Letture matematiche: Viaggio nel calcolo infinitesimale, David Acheson

da Marco Menale | 24 Novembre 2022 | Divulgazione, Letture Matematiche

Brevi consigli per letture matematiche. “Viaggio nel calcolo infinitesimale” di David Acheson, consigliato da Marco Menale.

Il calcolo infinitesimale è uno degli argomenti usati più di frequente per parlare di matematica. Da un lato si tratta di argomenti visti nel corso degli ultimi due anni di scuola superiore. Dall’altro ricopre gran parte degli insegnamenti di base di matematica presenti nei più svariati corsi di laurea a livello universitario. Tuttavia l’ordine cronologico con cui questi strumenti matematici sono stati proposti resta abbastanza oscuro. Fatta eccezione per la “disputa Leibniz-Newton”, non è ben chiaro il modo in cui si sia arrivati a definizioni come quelle di limite o integrale improprio. Così come il valore intrinseco di alcuni risultati e l’ambito di applicazione.

Da queste premesse si sviluppa il libro di David Acheson “Viaggio nel calcolo infinitesimale”. Ed è chiaro fin dal sottotitolo “Un’avventura matematica dalla mela di Newton alla chitarra elettrica”.

David Acheson è professore di matematica al “Jesus College” di Oxford. Si occupa di dinamica dei fluidi e sistemi caotici. In particolare ha ottenuto diversi risultati sui campi magnetici generati da stelle in rotazione. È autore di libri divulgativi di matematica, come “1089 e altri numeri magici” (tradotto in italiano). E poi ha un’altra passione: la chitarra elettrica.

Nei primi capitoli Acheson presenta quelli che per lui sono i quattro temi principali del calcolo infinitesimale: pendenza delle curve, area sottesa dalle curve, serie infinite, problema del moto. E sono questi gli argomenti dei primi 12 capitoli del libro.

Dopo l’introduzione del concetto di infinito, viene discusso il calcolo infinitesimale da un punto di vista geometrico. Acheson presenta la derivazione come una serie di regole di calcolo algebrico utili per descrivere proprietà geometriche, come la pendenza di una curva. E lo stesso fa con il calcolo integrale. Alcuni esempi supportano la lettura, come la “tromba di Torricelli” e “la sfera bucata da un cilindro”. Qui l’approccio seguito è quello di Isaac Newton.

Dopo il calcolo integrale arrivano le serie infinite. Acheson discute il significato della convergenza per rispondere alla domanda “come può la somma di infiniti termini positivi dare un risultato finito?”. E non solo. Infatti le serie hanno rappresentato il principale strumento usato da Newton per i suoi risultati su derivate e integrali. E Acheson lo dimostra presentando i dettagli di questo approccio.

Il problema del moto è affrontato discutendo moti circolari e moti planetari. Il calcolo infinitesimale è decisivo per la descrizione del moto di un punto su di una circonferenza o di un pianeta intorno al Sole. A completare l’argomento l’autore ricava le Leggi di Keplero usando derivate e integrali.

La seconda parte del libro è dedicata all’altro protagonista della storia del calcolo infinitesimale: Gottfried Wihelm Leibniz. Per presentare il suo approccio è introdotto il concetto di infinitamente piccolo. Acheson mostra come questo determini le stesse conseguenze e le stesse regole dell’approccio di Newton. E conclude con la critica mossa da Leibniz a Newton “sull’uso delle serie infinite”.

Dopo un’altra critica, quella di George Berkley ai concetti di infintamente grande e infinitamente piccolo, il libro passa alle applicazioni del calcolo infinitesimale. In particolare l’attenzione è rivolta alle equazioni differenziali. E così il protagonista diventa il matematico e fisico svizzero Leonard Euler (Eulero in italiano). Infatti è lui a rivedere il calcolo infinitesimale attraverso le funzioni.

Le equazioni differenziali entrano in scena. Qui l’incognita è una funzione di una variabile, in generale il tempo. Conoscendo la legge di evoluzione di una sua derivata, cerchiamo di ricavare la funzione incognita. E se la funzione dipende da più variabili, dalle equazioni differenziali ordinarie si passa alle equazioni differenziali alle derivate parziali. A questo punto, Acheson presenta l’equazione delle onde e le sue proprietà per palare dell’altra sua grande passione: la chitarra elettrica. Inoltre tra le applicazioni troviamo il calcolo delle variazioni con la brachistocrona.

La parte finale del libro amplia lo sguardo sui problemi del calcolo infinitesimale. Con la teoria sviluppata dal matematico francese Augustin-Louis Cauchy sono presentate le funzioni di variabile complessa e il concetto di derivata per tali funzioni. Poi si passa alla definizione formale di limite data dal matematico tedesco Karl Weierstrass. Infine Acheson si occupa delle applicazioni del calcolo infinitesimale alla meccanica quantistica con l’equazione di Schrodinger e alla teoria del caos con l’attrattore di Lorenz.

In definitiva il libro è ben scritto e la lettura è fluida. La trattazione è piuttosto semplice da seguire, senza mai essere superficiale. È particolarmente adatto ai meno esperti, come studenti o persone senza una preparazione formale in matematica che vogliano approfondire. I vari esempi possono fornire spunti ai docenti per presentare un argomento così vasto. Per ogni argomento ci sono anche le dimostrazioni di alcuni teoremi, come la regola di derivazione del prodotto. L’autore predilige dimostrazioni che siano semplici ed eleganti. Da un lato per mostrare l’utilità del calcolo infinitesimale. Dall’altro per il senso di bellezza della matematica. E infine la bibliografia finale offre spunti di approfondimento anche al lettore più esperto.