I disegnatori, lo sanno tutti, hanno i superpoteri. Lo dice la logica, mica noi: avete mai visto un supereroe che non sia stato disegnato da un disegnatore? Certo che no. Quindi è palese: se i supereroi hanno i superpoteri, è perché sono i disegnatori a darglieli. Poi, che c’entra… anche i supereroi ci mettono la loro parte: se sei bella come Wonder Woman puoi fare a meno di diventare invisibile (anzi, guai a te se lo fai!) o di emettere raggi laser dagli occhi; se sei bravo a saltapicchiare come Spiderman, a nessuno importa se sotto sotto sei ancora ingenuo come un ragazzino del liceo, fino al punto che, se hai il fascino del ben tenebroso e l’aria ieratica del mistero cosmico, nessuno si interrogherà troppo sull’assurdità che ti vede saettare da un pianeta all’altro su una tavola da surf, come Silver Surfer. Una tavola da surf, perdindirindina, ci rendiamo conto? Insomma, se ti disegnano i disegnatori, sei invincibile.
Guardateci, sulle pagine di Le Scienze dove siamo ritratti a fare gli sportivi nel parco: siamo tutti e tre belli, atletici, affascinanti, simpatici. Non saprete mai, per vostra gran fortuna, come sarebbe la stessa scena se a ritrarla fosse stata una placida e obiettiva macchina fotografica, invece di un disegnatore. Ma è così: è come se ognuno di noi avesse almeno due aspetti, quello del disegno e quello della realtà. Uno è l’altra faccia dello stesso foglio, e sono diversissimi, credeteci. E per farvici credere meglio, eccovi un veloce riassunto del problema che quel disegno ha così generosamente accompagnato.
Quattro cartoncini mostrano i numeri 1 2 3 4, nel giusto ordine. Ognuno di essi ha, sul retro (verso), una delle stesse quattro cifre, ma diversa da quella che mostra sul lato inizialmente visibile (recto). Dopo che due dei quattro cartoncini sono stati rovesciati, e che quindi adesso mostrano il numero del verso, viene cambiato di posto uno dei due cartoncini non rovesciati; poi si sposta anche l’altro rimasto intonso. Quali numeri hanno tutti i cartoncini sia sul verso che sul recto, sapendo che dopo le operazioni descritte questi mostrano la sequenza 3 4 2 2?
Mi raccomando: tenete bene in conto che le due facce dei cartoncini non portano mai lo stesso numero: è la dimostrazione di quanto abbiamo detto fino ad ora, non vorrete mica vanificare tutta la manfrina sui supereroi, no? Per il resto, valgono le solite regole: a noi piacerebbe che prima di correre a leggere la soluzione qua sotto provaste a risolvere il quesito, magari commentando e proponendo metodi risolutivi, e solo dopo cliccare sul link qua sotto.
La soluzione del problema secondo i Rudi Mathematici è pubblicata QUI.
E se lo avete fatto, avrete visto che a fondo di quella soluzione c’è anche uno di quei problemi complicati che è quasi impossibile sceneggiare: ovvio, potete anche risolvere quello, e commentare sempre qua sotto. Se invece non avete voglia né di risolvere né di commentare, che possiamo dirvi? Vi vogliamo bene lo stesso.
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
Ho corretto il documento che avevo condiviso e il relativo programma
(per adeguarli a quanto emerso nelle discussioni e mie considerazioni).
Con le modifiche risulta che il solo valore N che risolve il problema è 25.
Le mie considerazioni le ho così riassunte nel documento:
”
Nel ricercare la soluzione mi sono servito di alcune “scorciatoie”:
– le dichiarazioni uno e due non possono affermare entrambe il vero
(in tal caso, la 2 dovrebbe dichiara di “non” essere la prima vera)
– da quanto afferma, si deduce che la dichiarazione numero 6 è vera
(perché, se fosse falsa, “non” direbbe di “non” essere l’ultima vera)
– la dichiarazione 5, se vera, è l’unica che garantisce l’N univoco.
“
Con un ragionamento assimilabile ho ricavato, dalla dichiarazione (2), che non può essere che la risposta delle dichiarazioni (1) e (2) sia per entrambe “vero” oppure per entrambe “falso”.
Ho corretto il mio programma di verifica modificando i test per le dichiarazioni (2) e (6) con tali vincoli e, in questo modo, il programma mi fornisce un’unica soluzione, cioè quella già citata con N=25, senza, inoltre, altre soluzione con più valori di N come prima invece faceva.
Io mi sono un pò perso nel ragionamento.
Provo a spiegarmi riguardo alla (6), forse qualcuno riesce a chiarirmi:
– mi sono chiesto: cosa significa “non è l’ultima dichiarazione vera”?:
— significa che non è l’ultima dichiarazione che risponde “vero”
— oppure non è l’ultima dichiarazione che risponde dicendo la verità?
Ho optato per la seconda ipotesi.
In questo modo modo ho 4 possibili configurazioni che la riguardano:
– dice il vero e risponde “vero”
– dice il vero e risponde “falso”
– dice il falso e risponde “vero”
– dice il falso e risponde “falso”
A mio avviso, con questa premessa, solo la configurazione:
– dice il falso e risponde “falso”
è l’unica configurazione che non può comunque presentasi:
– se dice il falso non è l’ultima dichiarazione vera cioè che dice il vero
– infatti, dicendo il falso, risponderebbe “vero” e non “falso”.
Quindi:
– se la risposta è “falso” sta sicuramente dicendo il vero
– se la risposta è “vero” può dire sia il vero che il falso e quindi è indecidibile
(e, in questo caso, non sappiamo se è l’ultima dichiarazione vera).
L’unica informazioni che possiamo dedurre è che la dichiarazione è vera, e quindi è l’ultima dichiarazione vera, se risponde “falso”.
La (2) è logicamente un OR, e per essere vera almeno una delle due condizioni X, Y che la compongono deve essere vera:
(2) = X OR Y
Ora, se la (1) è vera, X (“questa è la prima dichiarazione vera”) è falsa. Dunque la verità di (2) dipende tutta dalla condizione Y (“questa è la prima dichiarazione falsa della lista”). Y è però una riproposizione dell’antico paradosso del mentitore (“io mento” ovvero “io dico il falso”), che se è vera è falsa e viceversa: in altre parole, Y non ha un proprio valore di verità. Ne consegue che il contributo della condizione Y al valore di verità della (2) è in ogni caso nullo. A questo punto il valore di verità di (2) poggia esclusivamente su X, che però come detto è falsa, e quindi la (2) è falsa.
Se nessuna tra (7) e (10) fosse vera, la (6) riproporrebbe un caso simile, con la differenza che la (6) non è un OR, e dunque il suo valore di verità poggia sull’unica condizione che la definisce, cioè l’affermazione riferita a se stessa di non essere l’ultima dichiarazione vera. Da notare: che la (6) possa assumere un valore di verità dipende dall’aggettivo “ultima”, altrimenti la (6) si ridurrebbe ad affermare di non essere vera, con il problema di indecidibilita’ conseguente. Questo però è proprio il caso quando non ci sono vere successive. In questo caso infatti, se fosse vera, la (6) sarebbe l’ultima dichiarazione vera, e pertanto sarebbe falsa, in quanto afferma proprio di non essere l’ultima dich. vera. Del resto, se fosse falsa, risulterebbe che la (6) è l’ultima dich. vera (due negazioni: la falsità di (6) significa la negazione che la (6) stessa non sia l’ultima). Di nuovo, non potremmo assegnare alla (6) un valore di verità e tutto il gioco sarebbe indecidibile. Questo è effettivamente il caso della sequenza
FVVVV?FFFF
con N=20, se la (6) fosse vera.
Anch’io ero giunto (nel documento raggiungibile dal link presente nel mio post precedente) alla stessa conclusione di Pietro A; ma non avevo colto le implicazioni legate alla dichiarazione (2) che Pietro A ha ben illustrato.
Mi pare, se ho compreso, che la condizione (2) non sarebbe indecidibile se essa fosse vera e la (1) fosse falsa; ma premettendo che la (1) sia vera lo diventa.
Ho provato a modificare il programma che avevo codificato per trovare le possibili soluzioni del problema fissando le prime due dichiarazioni come detto, vale dire (1) falsa e /2) vera, ma, così modificato, non produce soluzioni al problema.
Dovrebbe valere, quindi, quanto dice Pietro A, cioè che la (1) sia vera e la (2) false.
Non riesco però a convincermi completamente di come ciò viene dedotto; cioè che date le due premesse assunta la (1) vera:
– la condizione (2) è indecidibile, cioè che nulla può dire della verità di se stessa
(… sino a qui riesco a seguire il ragionamento)
– … siccome la prima condizione è palesemente falsa
(… qui mi blocco perché, se ho compreso, anche la seconda condizione è palesemente falsa cioè non la (2) non può essere stesso tempo dire il vero e essere falsa)
ne consegue che:
– …ne deduciamo che la (2) è falsa.
E’ di questo “ne deduciamo” che non riesco a farmene una ragione
Vorrei riproporre quanto avevo dedotto, nel mio documento, dalla dichiarazione (6)
(per capire se si concorda con quanto affermavo o se il mio ragionamento ha una falla), ripropongo la dichiarazione (6):
“6. Questa non è l’ultima dichiarazione vera.”
A mio avviso questa dichiarazioni non può che essere che vera; se fosse falsa, dicendo di se stessa di non essere l’ultima dichiarazione vera, direbbe il vero, il che contraddice la premessa che sia falsa.
Bel conundrum il problema gentimente servito come extra dai nostri. Faccio allora un po’ di spamming.
Supponiamo la (1) vera. La verità della seconda dichiarazione, che per l’ipotesi fatta non può essere la prima vera, dipende dunque dalla seconda condizione in essa contenuta, condizione che afferma di se stessa di essere (la prima) falsa. Quindi la (2) è vera se è falsa, e se è falsa è vera: è insomma una condizione indecidibile, che nulla può dire della verità della (2). E siccome la prima condizione è palesemente falsa, ne deduciamo che la (2) è falsa.
Se la (1) è vera, almeno una tra (9) è (10) è vera, e ciò vuol dire (come ci si può rendere conto) che la (10) è vera, ed è quindi esclusa una sequenza di tre dichiarazioni vere di seguito. Di conseguenza anche la (6) è vera, essendoci una vera successiva. Possiamo porre (7), (8) false, di fatto neutralizzandole, che con la (9) formano una tripletta falsa, per cui la (3) diventa vera.
La situazione ora è questa:
VFV??VFFFV
Per determinare N necessariamente almeno una tra (5) e (8) deve valere, e avendo ipotizzato la (8) falsa, riteniamo la (5) vera, per cui la somma S delle vere deve essere N.
Al momento abbiamo S=1+3+5+6+10=25. Se la (4), ultima rimasta, fosse vera, N dovrebbe essere diviso da 4. In questo caso però N=S sarebbe 29, numero primo. Quindi la (4) è falsa, e allora
S=N=25.
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![Low-Res_animaux[41]](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAASwAAAEsAQMAAABDsxw2AAAAA1BMVEUAAACnej3aAAAAAXRSTlMAQObYZgAAACJJREFUGBntwTEBAAAAwiD7p14KP2AAAAAAAAAAAAAAANwELbQAAZOJhkQAAAAASUVORK5CYII= "Problemi di matematica e come \"disegnarli\"")
![Low-Res_animaux[41]](https://maddmaths.simai.eu/wp-content/uploads/2024/03/Low-Res_animaux41-300x300.jpg "Problemi di matematica e come \"disegnarli\"")
Ho corretto il documento che avevo condiviso e il relativo programma
(per adeguarli a quanto emerso nelle discussioni e mie considerazioni).
Con le modifiche risulta che il solo valore N che risolve il problema è 25.
Le mie considerazioni le ho così riassunte nel documento:
”
Nel ricercare la soluzione mi sono servito di alcune “scorciatoie”:
– le dichiarazioni uno e due non possono affermare entrambe il vero
(in tal caso, la 2 dovrebbe dichiara di “non” essere la prima vera)
– da quanto afferma, si deduce che la dichiarazione numero 6 è vera
(perché, se fosse falsa, “non” direbbe di “non” essere l’ultima vera)
– la dichiarazione 5, se vera, è l’unica che garantisce l’N univoco.
“
Con un ragionamento assimilabile ho ricavato, dalla dichiarazione (2), che non può essere che la risposta delle dichiarazioni (1) e (2) sia per entrambe “vero” oppure per entrambe “falso”.
Ho corretto il mio programma di verifica modificando i test per le dichiarazioni (2) e (6) con tali vincoli e, in questo modo, il programma mi fornisce un’unica soluzione, cioè quella già citata con N=25, senza, inoltre, altre soluzione con più valori di N come prima invece faceva.
Io mi sono un pò perso nel ragionamento.
Provo a spiegarmi riguardo alla (6), forse qualcuno riesce a chiarirmi:
– mi sono chiesto: cosa significa “non è l’ultima dichiarazione vera”?:
— significa che non è l’ultima dichiarazione che risponde “vero”
— oppure non è l’ultima dichiarazione che risponde dicendo la verità?
Ho optato per la seconda ipotesi.
In questo modo modo ho 4 possibili configurazioni che la riguardano:
– dice il vero e risponde “vero”
– dice il vero e risponde “falso”
– dice il falso e risponde “vero”
– dice il falso e risponde “falso”
A mio avviso, con questa premessa, solo la configurazione:
– dice il falso e risponde “falso”
è l’unica configurazione che non può comunque presentasi:
– se dice il falso non è l’ultima dichiarazione vera cioè che dice il vero
– infatti, dicendo il falso, risponderebbe “vero” e non “falso”.
Quindi:
– se la risposta è “falso” sta sicuramente dicendo il vero
– se la risposta è “vero” può dire sia il vero che il falso e quindi è indecidibile
(e, in questo caso, non sappiamo se è l’ultima dichiarazione vera).
L’unica informazioni che possiamo dedurre è che la dichiarazione è vera, e quindi è l’ultima dichiarazione vera, se risponde “falso”.
Valter
La (2) è logicamente un OR, e per essere vera almeno una delle due condizioni X, Y che la compongono deve essere vera:
(2) = X OR Y
Ora, se la (1) è vera, X (“questa è la prima dichiarazione vera”) è falsa. Dunque la verità di (2) dipende tutta dalla condizione Y (“questa è la prima dichiarazione falsa della lista”). Y è però una riproposizione dell’antico paradosso del mentitore (“io mento” ovvero “io dico il falso”), che se è vera è falsa e viceversa: in altre parole, Y non ha un proprio valore di verità. Ne consegue che il contributo della condizione Y al valore di verità della (2) è in ogni caso nullo. A questo punto il valore di verità di (2) poggia esclusivamente su X, che però come detto è falsa, e quindi la (2) è falsa.
Se nessuna tra (7) e (10) fosse vera, la (6) riproporrebbe un caso simile, con la differenza che la (6) non è un OR, e dunque il suo valore di verità poggia sull’unica condizione che la definisce, cioè l’affermazione riferita a se stessa di non essere l’ultima dichiarazione vera. Da notare: che la (6) possa assumere un valore di verità dipende dall’aggettivo “ultima”, altrimenti la (6) si ridurrebbe ad affermare di non essere vera, con il problema di indecidibilita’ conseguente. Questo però è proprio il caso quando non ci sono vere successive. In questo caso infatti, se fosse vera, la (6) sarebbe l’ultima dichiarazione vera, e pertanto sarebbe falsa, in quanto afferma proprio di non essere l’ultima dich. vera. Del resto, se fosse falsa, risulterebbe che la (6) è l’ultima dich. vera (due negazioni: la falsità di (6) significa la negazione che la (6) stessa non sia l’ultima). Di nuovo, non potremmo assegnare alla (6) un valore di verità e tutto il gioco sarebbe indecidibile. Questo è effettivamente il caso della sequenza
FVVVV?FFFF
con N=20, se la (6) fosse vera.
Anch’io ero giunto (nel documento raggiungibile dal link presente nel mio post precedente) alla stessa conclusione di Pietro A; ma non avevo colto le implicazioni legate alla dichiarazione (2) che Pietro A ha ben illustrato.
Mi pare, se ho compreso, che la condizione (2) non sarebbe indecidibile se essa fosse vera e la (1) fosse falsa; ma premettendo che la (1) sia vera lo diventa.
Ho provato a modificare il programma che avevo codificato per trovare le possibili soluzioni del problema fissando le prime due dichiarazioni come detto, vale dire (1) falsa e /2) vera, ma, così modificato, non produce soluzioni al problema.
Dovrebbe valere, quindi, quanto dice Pietro A, cioè che la (1) sia vera e la (2) false.
Non riesco però a convincermi completamente di come ciò viene dedotto; cioè che date le due premesse assunta la (1) vera:
– la condizione (2) è indecidibile, cioè che nulla può dire della verità di se stessa
(… sino a qui riesco a seguire il ragionamento)
– … siccome la prima condizione è palesemente falsa
(… qui mi blocco perché, se ho compreso, anche la seconda condizione è palesemente falsa cioè non la (2) non può essere stesso tempo dire il vero e essere falsa)
ne consegue che:
– …ne deduciamo che la (2) è falsa.
E’ di questo “ne deduciamo” che non riesco a farmene una ragione
Vorrei riproporre quanto avevo dedotto, nel mio documento, dalla dichiarazione (6)
(per capire se si concorda con quanto affermavo o se il mio ragionamento ha una falla), ripropongo la dichiarazione (6):
“6. Questa non è l’ultima dichiarazione vera.”
A mio avviso questa dichiarazioni non può che essere che vera; se fosse falsa, dicendo di se stessa di non essere l’ultima dichiarazione vera, direbbe il vero, il che contraddice la premessa che sia falsa.
Bel conundrum il problema gentimente servito come extra dai nostri. Faccio allora un po’ di spamming.
Supponiamo la (1) vera. La verità della seconda dichiarazione, che per l’ipotesi fatta non può essere la prima vera, dipende dunque dalla seconda condizione in essa contenuta, condizione che afferma di se stessa di essere (la prima) falsa. Quindi la (2) è vera se è falsa, e se è falsa è vera: è insomma una condizione indecidibile, che nulla può dire della verità della (2). E siccome la prima condizione è palesemente falsa, ne deduciamo che la (2) è falsa.
Se la (1) è vera, almeno una tra (9) è (10) è vera, e ciò vuol dire (come ci si può rendere conto) che la (10) è vera, ed è quindi esclusa una sequenza di tre dichiarazioni vere di seguito. Di conseguenza anche la (6) è vera, essendoci una vera successiva. Possiamo porre (7), (8) false, di fatto neutralizzandole, che con la (9) formano una tripletta falsa, per cui la (3) diventa vera.
La situazione ora è questa:
VFV??VFFFV
Per determinare N necessariamente almeno una tra (5) e (8) deve valere, e avendo ipotizzato la (8) falsa, riteniamo la (5) vera, per cui la somma S delle vere deve essere N.
Al momento abbiamo S=1+3+5+6+10=25. Se la (4), ultima rimasta, fosse vera, N dovrebbe essere diviso da 4. In questo caso però N=S sarebbe 29, numero primo. Quindi la (4) è falsa, e allora
S=N=25.
Riassumendo, la sequenza è:
VFVFVVFFFV.
Mio contributo ai due problemi:
https://docs.google.com/document/d/1cykiZ0K1qRv1eJhA31HFWGpaBXvkG0M6/edit?usp=drive_link&ouid=117564311960738395185&rtpof=true&sd=true