Fulvio Ricci, professore ordinario di Analisi Matematica presso la Scuola Normale Superiore  di Pisa, commenta per noi l’attività scientifica di Elias Menachem Stein, di cui è stato collaboratore per molti anni. 

Lo scorso 23 dicembre è scomparso uno dei matematici di maggiore rilievo del recente passato, che ha profondamente innovato, nel corso dell’ultimo mezzo secolo, l’intero settore dell’analisi armonica, offrendo nuove visuali e nuove prospettive di approfondimento e di applicazione.

Elias Menachem Stein, Eli per tutti quelli che lo hanno conosciuto, è mancato all’età di 87 anni, quando era ancora in piena attività produttiva, con tanti giovani che ancora ambivano a poter lavorare con lui a Princeton. 

Nel corso della sua carriera ha ottenuto numerosi riconoscimenti di alto valore, tra cui il Premio Wolf e la National Medal of Science, consegnatagli dal Presidente degli Stati Uniti. Ha avuto più  di 50 studenti di dottorato, due dei quali, Charles Fefferman e Terence Tao, hanno conseguito la medaglia Fields. Per generazioni di analisti  è stato un punto di riferimento fondamentale, capace di raccogliere intorno a sé persone con interessi scientifici in un ambito molto vasto, influenzandole con la sua personalità scientifica e umana e favorendo tra essi un atteggiamento di positiva collaborazione.

L’analisi armonica nasce alla fine del XVIII secolo con la teoria delle serie di Fourier e le loro applicazioni allo studio delle equazioni differenziali, a cominciare da quelle che regolano la diffusione del calore su un anello e il moto della corda vibrante.  Già nel corso del XIX secolo emerge chiaramente la duttilità del metodo di Fourier attraverso il passaggio dalla serie all’integrale di Fourier, con la possibilità di rappresentare funzioni non periodiche come sovrapposizione di un continuo di oscillazioni elementari (rappresentate dagli esponenziali immaginari \(e^{itx}\)  con \(t\in{\mathbb R}\)). Sul versante teorico, i problemi di convergenza di serie e integrali di Fourier contribuiscono in modo determinante allo sviluppo della teoria dell’integrazione di Lebesgue e alla stessa nascita della teoria degli insiemi.

La prima metà del ventesimo secolo vede ampi sviluppi in varie direzioni, anche molto diverse tra loro.

Nei lavori di Hardy e Littlewood, rivolti principalmente verso la teoria  dei numeri e delle funzioni olomorfe, vengono raffinati i metodi di studio della convergenza delle serie di Fourier. In questa direzione vengono introdotti anche metodi probabilistici, culminati nella teoria di Littlewood-Paley.  Con i fratelli Riesz, e più tardi con Wiener, si sviluppano strumenti e nozioni di carattere analitico-funzionale. 

Strumenti come la funzione massimale di Hardy e Littlewood sono  alla base dello sviluppo dell’analisi di Fourier in più variabili, con  teoria degli integrali singolari  di Calderón e Zygmund, che richiede notevoli approfondimenti sulla struttura delle funzioni di variabile reale e a sua volta diventa strumento fondamentale  nella teoria degli spazi di Sobolev e nello studio di equazioni differenziali ellittiche.  

La figura di di Eli Stein va considerata in questo contesto storico. Studente di Antony Zygmund a Chicago nei primi anni ’50, è stato il principale continuatore delle linee di sviluppo sopra indicate. Da un lato ha compiuto fondamentali rielaborazioni di teorie esistenti, mostrandone la potenza e indicandone nuovi ambiti di applicazione. Dall’altro ha aperto strade interamente nuove, al punto che la maggior parte dei problemi di attualità in analisi armonica sono stati formulati da lui o  nati da suoi lavori pioneristici.

Nel primo ambito rientrano la teoria di Littlewood-Paley (che oggi viene spesso citata con l’aggiunta del suo nome) e la teoria degli spazi di Hardy, originariamente definiti come spazi di funzioni olomorfe nel disco e quindi trasformati, prima per opera di Stein e Weiss e poi di Fefferman e Stein, in spazi di funzioni di una o più variabili reali, modellati per l’analisi degli operatori a integrali singolari. 

Nel secondo ambito citiamo i problemi di analisi di Fourier che coinvolgono curvatura di superfici, come le proprietà della funzione massimale sferica e la nozione di restrizione a superfici di trasformate di Fourier non continue, e ancora l’impiego di metodi di analisi armonica nell’analisi di funzioni di più variabili complesse, con l’estensione della teoria degli integrali singolari ai gruppi di Lie nilpotenti. 

Eli Stein ha scritto numerosi libri. Tra questi figurano testi di riferimento fondamentali, come Singular integrals and differentiability properties of functions del 1970,  Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, scritto con G. Weiss nel 1971, e Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, scritto con T. Murphy nel 1993.

A un pubblico decisamente più ampio di docenti e studenti, raccomando una  serie di quattro agili e stimolanti volumi scritti con l’assistenza di R. Shakarchi,   I. Fourier analysis: an introduction, II. Complex Analysis,  III. Measure theory, integration and Hilbert spaces,  IV. Introduction to further topics in analysis. Essi raccolgono il materiale coperto in altrettanti honour courses da lui tenuti all’Università di Princeton nei primi anni 2000. Per ciascun tema, l’esposizione è concentrata sui punti essenziali della teoria, preferendo ai dettagli della stessa un ampliamento della visuale verso il suo impiego in ambiti più avanzati.