Un preprint su arXiv di quattro matematici, Craig Kaplan (University of Pittsburgh), David Smith (University of Birmingham), Joseph Myers (Cambridge University), Chaim Goodman-Strauss (University of Arkansas), annuncia la scoperta di quello che viene chiamato un “monotile aperiodico” (anche conosciuto come un einstein, dal tedesco ein stein=una pietra), ossia una singola forma che può essere utilizzata per ricoprire completamente una superficie senza mai creare uno schema ripetuto. La forma, a lungo ricercata, è sorprendentemente semplice ma ci sono voluti decenni per scoprirla e potrebbe trovare applicazioni in tutto, dalla scienza dei materiali alla decorazione.

Abbiamo familiarità con tassellazioni regolari, (i granelli di sale che sono cubici, le piastrelle quadrate, gli alveari esagonali), ma questa ricerca dimostra che si può riempire lo spazio con figure che in qualche modo sono sempre diverse (non si ripetono mai) e, quindi, potrebbero anche dirci, per esempio, come certi atomi si possono disporre. “Quanto può essere piccolo un insieme di tessere aperiodiche, ossia un gruppo di forme capaci di tassellare una superficie con uno schema che non si ripete mai esattamente uguale a se stesso? Il primo set aperiodico aveva oltre 20000 tessere. Ricerche successive hanno abbassato quel numero, a serie di dimensioni 92, poi 6 e poi 2, stiamo parlando delle delle famose tessere Penrose” spiega Kaplan.

In a new paper, David Smith, Joseph Myers, Chaim Goodman-Strauss and I prove that a polykite that we call “the hat” is an aperiodic monotile, AKA an einstein. We finally got down to 1! https://t.co/UnZETptgqZ 4/6 pic.twitter.com/debT8AcIYV

— Craig S. Kaplan (@cs_kaplan) March 21, 2023

Il lavoro di Penrose risale al 1974. Da allora, altri hanno trovato delle coppie di forme, ma nessuno è riuscito a trovare un “einstein”: un’unica forma in grado di tassellare il piano in modo aperiodico, e per anni si pensava che questo “sacro graal” della tassellazione potesse addirittura non esistere. Taylor e Socolar con la loro tessera esagonale, si sono avvicinati alla soluzione, ma quella forma richiede ulteriori marcature o modifiche per ricoprire in modo aperiodico una superficie, che non possono essere codificate esclusivamente nel suo contorno.
L'”einstein”, il monotile aperiodico, la forma trovata dai matematici nel nuovo articolo, è un “polykite” (ossia un poliformato costruito da quadrilateri ottenuti dalla sovrapposizione di una griglia triangolare ed esagonale) che hanno chiamato “il cappello”.

In matematica, la soluzione di questo problema è connessa a problemi di logica e decidibilità, e in fisica questi problemi sono connessi alla crescita dei quasi-cristalli che massimizzano la densità atomica, in modo da comprendere meglio la struttura della materia.