Fake papers #3: Non tutto scorre liscio

da Claudio Bonanno | 2 Febbraio 2017 | Fake papers

In matematica bisogna distinguere in maniera chiara tra articoli che presentano errori di tipo matematico sfuggiti alla peer review (e può succedere!) da articoli che sono invece frutto di comportamenti quanto meno poco attenti da parte del comitato editoriale della rivista o truffaldini da parte degli autori e che possono essere a tutti gli effetti chiamati “fake papers”. In questa rubrica ci vogliamo occupare di questi ultimi e, in particolare, di quelli che non risultano ritirati, descrivendo il problema di cui un fake paper si occupa – spesso problemi molto famosi. Ogni segnalazione di fake papers da parte dei lettori è benvenuta.

di Claudio Bonanno

In questo articolo torniamo ad occuparci di uno dei “Problemi del Millennio” del Clay Mathematics Institute, l’equazione di Navier-Stokes, le cui soluzioni descrivono il moto di un fluido nello spazio. I primi studi sul moto dei fluidi risalgono a Isaac Newton e Daniel Bernoulli, ma la storia dell’equazione di Navier-Stokes inizia nel diciottesimo secolo con il lavoro di Eulero, che scrisse un’equazione differenziale per il moto di un fluido privo di attrito. Successivamente tra gli anni ’20 e ’40 del diciannovesimo secolo, il contributo dell’ingegnere francese Claude-Louis Navier e del matematico e fisico irlandese George Gabriel Stokes, fu principalmente quello di aggiungere all’equazione di Eulero l’effetto dovuto all’attrito interno. E così oggi i matematici di tutto il mondo si devono confrontare, se vogliono ottenere il milione di dollari promesso dal Clay Mathematics Institute, con l’equazione di Navier-Stokes. Chi cercasse gloria matematica potrebbe confrontarsi anche con l’equazione di Eulero, ma in caso di successo non avrebbe il premio in denaro, almeno non quello del Clay Institute.

Per introdurre l’equazione di Navier-Stokes usiamo la descrizione ufficiale del problema scritta da Charles Feffermann, professore della Princeton University, recentemente premiato con il Premio Wolf 2017 anche per i suoi contributi alle equazioni del moto dei fluidi (ne abbiamo parlato qui). Indichiamo con \(u(x,t)\) il vettore velocità di un fluido, si tratta di una funzione che ad un punto dello spazio \(x\in {\mathbb R}^3\) associa la velocità vettoriale di una particella infinitesima di fluido in quella posizione al tempo \(t\in {\mathbb R}\), e con \(p(x,t)\) la pressione del fluido nel punto \(x\) e al tempo \(t\). La velocità \(u(x,t)\) e la pressione \(p(x,t)\) descrivono il fluido, e sono le incognite dell’equazione. Consideriamo un fluido soggetto all’azione di una forza esterna \(f(x,t)\) la cui azione possa variare nel tempo, supponiamo che il fluido sia incomprimibile, e indichiamo con \(\nu\) la viscosità del fluido, costante che descrive l’azione dell’attrito. L’equazione di Navier-Stokes è un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali con condizione iniziale \(u^0(x)\), la velocità iniziale del fluido, dato da

\[(NS)\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial}{\partial t} u(x,t) + ( u(x,t) \cdot \nabla ) u(x,t) = \nu\, \triangle u(x,t) – \nabla p(x,t) + f(x,t)\\ \nabla \cdot u(x,t) =0\\ u(x,0) = u^0(x)\end{array}\right.\]

Leggiamo l’equazione di Navier-Stokes

Il sistema di Navier-Stokes è un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali in quanto ha come incognite una coppia di funzioni \(u(x,t):{\mathbb R}^3\to {\mathbb R}^3\) e \(p(x,t):{\mathbb R}^3\to {\mathbb R}\) che dipendono dalle variabili \(x=(x_1,x_2,x_3)\) e \(t\), e l’equazione descrive una relazione tra le derivate parziali delle incognite e le funzioni stesse, a cui si aggiunge l’azione della forza esterna \(f(x,t)\). Indicando con \((u_1, u_2, u_3)\) le tre componenti della velocità \(u\), e analogamente con \((f_1, f_2, f_3)\) le tre componenti della forza \(f\), la prima equazione è in realtà una terna di equazioni data da \[\frac{\partial}{\partial t} u_i(x,t) + \sum_{j=1}^3\, u_j(x,t) \, \frac{\partial}{\partial x_j} u_i(x,t) = \nu\, \sum_{j=1}^3\, \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} u_i(x,t) – \frac{\partial}{\partial x_i} p(x,t) + f_i(x,t)\] per ogni \(i=1,2,3\). Questa terna di equazioni non è altro che la terza legge di Newton \(ma=F\). L’accelerazione è data dalla derivata (Lagrangiana o materiale) della velocità \(u(x,t)\) rispetto al tempo, in particolare si tratta della cosiddetta “derivata totale”, che quindi per ogni componente \(u_i\) della velocità comprende: la derivata parziale rispetto a \(t\), il termine \(\frac{\partial}{\partial t} u_i(x,t)\); e il prodotto della derivata parziale rispetto alle variabili spaziali per la derivata della posizione \(x\) rispetto al tempo, che non è altro che la velocità, il che ci restituisce il termine \(\sum_{j=1}^3\, u_j(x,t) \, \frac{\partial}{\partial x_j} u_i(x,t)\). Il secondo membro dell’equazione comprende invece le varie componenti della forza che agiscono su una porzione infinitesima di fluido: gli effetti dell’attrito, per cui variazioni della velocità del fluido circostante, misurata dal termine \( \sum_{j=1}^3\, \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} u_i(x,t)\), incidono sul fluido a secondo delle caratteristiche fisiche del fluido, misurate dalla costante di viscosità \(\nu\); gli effetti della pressione del fluido circostante, il termine \(\frac{\partial}{\partial x_i} p(x,t)\); una forza esterna, come ad esempio la gravità.

La seconda equazione, la condizione di incomprimibilità, indica che la densità del fluido è costante. L’equazione si riscrive nella forma \[\sum_{i=1}^3\, \frac{\partial}{\partial x_i}\, u_i(x,t) = 0\] e si legge dicendo che chiediamo che la velocità \(u\) abbia divergenza nulla.

Il problema del millennio sull’equazione di Navier-Stokes ha a che fare con l’esistenza di soluzioni \(u,p\) del sistema (NS). Quando però si parla di soluzioni di un’equazione differenziale, bisogna stare molto attenti al tipo di soluzione di cui si sta parlando. Infatti, per trovare soluzioni ai problemi più difficili, i matematici hanno introdotto diverse nozioni di “soluzione”, a cui hanno dato il nome di “soluzioni deboli”, “soluzioni nel senso delle distribuzioni”, “soluzioni forti”, ecc., per le quali quello che conta è il senso in cui esistono le derivate della soluzione che entrano in gioco nell’equazione. Ma non sempre si tratta di un “trucco” per rendere più facili i problemi, a volte un’equazione può non avere soluzioni per le quali le derivate che compaiono esistono nel senso classico.

Riuscireste a trovare una funzione \(u(t):{\mathbb R}\to {\mathbb R}\) derivabile su tutto \({\mathbb R}\), che sia soluzione dell’equazione differenziale \[\frac{d}{dt}\, u(t) = H(t)\] dove \(H(t)\) è la funzione di Heaviside, ossia \(H(t)=1\) se \(t\ge 0\) e \(H(t)=0\) se \(t<0\)?

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È elementare verificare che le soluzioni almeno continue dell’equazione differenziale \(\frac{d}{dt}\, u(t) = H(t)\) sono tutte della forma \(R(t)+c\), dove \(R(t): {\mathbb R}\to {\mathbb R}\) è la funzione “rampa” \(R(t)= t\) per \(t\ge 0\) e \(R(t) = 0\) per \(t<0\), e \(c\) è una costante reale. La funzione \(R(t)\) è però derivabile per \(t\not= 0\), dunque non su tutto \({\mathbb R}\). Quindi non esistono soluzioni dell’equazione differenziale \(\frac{d}{dt}\, u(t) = H(t)\) per le quali abbia senso la derivata a primo membro dell’equazione in tutti i punti di \({\mathbb R}\).

Purtroppo però se volete vincere il milione di dollari messo in palio dal Clay Institute per l’equazione di Navier-Stokes, non potete usare questa semplificazione, si chiede infatti di trovare soluzioni che abbiano un senso fisico. Se vogliamo descrivere il moto di un fluido infatti, dobbiamo trovare una soluzione dell’equazione (NS) per la quale esistano nel senso classico tutte le derivate in gioco, anzi che sia il più regolare possibile, ossia che esistano nel senso classico tutte le derivate in gioco ripetute un numero arbitrariamente alto di volte. Vogliamo cioè che la soluzione sia di classe \(C^\infty\).

Ma c’è un altro importante dettaglio da aggiungere, si chiede infatti che la soluzione esista per ogni \(t\ge 0\). Un altro dei fenomeni particolari che possono accadere con le equazioni differenziali è che una soluzione sia definita solo per un intervallo \([0,T)\) con \(T<\infty\), o che magari sia regolare solo in un intervallo finito, e poi sviluppi una qualche forma di “singolarità”. Indichiamo questi tipi di comportamento dicendo che la soluzione sviluppa un “blow-up” in tempo finito. Consideriamo ad esempio l’equazione differenziale \[\frac{d}{dt}\, u(t) = u^2(t)\] con condizione iniziale \(u(0)=1\). L’unica soluzione di quest’equazione è la funzione \(u(t) = \frac{1}{1-t}\), che è ben definita solo per \(t\in [0,1)\) (ci interessiamo qui solo di quello che avviene per istanti di tempo successivi al tempo iniziale), e quindi sviluppa blow-up per \(t\to 1^-\). Se vogliamo trovare soluzioni dell’equazione di Navier-Stokes che abbiano senso fisico, dobbiamo escludere questo comportamento bizzarro.

Più precisamente, la richiesta è la seguente:

Problema di Navier-Stokes. Sia \(u^0(x)\) la velocità iniziale di un fluido incomprimibile, quindi sia \(u^0(x)\) una funzione di classe \(C^\infty({\mathbb R}^3)\) per cui \(\nabla \cdot u^0 (x)=0\), e che per \(|x|\to \infty\) tenda a zero più velocemente di qualsiasi polinomio, ossia per ogni \(k>0\) esista una costante \(c_k\) tale che \(|u^0(x)| \le c_k (1+|x|)^{-k}\), e lo stesso valga per tutte le derivate di \(u^0\). Poniamo \(f(x,t) \equiv 0\) e \(\nu >0\) in (NS). Dimostrare che esistono funzioni \(u(x,t), p(x,t) \in C^\infty({\mathbb R}^3 \times [0,+\infty))\) che soddisfano (NS), con la condizione che \[\int_{{\mathbb R}^3}\, |u(x,t)|^2\, dx < C\] per ogni \(t\ge 0\), per una costante \(C>0\).

Naturalmente, si può anche dimostrare che quanto chiesto è falso. Per farlo bisogna far vedere che esistono \(u^0(x)\) con le condizioni richieste sopra, e una forza esterna \(f(x,t)\) di classe \(C^\infty\), per cui l’equazione (NS) non ammette soluzioni regolari per \(t\in [0,+\infty)\).

Dopo questa lunga introduzione, è finalmente tempo di introdurre il fake paper di cui ci occupiamo adesso. Nei primi mesi del 2014 fece grande scalpore la notizia che nel 2013 fosse uscito in lingua russa e su una sconosciuta rivista kazaka, un articolo dal titolo “Existence of a strong solution of the Navier-Stokes equations” [1], in cui un noto professore, Mukhtarbay Otelbaev, sosteneva di aver risolto in senso positivo il problema sull’equazione di Navier-Stokes. Ne nacquero immediatamente numerose discussioni su vari siti, sicuramente per l’importanza del problema che veniva dichiarato risolto, ma anche per la lingua in cui era scritto l’articolo, che non permetteva a molti di accedere facilmente ai suoi contenuti. Cominciarono infatti ad apparire presto traduzioni dell’articolo o di alcune sue parti, e i massimi esperti di equazioni di tipo Navier-Stokes iniziarono a cercare di capire i passi fondamentali della dimostrazione, alla ricerca anche di eventuali errori.

E i risultati non tardarono ad arrivare. Già a metà febbraio, l’errore fu trovato, e lo stesso Prof. Otelbaev ammise che nell’articolo c’era un errore nella dimostrazione di una disuguaglianza. E’ importante però osservare che ancora prima che l’errore venisse identificato, molti ebbero dubbi sulla validità della dimostrazione dell’articolo del Prof. Otelbaev perché dalle traduzioni che iniziarono a circolare si capì presto che l’approccio era troppo elementare.

Nello studio delle soluzioni di un’equazione differenziale hanno una grande importanza le leggi di conservazione. Si cerca cioè di trovare delle quantità che restano costanti al variare del tempo, quando sono calcolate sulla soluzione. Una di queste quantità, forse la più importante dal punto di vista fisico è l’energia. Queste quantità nei casi più semplici permettono di concludere che una soluzione non può presentare comportamenti bizzarri, come il blow-up. Vediamo ad esempio cosa succede nel caso dell’equazione di Navier-Stokes. Moltiplicando la prima equazione di (NS) con \(f\equiv 0\) per la velocità stessa \(u(x,t)\), e integrando prima rispetto a \(x\) su \({\mathbb R}^3\), e poi rispetto a \(t\) sull’intervallo \([0,T]\), usando l’ipotesi di incomprimibilità si ottiene la cosiddetta identità dell’energia \[\frac 12\, \int_{{\mathbb R}^3}\, |u(x,T)|^2\, dx +\nu\, \int_0^T\, \Big( \int_{{\mathbb R}^3}\, |\nabla u(x,t)|^2\, dx \Big)\, dt = \frac 12\, \int_{{\mathbb R}^3}\, |u^0(x)|^2\, dx\] Quest’identità ci dice che per ogni tempo \(T\) per cui la soluzione esiste, se calcoliamo il termine a sinistra otteniamo sempre la stessa quantità, il valore che assume il membro destro dell’identità, che dipende solo dalla velocità iniziale. Inoltre, essendo il membro sinistro una somma di termini positivi, possiamo concludere che entrambi i termini a sinistra restano limitati nel tempo. Ad esempio quindi per una soluzione dell’equazione di Navier-Stokes non è possibile osservare un aumento indiscriminato della velocità del fluido in un insieme di misura positiva.

L’identità dell’energia è essenzialmente l’unica legge di conservazione utile per lo studio del problema del millennio sull’equazione di Navier-Stokes, ma purtroppo non fornisce informazioni sufficienti. Ad esempio, nel nostro ragionamento precedente abbiamo ottenuto conseguenze sul comportamento della soluzione su insiemi di misura positiva, ma per soluzioni di classe \(C^\infty\) le singolarità si potrebbero formare su insiemi di misura nulla! Per sapere qualcosa di più su questo problema, vi rimandiamo a questa pagina del blog di Terence Tao.

Torniamo all’articolo del Prof. Otelbaev. Quello di cui si accorsero in molti e in pochissimo tempo, fu proprio che in realtà l’articolo sembrava usare solo ragionamenti deducibili dall’identità dell’energia. E dunque non poteva essere credibile la sua dimostrazione, da qualche parte si doveva nascondere un errore.

La storia di questo fake paper finisce qui. Il Prof. Otelbaev dopo aver ammesso l’errore, promise di trovare una via per aggirarlo e di pubblicare il suo nuovo lavoro in inglese. Ad oggi non ci risulta che ci siano state novità. La pagina web con l’articolo originale risulta al momento non raggiungibile, anche se una ritrattazione ufficiale dell’articolo non ci risulta che sia apparsa. Possiamo comunque concludere che il comitato editoriale della rivista avrebbe dovuto trattare con più attenzione quest’articolo, che in fondo affermava di risolvere uno dei “Problemi del Millennio”.

C’è però una lieta, matematicamente parlando, appendice. Stimolato anche dalla discussione nata dall’uscita dell’articolo del Prof. Otelbaev, il matematico Terence Tao, vincitore della Medaglia Fields nel 2006 e di numerosi altri riconoscimenti, scrisse nei primi mesi del 2014 un articolo sull’equazione di Navier-Stokes, che servì anche a troncare la discussione sulla presunta correttezza dell’articolo del Prof. Otelbaev. L’articolo [2], apparso sulla prestigiosa rivista Journal of the American Mathematical Society, dimostra che è possibile scrivere un’equazione differenziale con molte proprietà in comune con l’equazione di Navier-Stokes, tra cui anche quella di avere un’analoga identità dell’energia, le cui soluzioni presentano il fenomeno del blow-up in tempo finito. Dunque non tutto scorre sempre liscio, e se la risposta al problema del millennio sull’equazione di Navier-Stokes dovesse essere positiva, allora la dimostrazione dovrebbe necessariamente usare anche altre caratteristiche dell’equazione.

Riferimenti

[1] M. Otelbaev, Existence of a strong solution of the Navier-Stokes equations, Mathematical Journal, vol. 13 (2013), pag. 5–104

[2] T. Tao, Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation, Journal of the American Mathematical Society, vol. 29 (2016), pag. 601–674

Immagine di copertina di Pedrik