Nei giorni scorsi si è molto parlato di un possibile contributo, ispirato dalla meccanica statistica, alla risoluzione della congettura di Riemann. Con la sua consueta chiarezza Alessandro Zaccagnini ritorna su questi temi per farci conoscere qualche dettaglio in più. 

La congettura di Riemann è uno dei problemi aperti piú noti dell’intera matematica, tanto che periodicamente la sua soluzione, o presunta tale, finisce sui media con grande enfasi. La sua formulazione originale, nell’articolo di Riemann del 1859 ^{[1 ]}G. F. B. Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (1859), 671–680, in “Gesammelte Mathematische Werke” (ed. H. Weber), Dover reprint 1953., riguarda la posizione degli zeri complessi della funzione che oggi chiamiamo zeta di Riemann in suo onore. L’articolo parla della distribuzione dei numeri primi e, anche se Riemann non lo dice esplicitamente, c’è una relazione diretta e quantitativa tra la posizione di questi zeri e la possibilità di calcolare in modo accurato quanti numeri primi non superano un intero grande \(N\). Ne ho parlato, nel modo piú semplice possibile e senza usare formule, in ^{[2 ]}A. Zaccagnini, La sfida (im)possibile: contare i numeri primi, Corriere della Sera, supplemento “La lettura” 359 (2018), p. 17, Pubblicato il 14.10.2018. .

Per fortuna è possibile presentare la Congettura di Riemann in tanti modi equivalenti: la formulazione che compare in questo altro mio articolo ^{[3 ]}A. Zaccagnini, Una versione elementare della Congettura di Riemann, Sito web MaddMaths! (2016). è sostanzialmente elementare, cioè non utilizza concetti di matematica avanzata come l’analisi complessa. Qui ne vedremo un’altra diversa, ma sempre elementare.

La funzione di Möbius

Il matematico tedesco August Ferdinand Möbius, forse piú famoso per il nastro che ha preso il suo nome, ha introdotto una speciale funzione aritmetica, cioè una funzione definita sui numeri naturali positivi. La funzione \(\mu\) si calcola in questo modo: \(\mu(n)\) vale \(1\) se \(n\) ha un numero pari di fattori primi tutti distinti; \(\mu(n)\) vale \(-1\) se \(n\) ha un numero dispari di fattori primi tutti distinti; e infine \(\mu(n)\) vale \(0\) se \(n\) ha qualche fattore primo ripetuto. Dato che \(1\) non ha nessun fattore primo, cioè ne ha \(0\) che è un numero pari, poniamo \(\mu(1) = 1\). I primi \(10\) valori della funzione \(\mu\) di Möbius sono dunque \(1\), \(-1\), \(-1\), \(0\), \(-1\), \(1\), \(-1\), \(0\), \(0\), \(1\).

La passeggiata aleatoria dei numeri primi

Nella Giornata settima del mio “Dialogo sopra i numeri primi” ^{[4 ]}A. Zaccagnini, Dialogo sui numeri primi — Un dialogo galileiano, I librini di Madd-Maths!, Roma, 2021., Salviati invita Simplicio a fare un piccolo esperimento: Simplicio deve calcolare la funzione \(\mu\) per \(n = 1\), \(2\), …, \(10\). Partendo da una certa posizione iniziale, Simplicio dovrà spostarsi di un passo a destra, a sinistra, o rimanere fermo, secondo che \(\mu(n)\) valga \(1\), \(-1\) o \(0\) rispettivamente.

In generale, dato un intero positivo \(N\), consideriamo la funzione \[M(N) = \mu(1) + \mu(2) + \mu(3) + \dots + \mu(N).\] Questa funzione indica la posizione di Simplicio dopo \(N\) passi. Come spiegato da Sagredo nel Dialogo, questo procedimento somiglia moltissimo ad una passeggiata aleatoria (vedi per esempio  https://it.wikipedia.org/wiki/Passeggiata_aleatoria), e quindi prenderemo a prestito questa locuzione dalla Teoria della Probabilità.

Nella figura qui sotto vediamo i primi 100 passi della “passeggiata aleatoria dei numeri primi.”

Partendo da 0 e ripetendo la procedura per \(n = 1\), \(2\), …, \(100\), facciamo un passo verso Nord-Est se \(\mu(n) = 1\), verso Est se \(\mu(n) = 0\) e verso Sud-Est se \(\mu(n) = -1\). Dopo 100 passi avremo raggiunto il valore di \(M(100) = 1\).

Siccome non ci aspettiamo che i numeri interi “preferiscano” avere un numero pari o dispari di fattori primi, il numero di addendi uguali ad \(1\) nella somma \(M(N)\) dovrebbe essere piú o meno compensato da un numero equivalente di addendi uguali a \(-1\), e quindi Simplicio non si allontanerà mai troppo dalla posizione iniziale. Nella figura qui sopra, la linea nera continua si trova sempre in prossimità dell’asse delle ascisse. Se questa fosse realmente una passeggiata aleatoria nel senso della probabilità, ci dovremmo aspettare che dopo \(N\) passi Simplicio si sia allontanato al massimo di circa \(\sqrt{N}\) passi, a destra o a sinistra non importa. In altre parole, la linea nera qui sopra farà escursioni verso l’alto o verso il basso dello stesso ordine di grandezza.

Ma questa non è una vera passeggiata aleatoria, dato che la funzione di Möbius è deterministica e non si può assimilare ad una scelta casuale. Resta comunque ragionevole aspettarsi che \(\vert M(N) \vert\) sia molto piú piccolo di \(N\), nel senso dell’ordine di grandezza quando \(N \to +\infty\). Però è possibile dimostrare in modo rigoroso che la disuguaglianza \(\vert M(N) \vert \le N^{1/2 + \varepsilon}\), per \(\varepsilon > 0\) fissato ed \(N\) grande, è equivalente alla Congettura di Riemann.

Appendice matematica per chi vuole approfondire

La funzione zeta di Riemann è inizialmente definita come una serie di Dirichlet: \[\zeta(s) = \sum_{n \ge 1} \frac1{n^s}.\] Questa definizione vale nel semipiano dei numeri complessi \(s\) con \(\Re(s) > 1\), dove la serie converge. Riemann ha dimostrato che questa funzione ha prolungamento analitico al piano complesso, escluso il punto \(s = 1\) dove ha un polo semplice. Consideriamo la serie di Dirichlet che ha per coefficienti la funzione di Möbius, ponendo \[F(s) = \sum_{n \ge 1} \frac{\mu(n)}{n^s}\] per \(s\) complesso con \(\Re(s) > 1\). La cosa per noi piú interessante è la relazione \[F(s) = s \int_1^{+\infty} \frac{M(t)}{t^{s + 1}} \, \mathrm{d} t.\] Se fosse vero che \(\vert M(N) \vert \le N^{1/2 + \varepsilon}\), per \(\varepsilon > 0\) fissato ed \(N\) grande, quest’ultima funzione si potrebbe prolungare analiticamente al semipiano dei numeri complessi \(s\) tali che \(\Re(s) > \frac12\).

Cosa c’entra questo con la Congettura di Riemann? Non è difficile dimostrare rigorosamente che \(F(s) = 1 / \zeta(s)\), utilizzando un’identità scoperta da Eulero nel XVIII secolo. Se la funzione \(F\) fosse davvero analitica nel semipiano appena citato, allora in questo stesso semipiano \(\zeta\) non potrebbe annullarsi e dunque i suoi zeri complessi, che sono disposti simmetricamente rispetto alla retta dei numeri complessi di parte reale \(\frac12\), sarebbero “costretti” a stare proprio su questa retta. Questa è precisamente la formulazione originale della Congettura di Riemann.

Altre formulazioni equivalenti della Congettura di Riemann si possono trovare nel mio articolo ^{[5 ]}A. Zaccagnini, Breve storia dei numeri primi, Ithaca: Viaggio nella Scienza III (2014), 67–83,.

Conclusione

Come ho detto piú volte in occasioni precedenti (“Caveat” in ^{[6 ]}A. Zaccagnini, Una versione elementare della Congettura di Riemann, Sito web MaddMaths! (2016). e Nota per la “Giornata ottava” del Dialogo ^{[7 ]}A. Zaccagnini, Dialogo sui numeri primi — Un dialogo galileiano, I librini di Madd-Maths!, Roma, 2021.), i dati statistici che siamo in grado di ottenere al giorno d’oggi sono del tutto insufficienti a trarre conclusioni sulla plausibilità della Congettura di Riemann, a causa di alcuni fenomeni oscillatori predetti teoricamente da J.E. Littlewood nel 1914 e osservati concretamente solo di recente per interi estremamente grandi, ben al di là di quelli raggiungibili mediante l’analisi statistica odierna.

Concludo ricordando l’accurata disamina di G.H. Hardy a proposito del ruolo delle dimostrazioni in matematica e soprattutto nella teoria dei numeri primi, che si trova nel primo capitolo del libro dedicato al lavoro di Ramanujan (pagg. 15–20). Non potendo riassumere in modo significativo le sue parole, mi accontento di un piccolo estratto.

The analytic theory of numbers is one of those exceptional branches of mathematics in which proof really is everything and nothing short of absolute rigour counts.^{[8 ]}La teoria analitica dei numeri è una di quei settori eccezionali della matematica in cui la dimostrazione è tutto e il rigore deve essere assoluto.

Alessandro Zaccagnini