Il numero 7 ha sempre esercitato un fascino particolare: 7 sono i giorni della settimana (e i giorni in cui Dio ha creato il mondo), 7 sono i peccati capitali, 7 sono i colli di Roma, 7 sono i 7 nani. Per un tifoso bianconero, 7 è soprattutto il numero del fenomeno.

Da un punto di vista puramente matematico, \(7\) è un numero primo. E –puramente per colpa del fatto che contiamo in base \(10\)– tra i numeri primi piccoli è l’unico che non ha un criterio di divisibilità facile da ricordare. In effetti:

2 un numero è pari (divisibile per \(2\)) se e solo se lo è la sua ultima cifra 

3 un numero è divisibile per \(3\) se e solo se lo è la somma delle sue cifre

5 un numero è divisibile per \(5\) se e solo se lo è la sua ultima cifra

11 un numero è divisibile per \(11\) se e solo se lo è la somma a segni alterni delle sue cifre

E per \(7\)? Niente di così semplice. Probabilmente per questo, in questi giorni sta avendo molto risalto sui social la notizia di un ragazzino nigeriano di 12 anni, studente a Londra che ha scoperto un criterio di divisibilità per \(7\). In realtà il criterio scoperto da Chika Ofili è molto semplice e ben noto:

7 un numero \(10d+u\) è divisibile per \(7\) se e solo se lo è \(d+5u\)

La dimostrazione di questo fatto è elementare: poichè \(7\) e \(5\) sono coprimi, \(n=10d+u\) è divisibile per \(7\) se e solo se lo è il suo quintuplo \(50d+5u\). Poichè \(49d\) è multiplo di \(7\), \(n\) è divisibile per \(7\) se e solo se lo è la differenza di questi due numeri: \(d+5u\). Usando le congruenze:

$$n=10d+u\equiv 0 \ (mod\,7) \ \Leftrightarrow \ 5n=50d+5u\equiv d+5u\equiv 0\ (mod\,7)$$

Il fatto in questione è ben noto e si trova spesso nei vari prontuari di matematica olimpica (ad esempio, ricordo di averlo letto qui), dove solitamente viene sottratto al numero ulteriormente \(7u\), per portarlo nella forma più comoda \(d-2u\).

Tale criterio si basa fondamentalmente sull’osservazione che un multpilo di \(10\) differisce di una unità da un multiplo di \(7\). È facile trovare criteri di questa tipologia per ogni numero primo diversi da \(2\) e \(5\). Abbiamo quindi criteri di divisibilità semplici per ogni numero primo, sfruttando il fatto che il triplo di un numero che termina per \(3\) o per \(7\) termina rispettivamente per \(9\) o per \(1\). Esercizio per il lettore: trovare criteri di divisibilità per \(13\) e per \(17\), sfruttando il fatto che \(13\cdot3=39\) e che \(17\cdot3=51\).

Criteri di divisibilità e congruenza

Ovviamente è stato bravissimo il ragazzino a trovare per conto proprio tale criterio (a maggior ragione senza disporre del formalismo delle congruenze), ma la notizia è una non notizia e odora di click-bait. Purtroppo spesso capita, al tempo del giornalismo on-line, che le notizie incredibili del tipo “ragazzino geniale beffa gli scienziati e scopre che…” vengano pubblicate senza alcuna verifica e diventino virali. Per la verifica in questione, tra l’altro, sarebbe bastato davvero poco: ad esempio cercare su Wikipedia i criteri di divisibilità.

La domanda interessante da porsi è perché quasi nessuno conosce questo semplice criterio di divisibilità? Il motivo, secondo me, è abbastanza semplice. I criteri elencati sopra per \(2\), \(3\), \(5\) e \(11\) sono criteri di congruenza: il numero ridotto secondo l’operazione indicata dal criterio mantiene lo stesso resto quando diviso per il numero in questione. Infatti:

$$10d+u=2\cdot5d+u\equiv u\ (mod\, 2)$$

$$10d+u=5\cdot2d+u\equiv u\ (mod\, 5)$$

$$\sum a_k10^k = \sum a_k(3\cdot3+1)^k\equiv \sum a_k\ (mod\, 3)$$

$$\sum a_k10^k = \sum a_k(11-1)^k\equiv \sum (-1)^k a_k\ (mod\, 11)$$

Mentre il criterio enunciato per \(7 \) è solo un criterio di divisibilità (mantiene la divisibilità o meno per \(7\)), ma non di congruenza (non viene mantenuta la classe di resto nella divisione per \(7\)), come evidente dal fatto che nella dimostrazione si moltiplica il numero per \(5\), moltiplicando quindi anche il resto. Infatti, ad esempio se dividiamo \(16\) per \(7\) otteniamo resto \(2\), mentre applicando il criterio otteniamo \(1+30=31\) che ha resto \(3\) nella divisione per \(7\) (giustamente, dato che \(2\cdot5=10\equiv 3\) \((mod\,7)\)). Un criterio di congruenza per \(7\) si trova nella pagina di Wikipedia già citata, ed è indubbiamente più complicato.

I criteri di congruenza (che mantengono le classi di resto) sono a maggior ragione criteri di divisibilità (che mantengono la divisibilità o meno del numero). I primi sono nettamente più utili e quindi giustamente più famosi e più insegnati: non comprendere la differenza tra i due tipi di criteri potrebbe portare ad usare i secondi per ottenere informazioni sul resto che si ottiene svolgendo una divisione tra numeri interi.

Alberto Saracco