvere l’equazione:
((10x+y)/(10y+2x) =1/2
dei due numeri con due cifre che porta sempre a: 18x = 8y
(volevo mostrare che l’aggiunta di “y” successivi mantiene il rapporto 1/2).
Per i vincoli che richiedono “x” e “y” compresi fra 1 e 9 e con “x” < 5 si può evitare la "forza bruta" delle quattro verifiche con x=1,2,3 e 4 per vedere se "y" risulta in qualche caso un intero minore di 10, penso si possa fare in questo modo:
– fattorizzo 18 e 8 ed ottengo: 2*3*3*x = 2*2*2*y
– il minimo per risolvere l'equazione è imporre x=2*2=4 e y=3*3=9
– infatti così si ottiene: (2*2)*(2*3*3) = (2*2*2)*(3*3)
– siccome y=9, con valori superiori di "y" si supererebbero il vincolo: 0<y< 10..
vero, può andar bene così, in fondo non è questione di vita e di morte.
…ma visto che siamo qui per giocare con i numeri vorrei giocarci ancora un pò
(ti assicuro che non è per pedanteria; le tue obiezioni le trovo più che valide).
Provo qualcosa che non sia la forza bruta ma almeno un pò più “algebrico”.
Chiamo “x”, che per ora non conosco, il 4 di 49… e chiamo “y” il 9.
Volendo ottenere 1/2 come rapporto, la prima cifra del numero a denominatore deve essere 2x
(per fare in modo che quando si eliminano gli “y” resti la frazione x/(2x) = 1/2).
Ora, a due cifre il rapporto sarà: (10x+y)/(10y+2x).
Se tale rapporto deve continuare a fare 1/2 i numeri a numeratore e denominatore devono incrementarsi di 1/2 rispetto ai valori “x” e “2x” di partenza, cioè del due numeri a una cifra che restano eliminando gli “y”.
Sottraggo quindi “x” dal numeratore e “2x” a denominatore.
Dovrei ottenere la seguente equazione:
((10x+y-x)/(10y+2x-2x) =1/2 -> (9x+y)/(10y) = 1/2 -> 18x+2y = 10y -> 18x = 8y
“x” e “y” devono , inoltre, essere numeri interi compresi fra 1 e 9.
In aggiunta “x” non può essere superiore a 4 altrimenti 2x sarebbe di due cifre.
L’unica coppia di “x” e “y” che soddisfa a tali restrizioni è: x=4 e y=9.
Il problema è stato posto con i numeri espressi in base 10.
Chissà con numeri espressi in altre basi quanti cosa capita?
Roberto, approfitto per ringraziarla per la sua accoglienza (e la sua pazienza).
Se i commenti assottigliati si possono sistemare, bene; e se no li rincicceremo come suggerito, ci mancherebbe.
yop
@yop
rispondo al tuo “il 9th Dicembre 2024 alle 14:05” a parte perchè se mi aggiungo alla lista di risposte specifiche vien illeggibile
(già la tua risposta la vedo un carattere per riga) .
Come sempre potrei spagliarmi ma:
– io non mi preoccupo dei fattori primi perché mi complicherebbero la vita
(nel senso che posso mostrare in modo diverso tutte i possibili casi per 1/2)
– mi pare che siamo d’accordo, sulla cifra meno e più significativa
– ad esempio in 2666/6665 non potrebbe fare sempre 2/5 senza il 2 e il 5
(questo perché i 6 vengono tolti man mano un per volta e alla fine resta 2/5)
– si mostra poi facilmente che per quanti 6 si aggiungano vale sempre 2/5
– la prima cosa da fare, quindi, per 1/2 è trovare tutte le coppie che fanno 1/2
– le coppie sono solo: 1/2 2/4 3/6 4/8
– inizio con 1/2 ad esempio e provo ad aggiungere la cifra che poi si ripete
– ad esempio: 16/62 oppure 15/52 …
– controllo se in qualche caso la divisione venga 1/2
– se in nessun caso fra i 9 possibili la divisione fa 1/2 la coppia 1-2 la scarto
– in questo modo mi accorgo che solo con 49/98 ottengo 1/2
– quindi questa è l’unica partenza che permette di ottenere 1/2
– controllo poi che anche per 499/998 e successivi faccia 1/2
– ho trovato così la sola combinazione di cifre per ottenere 1/2.
Anche a me viene una colonna di caratteri.
Comunque valter, quello che scrivi tu NON spiega perché si possano semplificare i 6 a numeratore e a denominatore in quella maniera agghiacciante, è solo un tentativo meccanico a forza bruta che non mi piace per nulla perchénulla dice sul caso generale.
E comunque va bene così, non è che sia una questione di vita o di morte. 🙂
Ripropongo la mia proposta con tre e quattro figli, …e le correggo
(perché, da addormentato, le avevo messe come risposte a yop):
Con numero totale cammelli all’inizio 11, le soluzione, mi pare, siano:
(2,3,12;11), (2, 4, 6; 11), (3,3,4;12).
Con quattro figli le soluzioni , mi pare, siano:
(2,4,12,12;11), (3,3,6,12;11), (3,4,4,12;11), (3,4,6,6;11), (4,4,4,6;11).
Orbene, non so se stiamo violando qualche norma di copyright, ma ne dubitiamo, visto che l’immagine che potete vedere seguendo questo link vi porta a due pagine di una rivista cartacea molto amica di MaddMaths! e le pagine in questione sono scritte dalle stesse persone che gestiscono questo blog. Si parla un po’ più diffusamente dello stesso problema, nell’ambito di un articolo in cui si provava ad analizzare i meccanismi alla base di alcuni tipi classici di indovinelli matematici. Consideratela una sorta di pubblicità indiretta ad Archimede.
…forse perché vado un pò di fretta.
Con tre figli c’è pure: (3,3,4;12).
Con quattro figli c’è pure: (3,3,6,12).
Con cinque figli:
(3,3,12,12,12;11), (3,4,6,12,12;11), (4,4,4,,12,12;11), (4,4,6,6,12;11), (4,6,6,6,6;12).
Con sei figli:
(3,6,6,12,12,12;11), (4,6,6,6,12,12), (4,4,6,12,12,,12).
Con sette figli:
(3,6,12,12,12,12,12;11), (4,6,6,12,12,12,12;11), (6,6,6,6,12,12,12).
Con otto figli:
(3,12,12,12,12,12,12,12;11), (4,6,12,12,12,12,12,12;11), (6,6,6,12,12,12,12,12;11).
Con nove figli:
(6,6,12,12,12,12,12,12,12;11).
Con 10 figli:
(6,12,12,12,12,12,12,12,12,12;11)..
Con 11 figli:
(12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12;11)..
valter sì, c’entrano senz’altro i fattori primi, infatti e si scompone 2666 si ottiene 2×31×43 e se si scompone 6665 si ottiene 5×31×43. Trovare la regola generale però ci devo penzar su.
Io sono partito impostando la cifra più significativo del numeratore uguale alla metà di quella meno significativa del denominatore (mi pare che da ciò non si possa prescindere) e poi sono andato per tentativi (tanto sono pochi: … già la meno significativa del denominatore può essere solo una delle quattro cifre pari escluso lo zero).
“trovare una frazione della stessa forma abbb…/b…bbbc”
“poi sono andato per tentativi (tanto sono pochi”
Okkio valter che i tentativi (e i risultati validi) potrebbero essere tendenti a ∞, perché non si richiede che numeratore e denominatore siano esclusivamente di 4 cifre per ottenere 1/2, quindi meglio trovare una regola generale, se possibile.
Hai ragione ma, …e qui posso sbagliarmi (nel caso mi correggi), basta trovare che la regola sia valida per le prime due cifre e poi mostrare che si estende alle cifre successive ripetendo la cifra in comune.
A mio parere se l’equazione non fosse valida per le prime due cifre, per quanto viene richiesto dal problema, qualsiasi altra coppia di numeri con tali primi due cifre meno/più significative, di qualsiasi lunghezza fossero, non potrebbe essere fra le coppie di numeri richieste dal problema.
Comunque siano le coppie di numeri, di qualsiasi lunghezza, la più significativa di uno diviso la meno significativa dell’altro deve dare 1/2.
“Comunque siano le coppie di numeri, di qualsiasi lunghezza, la più significativa di uno diviso la meno significativa dell’altro deve dare 1/2.”
E certo… è quello che è richiesto! 🙂 Così come nel caso della frazione 2/5 tutti gli altri fattori primi a dividendo e divisore devono essere uguali per potersi semplificare. Ma quanti possono essere?
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O succede (again) solo a me? (Android su Chrome o Firefox o Duck Duck go… è tutta una colonna
)
Lo scrivo come Nuovo commento de no vien fuori la colonna.
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A parte il “”na” che bello” che è un “ma”, nel mio commento c’erano pure un paio di faccine stemperanti l’apparente severa pedanteria ma che sono inopinatamente sparite. :/
Ottimo yop, tu puoi pensarla come ti pare, ma vedere il cuoco di Beetle Bailey (come si chiamava, poi… Cookie?) su una pagina di MaddMaths!, per quel che mi riguarda, è già una gran conquista. Sulle faccine, indagheremo. Sugli errori di sbaglio, non indagheremo troppo – non saremmo Rudi se lo facessimo. Sul fatto che tu non abbia detto niente in merito al fatto che il problema parla di cammelli, noi abbiamo messo una foto di dromedari e tu ce l’abbia fatta passare comunque liscia, festeggeremo. [PRS]
Caro Piotr! giusto non indagare oltre sugli “errori di sbaglio” che in effetti c’entran poco (però non nulla) con la fattispecie, ma sai com’è… per smuovere un po’ le acque… acque già alquanto torbide e inquietanti, visto che la vostra frazione semplificanda, “smontata” nella somma di quattro addendi con denominatore 6665 e numeratori pari a 2000, 600, 60 e 6, fornisce 4 numeri razionali tutti con un periodo di 105 cifre, ma che sommati danno un bel 0,4 tondo tondo. E in più essendoci pure i dromedari cammellati, qui ci vorrebbe Sherlock Holmes o forse meglio il Professor Moriarty, io penso.
Ciao!
Con numero totale cammelli all’inizio 11, l’unica altra soluzione, mi pare:
(2,3,12;11).
Con quattro figli le due soluzioni , mi pare, siano:
(4,4,4;6) e (3,4,4;12).
La struttura dei commenti è divertente: a ogni Rispondi allo stesso commento, il commento seguente viene graficamente assottigliato, tant’è che se guardo il mio precedente a questo risulta una lunga stringa di singoli caratteri incolonnati uno sotto l’altro.
O succede (again) solo a me? (Android su Chrome o Firefox o Duck Duck go… è tutta una colonna
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Rudi della malora! Come arrivate fate casini na che bello leggervi! Dunque:
Casino n°1 (classica svista da Rudi): “la soluzione “del muftì” con (2, 4, 6; 11)” è (2,3,6;11), e vabbè…
Casino n°2 (perlomeno per me che sono alquanto tardo anzichenò):
semplificare una frazione del tipo (k×k×k…×n)/((k×k×k…×m)=(k^a/k^b)×(n/m) =k^(a-b)×n/m, io non ci vedo nulla di speziale né di “sbagliato ma giusto”, ma come scritto sopra sui tardigradi…
Per il resto aspetto che altri cammellieri si esprimano, che mica devo fare tutto io come al solito
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Yopenzo
Come puoi immaginare, non mi occupo né leggo di eredità di cammelli (e di cammelli in generale…). La rivendicazione di autenticità non si spinge però a includere la formula del mcm dei primi n numeri naturali: sarebbe lesa memoria del legittimo autore, Chebyshev. Approfitto anche per dire che questo mcm è un puro espediente di calcolo, quindi i cammelli del mufti che vanno e vengono non sono fisici ma virtuali. Comunque, tanto per rassicurare il mufti, da k=4 in poi M=2*mcm(1,…, k), cioè la base di calcolo per la ripartizione dell’eredità, è minore di C, cioè il num. cammelli da ereditare, quindi non c’é alcun cammello in prestito, neppure virtuale.
Sulle semplificazioni “rudi”, per contenere la sbrodolata, indicando con abcd le cifre del nominatore, a’b’c’d’ quelle del denominatore (limitando il caso ai numeri con quattro cifre), la prima semplificazione equivale per il nominatore alla sottrazione
N’=abcd – (a*1000+(b-a)*100)
mentre per il denominatore equivale a
D’= a’b’c’d’ – a’*1000
Iterando il calcolo nei tre passaggi successivi ogni volta scalando di un fattore 10, non é difficile dimostrare che un numero per essere rudemente semplificabile deve soddisfare le quattro condizioni
(a*1000+(b-a)*100)/(a’*1000) = (a*100+(c-a)*10)/(b’*100) = (a*10+(d-a))/(c’*10) =a/d’ =N/D
dove N e D sono nominatore e denominatore della frazione di arrivo (2/5 nell’esempio del testo).
La quota dei numeri nel range 1000-9999 che soddisfano la semplificazione dipende molto dalla frazione N/D. Ad es, con ½ sono 32, con 2/5 8, con 1/5 125, con 1/7 1.
Siccome i numeri perfetti pari si ottengono tutti da: 2^n [2^(n+1) − 1] con “n” numero primo di Mersenne, i loro divisori sono in totale 2p
(di numeri perfetti dispari non se ne sono per ora trovati ma, al momento, non c’è neppure una dimostrazione rigorosa che non ne esistano).
Dai divisori di un numero perfetto primo si ricavano i casi in cui i cammelli da ereditare sono uguali al numero perfetto meno 1 e gli eredi in numero uguale ai suoi divisori distinti da esso meno 1
(cioè in in cui, come nel caso degli 11 cammelli e dei tre figli, il mufti deve aggiunge un cammello per poi riprenderselo).
Ad esempio con numero perfetto 6, e i suoi tre divisori 1 2 e 3, si ricava che con 6-1=5 cammelli e 3-1 figli che ereditano in parti di 1/2 e 1/3, il mufti aggiungendo un cammello, fa si che i figli possano ereditare cammelli non sezionati potendo, poi, riprendersi in cammello aggiunto:
5+1=6, 6/2=3, 6/3=2, 3+2=5, 6-5=1 che il mufti si riprende.
Da tali numeri perfetti, ricavandone i successivi multipli, si ottengono altri casi di questo tipo.
Ad esempio:
– 6*2=12, 12-1=11
(il caso che è stato presentato dai Nostri)
– con 6 cammelli le parti sono: 1/6 1/3 1/2 e: 1 escluso perché non distinto
– moltiplicando per 1/2: 1/3 1/2 e 1, si hanno quelli per tre figli e 11 cammelli
– tale metodo vale anche per i successivi numeri perfetti
– ad esempio:
— 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 cioè: 1/28 1/14 1/7 1/4 e 1/2, …più 1
– 28*2 – 1 = 55 numero cammelli
– 5 il numero di figli cioè il totale dei divisori di 28 meno 1
– le parti ai 5 figli sono: 1/2 moltiplicato per: 1/14 1/7 1/4 e 1/2 e 1
– infatti: 56*( 1/28 + 1/14 + 1/8 + 1/4 + 1/2) = 55
– con gli altri multipli dei numeri perfetti si ottengono pure casi di questo tipo.
Se il numero di cammelli è un numero perfetto, e il numero di figli coincide con il numero dei suoi divisori distinti da esso, l’eredità può essere spartita tra i figli tramite tali divisori senza dover aggiungere o sezionare cammelli.
Ad esempio: con sei cammelli e tre figli, i figli possono ereditare rispettivamente: 1/2, 1/3 e 1/6 dei cammelli.
Da enciclopedia Treccani:
numero perfetto: numero naturale che coincide con la somma dei suoi divisori distinti da sé stesso; per esempio 6 e 28 sono numeri perfetti, in quanto 6 = 1 + 2 + 3 e 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. La formula generale con cui si rappresentano i numeri perfetti è data da 2^n (2^n+1 − 1), nell’ipotesi che 2^n+1 − 1 sia un numero primo. Un numero primo della forma 2^m − 1, dove m è un numero naturale, è detto un numero primo di → Mersenne, quindi il problema della determinazione dei numeri perfetti è equivalente a quello della determinazione dei numeri primi di Mersenne. I primi quattro numeri perfetti sono 6, 28, 496 e 8128. I numeri perfetti sono tutti figurati: essi sono allo stesso tempo triangolari ed esagonali (→ numero figurato).
…voglio dire: la ripartizione se è fatta su 60 cammelli, il muftì deve aggiungerne 27 dei sui per permetterla, perché, con i soli 60 cammelli del padre, non si riesce a darne un numero intero (cioè senza sezionarli) ai cinque figlio in parti:
1/2+ 1/3 + 1/4 +1/5 + 1/6 di 60
cioè:
30 + 20 + 15 + 12 + 10 = 87 cammelli dati in eredità.
È certo un muftì che che fa la tratta dei cammelli. Si riprenderà il dovuto con gli interessi con le buone o con le cattive.
Questa volta il mufti è stato più che onesto.
La somma dei cammelli lasciati ai figli è di 11/12.
Il mufti avrebbe dovuto prendere per il suo lavoro 1/12 di cammello.
Tutte le soluzione possibili di (x*z…)/(z…*y)=x/z, con incognite intere espresse in base 10 e comprese fra 1 e 9, le ho ottenute risolvendo:
(10x+z)/(10z+y)=x/y,0<x<10,0<y<10,0<z<10,x<y
e sono:
16…/6…4=1/4, 19…/9…5=1/5, 26…/6…5=2/5, 48…/98…=1/2.
Per l'altro problema ho affrontato solo il caso per cui aggiungendo 1 al numero di cammelli e con tre figli che ricevono rispettivamente 1/2 1/3 e 1/6 del totale cammelli.
Grazie all'esposizione di Pietro A l'unico caso possibile mi pare sia con 11 cammelli con il cammello aggiunto che, non essendo stato assegnato a nessun figlio, viene alla fine restituito al proprietario.
Il caso esposto di 120 cammelli che vengono distribuiti a cinque figlio in rapporto:
1+ 1/2+ 1/3 + 1/4 +1/5 + 1/6
cioè rispettivamente in numero:
30, 20, 15, 12, 10
richiede, come ci ha mostrato Alberto A che C (cioè il numero totale di cammelli distribuiti ai figlio) sia 147.
Immagino che, in questo caso, il muftì, per permettere tale suddivisione dell'eredità, aggiunga 27 cammelli ai 120 …ma non recupera nessuno dei 27 cammelli.
Perché ciascun figlio abbia cammelli interi e non vivisezioni, il calcolo del mufti deve basarsi su un numero virtuale M divisibile per 2, 4, —, 2k (essendo ½, ¼, … le quote risp. del primo, del secondo … figlio), cioè
(1) M = mcm(2, 4, 6, …, 2k) = 2*mcm(1,…, k)
(Il numero M è un puro espediente di calcolo, in modo da fare risultare quote intere dei figli, e può essere ottenuto con o senza l’aggiunta del povero cammello del mufti.)
Il ln del mcm dei primi k interi è dato dalla somma dei ln della maggiore potenza dei numeri primi p < = k,
ln(mcm(2…k)) =a*ln2 + b*ln3 + c*ln5…
in cui come detto p^i <= k (i=a, b….). Dunque per (1)
(2) M = mcm(2…2k)= 2*e^( a*ln2 + b*ln3 + c*ln5…)
Inoltre è richiesto che la somma dei cammelli distribuiti secondo il calcolo del mufti debba coincidere con il numero dei cammelli C da ereditare:
C=(M/2)*A(k)
dove A(k) è la serie armonica troncata ai primi k elementi.
Sostituendo la (2), C=2* (e^( a*ln2 + b*ln3 + c*ln5…)/2)*A(k), cioè
(3) C = e^( a*ln2 + b*ln3 + c*ln5…)*A(k)
Ad es se k=6, abbiamo ln(M)=2*e^(2ln2+ln3+ln5)
quindi
M=2*e^(2*0,693+1,099+1,699) = 2*e^4,094 = 120
da cui ricaviamo
C = ((M)/2)* (1+ 1/2+ 1/3 + ¼ +1/5 + 1/6) = (120/2)*2,45=147
Il primo figlio avrà 60 cammelli, il secondo 30, poi 20, 15, 12, 10.
Di fatto, per rispettare la volontà del padre, questi dovrà lasciare in eredità almeno 3 cammelli se ha 2 figli, 11 nel caso di 3, 25 nel caso di 4, 137 nel caso di 5, ecc.
E se I figli fossero 10? L’eredità dovrebbe essere almeno di 7381 cammelli…
Per la questione delle "semplificazioni", oltre a 1333 anche 1313 (cioè 2626/6565) rispetta la “regola” per 2/5. Curiosamente entrambi rispettano anche quella per 3/5 (3939/6565 e 3999/6665). La grande maggioranza dei casi la troviamo comunque con la frazione = 1/5.
Osteria Pietro A., davvero bella proposta di soluzione dei camelidi la tua. È originale o hai trovato/ricordato lo spunto tra i polverosi tomi della tua biblioteca?
Invece con le frazioni “semplificabili” sei stato un po’ laconico pure tu: quante sono le frazioni possibili con dividendo e divisore di qualsiasi grandezza e come si possono (eventualmente) trovare?
@yop
Ovviamente potevo direttamente risolvere l’equazione:
((10x+y)/(10y+2x) =1/2
dei due numeri con due cifre che porta sempre a: 18x = 8y
(volevo mostrare che l’aggiunta di “y” successivi mantiene il rapporto 1/2).
Per i vincoli che richiedono “x” e “y” compresi fra 1 e 9 e con “x” < 5 si può evitare la "forza bruta" delle quattro verifiche con x=1,2,3 e 4 per vedere se "y" risulta in qualche caso un intero minore di 10, penso si possa fare in questo modo:
– fattorizzo 18 e 8 ed ottengo: 2*3*3*x = 2*2*2*y
– il minimo per risolvere l'equazione è imporre x=2*2=4 e y=3*3=9
– infatti così si ottiene: (2*2)*(2*3*3) = (2*2*2)*(3*3)
– siccome y=9, con valori superiori di "y" si supererebbero il vincolo: 0<y< 10..
@yop
vero, può andar bene così, in fondo non è questione di vita e di morte.
…ma visto che siamo qui per giocare con i numeri vorrei giocarci ancora un pò
(ti assicuro che non è per pedanteria; le tue obiezioni le trovo più che valide).
Provo qualcosa che non sia la forza bruta ma almeno un pò più “algebrico”.
Chiamo “x”, che per ora non conosco, il 4 di 49… e chiamo “y” il 9.
Volendo ottenere 1/2 come rapporto, la prima cifra del numero a denominatore deve essere 2x
(per fare in modo che quando si eliminano gli “y” resti la frazione x/(2x) = 1/2).
Ora, a due cifre il rapporto sarà: (10x+y)/(10y+2x).
Se tale rapporto deve continuare a fare 1/2 i numeri a numeratore e denominatore devono incrementarsi di 1/2 rispetto ai valori “x” e “2x” di partenza, cioè del due numeri a una cifra che restano eliminando gli “y”.
Sottraggo quindi “x” dal numeratore e “2x” a denominatore.
Dovrei ottenere la seguente equazione:
((10x+y-x)/(10y+2x-2x) =1/2 -> (9x+y)/(10y) = 1/2 -> 18x+2y = 10y -> 18x = 8y
“x” e “y” devono , inoltre, essere numeri interi compresi fra 1 e 9.
In aggiunta “x” non può essere superiore a 4 altrimenti 2x sarebbe di due cifre.
L’unica coppia di “x” e “y” che soddisfa a tali restrizioni è: x=4 e y=9.
Il problema è stato posto con i numeri espressi in base 10.
Chissà con numeri espressi in altre basi quanti cosa capita?
Roberto, approfitto per ringraziarla per la sua accoglienza (e la sua pazienza).
Se i commenti assottigliati si possono sistemare, bene; e se no li rincicceremo come suggerito, ci mancherebbe.
yop
@yop
rispondo al tuo “il 9th Dicembre 2024 alle 14:05” a parte perchè se mi aggiungo alla lista di risposte specifiche vien illeggibile
(già la tua risposta la vedo un carattere per riga) .
Come sempre potrei spagliarmi ma:
– io non mi preoccupo dei fattori primi perché mi complicherebbero la vita
(nel senso che posso mostrare in modo diverso tutte i possibili casi per 1/2)
– mi pare che siamo d’accordo, sulla cifra meno e più significativa
– ad esempio in 2666/6665 non potrebbe fare sempre 2/5 senza il 2 e il 5
(questo perché i 6 vengono tolti man mano un per volta e alla fine resta 2/5)
– si mostra poi facilmente che per quanti 6 si aggiungano vale sempre 2/5
– la prima cosa da fare, quindi, per 1/2 è trovare tutte le coppie che fanno 1/2
– le coppie sono solo: 1/2 2/4 3/6 4/8
– inizio con 1/2 ad esempio e provo ad aggiungere la cifra che poi si ripete
– ad esempio: 16/62 oppure 15/52 …
– controllo se in qualche caso la divisione venga 1/2
– se in nessun caso fra i 9 possibili la divisione fa 1/2 la coppia 1-2 la scarto
– in questo modo mi accorgo che solo con 49/98 ottengo 1/2
– quindi questa è l’unica partenza che permette di ottenere 1/2
– controllo poi che anche per 499/998 e successivi faccia 1/2
– ho trovato così la sola combinazione di cifre per ottenere 1/2.
Anche a me viene una colonna di caratteri.
Comunque valter, quello che scrivi tu NON spiega perché si possano semplificare i 6 a numeratore e a denominatore in quella maniera agghiacciante, è solo un tentativo meccanico a forza bruta che non mi piace per nulla perchénulla dice sul caso generale.
E comunque va bene così, non è che sia una questione di vita o di morte. 🙂
Ripropongo la mia proposta con tre e quattro figli, …e le correggo
(perché, da addormentato, le avevo messe come risposte a yop):
Con numero totale cammelli all’inizio 11, le soluzione, mi pare, siano:
(2,3,12;11), (2, 4, 6; 11), (3,3,4;12).
Con quattro figli le soluzioni , mi pare, siano:
(2,4,12,12;11), (3,3,6,12;11), (3,4,4,12;11), (3,4,6,6;11), (4,4,4,6;11).
Orbene, non so se stiamo violando qualche norma di copyright, ma ne dubitiamo, visto che l’immagine che potete vedere seguendo questo link vi porta a due pagine di una rivista cartacea molto amica di MaddMaths! e le pagine in questione sono scritte dalle stesse persone che gestiscono questo blog. Si parla un po’ più diffusamente dello stesso problema, nell’ambito di un articolo in cui si provava ad analizzare i meccanismi alla base di alcuni tipi classici di indovinelli matematici. Consideratela una sorta di pubblicità indiretta ad Archimede.
Ma certo che lo è una bella pubblicità. Per chi ama i Rudi Mathematici, la rivista Archimede https://maddmaths.simai.eu/category/archimede/ dovrebbe essere una necessità…
…forse perché vado un pò di fretta.
Con tre figli c’è pure: (3,3,4;12).
Con quattro figli c’è pure: (3,3,6,12).
Con cinque figli:
(3,3,12,12,12;11), (3,4,6,12,12;11), (4,4,4,,12,12;11), (4,4,6,6,12;11), (4,6,6,6,6;12).
Con sei figli:
(3,6,6,12,12,12;11), (4,6,6,6,12,12), (4,4,6,12,12,,12).
Con sette figli:
(3,6,12,12,12,12,12;11), (4,6,6,12,12,12,12;11), (6,6,6,6,12,12,12).
Con otto figli:
(3,12,12,12,12,12,12,12;11), (4,6,12,12,12,12,12,12;11), (6,6,6,12,12,12,12,12;11).
Con nove figli:
(6,6,12,12,12,12,12,12,12;11).
Con 10 figli:
(6,12,12,12,12,12,12,12,12,12;11)..
Con 11 figli:
(12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12;11)..
4999…/999…8
valter sì, c’entrano senz’altro i fattori primi, infatti e si scompone 2666 si ottiene 2×31×43 e se si scompone 6665 si ottiene 5×31×43. Trovare la regola generale però ci devo penzar su.
Io sono partito impostando la cifra più significativo del numeratore uguale alla metà di quella meno significativa del denominatore (mi pare che da ciò non si possa prescindere) e poi sono andato per tentativi (tanto sono pochi: … già la meno significativa del denominatore può essere solo una delle quattro cifre pari escluso lo zero).
“trovare una frazione della stessa forma abbb…/b…bbbc”
“poi sono andato per tentativi (tanto sono pochi”
Okkio valter che i tentativi (e i risultati validi) potrebbero essere tendenti a ∞, perché non si richiede che numeratore e denominatore siano esclusivamente di 4 cifre per ottenere 1/2, quindi meglio trovare una regola generale, se possibile.
Hai ragione ma, …e qui posso sbagliarmi (nel caso mi correggi), basta trovare che la regola sia valida per le prime due cifre e poi mostrare che si estende alle cifre successive ripetendo la cifra in comune.
A mio parere se l’equazione non fosse valida per le prime due cifre, per quanto viene richiesto dal problema, qualsiasi altra coppia di numeri con tali primi due cifre meno/più significative, di qualsiasi lunghezza fossero, non potrebbe essere fra le coppie di numeri richieste dal problema.
Comunque siano le coppie di numeri, di qualsiasi lunghezza, la più significativa di uno diviso la meno significativa dell’altro deve dare 1/2.
“Comunque siano le coppie di numeri, di qualsiasi lunghezza, la più significativa di uno diviso la meno significativa dell’altro deve dare 1/2.”
E certo… è quello che è richiesto! 🙂 Così come nel caso della frazione 2/5 tutti gli altri fattori primi a dividendo e divisore devono essere uguali per potersi semplificare. Ma quanti possono essere?
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O succede (again) solo a me? (Android su Chrome o Firefox o Duck Duck go… è tutta una colonna
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però basta fare un commento nuovo di zecca per rincicciottirlo… 😀
Lo scrivo come Nuovo commento de no vien fuori la colonna.
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è fatto così, quindi meglio non esagerare. Ora vedo se si riesce a cambiare
A parte il “”na” che bello” che è un “ma”, nel mio commento c’erano pure un paio di faccine stemperanti l’apparente severa pedanteria ma che sono inopinatamente sparite. :/
Ottimo yop, tu puoi pensarla come ti pare, ma vedere il cuoco di Beetle Bailey (come si chiamava, poi… Cookie?) su una pagina di MaddMaths!, per quel che mi riguarda, è già una gran conquista. Sulle faccine, indagheremo. Sugli errori di sbaglio, non indagheremo troppo – non saremmo Rudi se lo facessimo. Sul fatto che tu non abbia detto niente in merito al fatto che il problema parla di cammelli, noi abbiamo messo una foto di dromedari e tu ce l’abbia fatta passare comunque liscia, festeggeremo. [PRS]
Caro Piotr! giusto non indagare oltre sugli “errori di sbaglio” che in effetti c’entran poco (però non nulla) con la fattispecie, ma sai com’è… per smuovere un po’ le acque… acque già alquanto torbide e inquietanti, visto che la vostra frazione semplificanda, “smontata” nella somma di quattro addendi con denominatore 6665 e numeratori pari a 2000, 600, 60 e 6, fornisce 4 numeri razionali tutti con un periodo di 105 cifre, ma che sommati danno un bel 0,4 tondo tondo. E in più essendoci pure i dromedari cammellati, qui ci vorrebbe Sherlock Holmes o forse meglio il Professor Moriarty, io penso.
Ciao!
Con numero totale cammelli all’inizio 11, l’unica altra soluzione, mi pare:
(2,3,12;11).
Con quattro figli le due soluzioni , mi pare, siano:
(4,4,4;6) e (3,4,4;12).
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O succede (again) solo a me? (Android su Chrome o Firefox o Duck Duck go… è tutta una colonna
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Rudi della malora! Come arrivate fate casini na che bello leggervi! Dunque:
Casino n°1 (classica svista da Rudi): “la soluzione “del muftì” con (2, 4, 6; 11)” è (2,3,6;11), e vabbè…
Casino n°2 (perlomeno per me che sono alquanto tardo anzichenò):
semplificare una frazione del tipo (k×k×k…×n)/((k×k×k…×m)=(k^a/k^b)×(n/m) =k^(a-b)×n/m, io non ci vedo nulla di speziale né di “sbagliato ma giusto”, ma come scritto sopra sui tardigradi…
Per il resto aspetto che altri cammellieri si esprimano, che mica devo fare tutto io come al solito