Forse non tutti sanno che nessuno dei tre Rudi Mathematici è in realtà un vero matematico. Forse non tutti lo sapevano, ma probabilmente molti se lo immaginavano, visto il modo in cui trattiamo la matematica… comunque sia, la verità è che nel mucchio ci sono due fisici (uno è solo un fisichetto, in verità) e un’ingegnere con l’apostrofo.
Le reciproche prese in giro tra matematici, fisici e ingegneri fanno da sfondo la problema pubblicato sul numero di febbraio di Le Scienze. Si tratta di un problema che dovrebbe piacere soprattutto agli informatici, così non sentiranno troppo trascurati. Il succo del problema è questo:
Alice sistema quattro bicchieri opachi sul tavolo. Mentre Rudy osserva, nasconde un distintivo sotto uno di essi, quindi mette sopra i quattro bicchieri altrettante monete che, in modo del tutto casuale, mostreranno testa o croce (T/C), ognuna indipendentemente dalle altre. A questo punto Rudy deve scegliere una moneta delle quattro, e rovesciarla. Infine, arriva Doc che, pur essendo ignaro di ogni manovra precedente, deve capire sotto quale bicchiere si trova il distintivo solo osservando le monete.
Chiaro? Stringi stringi, non è altro che un problema di codifica e decodifica. Per scrivere l’articolo che ora è pubblicato sul sito di Le Scienze abbiamo impiegato cinque pagine e tre figure, e potete leggerlo seguendo il link qua sotto:
La soluzione del problema secondo i Rudi Mathematici è pubblicata QUI.
Ma, come al solito, vi diamo due raccomandazioni: la prima, quasi banale, è di provare a risolverlo, prima di andare a leggere la soluzione (ma poi fatelo, potrete così godervi la nostra prosa proverbialmente scoppiettante, oltre che la nostra abituale modestia); la seconda, rivolta soprattutto a coloro che ci hanno già scritto le loro soluzioni, di pubblicarle nei commenti. Vale sempre la pena farlo, ma questa volta ancora di più, visto che le maniere di codificare una soluzione al quesito sono certamente ben più di una.
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
Se già qualcuno non l’avesse pensato, si potrebbe immaginare questo. Interpretiamo ad es. T=0 e C=1 (codifica A, l’altra invertendo i valori è B); così con 4 monete otteniamo numeri binari da 0 a 15. Se vogliamo identificare la posizione del distintivo in base a uno di questi numeri, ne abbiamo solo 4 possibili; e con il vincolo di una sola moneta rovesciabile, non è affatto assicurato che partendo da un numero binario random tra 0000 e 1111 si riesca ad ottenere il numero che indica la posizione. Se però invece di prendere il numero assoluto prendiamo il corrispondente numero mod 4, otteniamo numeri tra 0 e 3. Ad es. se il numero di partenza è X=CTCC=1011 (decimale 11), variando la moneta da rovesciare abbiamo 0011 (3), 1111 (15), 1001 (9), 1010 (10), risp. associati ai numeri (mod 4) 3, 3, 1, 2.
A questo punto ci ricordiamo che quanto detto vale nell’ipotesi di codifica A, il che è chiaramente arbitrario. Se adottiamo la codifica B (T=1, C=0), nell’esempio fatto X=CTCC è 0100 (decimale 4), e variando la moneta da rovesciare otteniamo (mod 4) risp. 0, 0, 2, 1, cioè i complementari di 3, 3, 1, 2.
Considerando le due codifiche, possiamo sempre dire che, avendo la possibilità di scegliere la moneta da rovesciare, possiamo ottenere in totale 4 numeri mod 4, ognuno ripetuto due volte. Ma come si fa a distinguere la codifica corretta? Se ad es. Rudy rovescia la prima per cui la nuova sequenza è TTCC, come facciamo a dire che questa significa 3 oppure 0 mod 4?
Qui confidiamo in DOC e nel suo essere seguace di Ockham e del suo rasoio. Ci domandiamo da quali numeri originali vengono ricavati i due numeri mod 4. Nella codifica A, nell’esempio sopra 3 mod 4 viene ricavato dal decimale 3, mentre in quella B 0 viene ricavato dal suo complementare a 15, cioè 12. Se Rudy avesse voluto indicare 0 invece di 3, avrebbe potuto rovesciare la seconda moneta ottenendo CCCC, con complementare (codifica A) uguale a 15. Siccome 30, scegliendo di rovesciare la prima moneta Rudy ottiene il numero originale più basso, cioè quello più vicino e facilmente riducibile, se non coincidente, al numero corrispondente mod 4, e in questo modo con la complicità di Doc e del succitato rasoio può eliminare l’ambiguità delle due codifiche.
In altre parole, avendo a disposizione due possibili istanze dello stesso numero mod. 4, Rudy sceglierà quella delle due ottenuta da un numero originale minore rispetto a quello della codifica alternativa: dato il rapporto di complementarietà a 15 tra le due codifiche, questa possibilità è sempre assicurata.
P.S. Si potrebbe obiettare che la lettura del numero dipende da lato del tavolo da cui si guarda. Ma siccome leggere dal lato opposto equivale ad adottare la codifica alternativa, torniamo al caso discusso sopra.
Nel documento è presente un grafo che avevo cercato di rendere più “gradevole”.
Mi sembrava, infatti, disordinato, e avrei voluto qualcosa di più “simmetrico”.
La mappa grafica di un cubo, in soluzione, proposta dai Nostri, mi ha ispirato.
Ho ottenuto una mappa 4d, di un tessaratto, che la estende alle quattro monete: https://drive.google.com/file/d/1jjhyp1K8g8QvgJjV7DH6c3P0n4_CKE-E/view?usp=sharing
Il ruolo di nodi archi e colori sono gli stessi descritti nella loro soluzione.
Il disegno fornisce la stessa configurazione risolutiva di quello “sgradevole”.
Ho scelto tra i tanti modi di rappresentazione, quella che ritenevo più idonea.
Riducendo e traslando uno dei cubi si ottiene la rappresentazione più classica.
Sovrapponendo i due cubi, facondo combaciare i loro spigoli, si può notare che:
– gli spigoli di stesso colore sono opposti nei piani diagonali che lo dividono
– da ogni vertice partono quattro spigoli, che portano ai vertici dei bicchieri
– spostando opportunamente gli spigoli si ricavano le 4!=12 possibili soluzioni.
Stesso discorso si può proporre tra la mappa 3d e quella degli stati dei Nostri:
– si riduce e trasla la faccia CCC-TCC-TTC-CTC dentro quella la TTT-CTT-CCT-TCT
– in questo modo si ottiene la corrispondente mappa degli stati, mostrata sopra.
Questo discorso suggerisce poi come passare a dimensione superiori di iper-cubi
(e, quindi, proporre il problema con un numero superiore di bicchieri e monete).
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Se già qualcuno non l’avesse pensato, si potrebbe immaginare questo. Interpretiamo ad es. T=0 e C=1 (codifica A, l’altra invertendo i valori è B); così con 4 monete otteniamo numeri binari da 0 a 15. Se vogliamo identificare la posizione del distintivo in base a uno di questi numeri, ne abbiamo solo 4 possibili; e con il vincolo di una sola moneta rovesciabile, non è affatto assicurato che partendo da un numero binario random tra 0000 e 1111 si riesca ad ottenere il numero che indica la posizione. Se però invece di prendere il numero assoluto prendiamo il corrispondente numero mod 4, otteniamo numeri tra 0 e 3. Ad es. se il numero di partenza è X=CTCC=1011 (decimale 11), variando la moneta da rovesciare abbiamo 0011 (3), 1111 (15), 1001 (9), 1010 (10), risp. associati ai numeri (mod 4) 3, 3, 1, 2.
A questo punto ci ricordiamo che quanto detto vale nell’ipotesi di codifica A, il che è chiaramente arbitrario. Se adottiamo la codifica B (T=1, C=0), nell’esempio fatto X=CTCC è 0100 (decimale 4), e variando la moneta da rovesciare otteniamo (mod 4) risp. 0, 0, 2, 1, cioè i complementari di 3, 3, 1, 2.
Considerando le due codifiche, possiamo sempre dire che, avendo la possibilità di scegliere la moneta da rovesciare, possiamo ottenere in totale 4 numeri mod 4, ognuno ripetuto due volte. Ma come si fa a distinguere la codifica corretta? Se ad es. Rudy rovescia la prima per cui la nuova sequenza è TTCC, come facciamo a dire che questa significa 3 oppure 0 mod 4?
Qui confidiamo in DOC e nel suo essere seguace di Ockham e del suo rasoio. Ci domandiamo da quali numeri originali vengono ricavati i due numeri mod 4. Nella codifica A, nell’esempio sopra 3 mod 4 viene ricavato dal decimale 3, mentre in quella B 0 viene ricavato dal suo complementare a 15, cioè 12. Se Rudy avesse voluto indicare 0 invece di 3, avrebbe potuto rovesciare la seconda moneta ottenendo CCCC, con complementare (codifica A) uguale a 15. Siccome 30, scegliendo di rovesciare la prima moneta Rudy ottiene il numero originale più basso, cioè quello più vicino e facilmente riducibile, se non coincidente, al numero corrispondente mod 4, e in questo modo con la complicità di Doc e del succitato rasoio può eliminare l’ambiguità delle due codifiche.
In altre parole, avendo a disposizione due possibili istanze dello stesso numero mod. 4, Rudy sceglierà quella delle due ottenuta da un numero originale minore rispetto a quello della codifica alternativa: dato il rapporto di complementarietà a 15 tra le due codifiche, questa possibilità è sempre assicurata.
P.S. Si potrebbe obiettare che la lettura del numero dipende da lato del tavolo da cui si guarda. Ma siccome leggere dal lato opposto equivale ad adottare la codifica alternativa, torniamo al caso discusso sopra.
Il contributo alla soluzione del problema inviato, qualche tempo fa, ai Nostri:
https://docs.google.com/document/d/1oUFQ9yBJHq98WGevgK-xEj8MIEZVJqNB/edit?usp=sharing&ouid=117564311960738395185&rtpof=true&sd=true
Nel documento è presente un grafo che avevo cercato di rendere più “gradevole”.
Mi sembrava, infatti, disordinato, e avrei voluto qualcosa di più “simmetrico”.
La mappa grafica di un cubo, in soluzione, proposta dai Nostri, mi ha ispirato.
Ho ottenuto una mappa 4d, di un tessaratto, che la estende alle quattro monete:
https://drive.google.com/file/d/1jjhyp1K8g8QvgJjV7DH6c3P0n4_CKE-E/view?usp=sharing
Il ruolo di nodi archi e colori sono gli stessi descritti nella loro soluzione.
Il disegno fornisce la stessa configurazione risolutiva di quello “sgradevole”.
Ho scelto tra i tanti modi di rappresentazione, quella che ritenevo più idonea.
Riducendo e traslando uno dei cubi si ottiene la rappresentazione più classica.
Sovrapponendo i due cubi, facondo combaciare i loro spigoli, si può notare che:
– gli spigoli di stesso colore sono opposti nei piani diagonali che lo dividono
– da ogni vertice partono quattro spigoli, che portano ai vertici dei bicchieri
– spostando opportunamente gli spigoli si ricavano le 4!=12 possibili soluzioni.
Stesso discorso si può proporre tra la mappa 3d e quella degli stati dei Nostri:
– si riduce e trasla la faccia CCC-TCC-TTC-CTC dentro quella la TTT-CTT-CCT-TCT
– in questo modo si ottiene la corrispondente mappa degli stati, mostrata sopra.
Questo discorso suggerisce poi come passare a dimensione superiori di iper-cubi
(e, quindi, proporre il problema con un numero superiore di bicchieri e monete).