C'è veramente un nuovo approccio alla Congettura di Riemann?

On April 22, 2017

Da qualche giorno circola su rete la notizia di un nuovo possibile approccio per la dimostrazione della Congettura di Riemann, uno dei piú noti e importanti problemi aperti della matematica. Alessandro Zaccagnini ne aveva parlato qui. Lo stesso Alessandro ci dice cosa ne pensa di questi nuovi tentativi.

di Alessandro Zaccagnini

Intanto ricordiamo che la Congettura in questione riguarda la posizione degli zeri della funzione zeta di Riemann e che la sua importanza risiede nella connessione, tutt’altro che banale, tra questi zeri e la possibilità di contare i numeri primi in modo accurato. Esistono diverse possibili formulazioni della Congettura: quella discussa in questo articolo è probabilmente la piú abbordabile, senza essere di per sé semplicissima. Altre formulazioni riguardano parti diverse della Teoria dei Numeri (quella parte della matematica che, fra le altre cose, si occupa di tutti i problemi legati ai numeri primi), ma non solo. Nei quasi 160 anni che sono trascorsi dalla pubblicazione dell’articolo originale di Riemann, sono stati scoperti molti modi diversi per esprimere la stessa cosa; questi sono equivalenti dal punto di vista matematico, anche se a prima vista sono assai eterogenei e la dimostrazione dell’equivalenza richiede spesso un vero e proprio tour de force.

La notizia riguarda il fatto che recentemente alcuni fisici hanno notato una possibile variante di un’osservazione fatta nel 1999 dai fisici matematici Michael Berry e Jonathan Keating a proposito delle proprietà di un certo sistema quantistico. In particolare, in un recente articolo (Carl M. Bender, Dorje C. Brody, and Markus P. Müller. "Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function", Physical Review Letters, 118, 130201 – online 30 March 2017) è stato introdotto un sistema quantistico, diverso da tutti quelli proposti in precedenza, in cui i livelli di energia corrisponderebbero in modo preciso agli zeri non banali della funzione zeta. Secondo l'opinione degli autori, è molto plausibile che il sistema di cui parlano abbia una proprietà di simmetria che implica la Congettura di Riemann, ma sono i primi ad ammettere che la loro è un’argomentazione euristica. Sembra di sentire un’eco delle parole dello stesso Riemann: “È molto probabile che tutti gli zeri non banali della funzione zeta siano sulla retta critica. Naturalmente, se ne vorrebbe avere una dimostrazione rigorosa …

In realtà, già David Hilbert e George Pólya nella prima metà del XX secolo avevano suggerito una congettura di natura fisica con conseguenze sulla posizione gli zeri della funzione zeta. Piú recentemente, nel 1973 Hugh L. Montgomery ha formulato la sua “Congettura di correlazione per le coppie di zeri” (sottinteso, della funzione zeta di Riemann) mediante una funzione di correlazione, che è a sua volta legata ad un certo “operatore” che ha importanti applicazioni in fisica. Quindi, in un certo senso, la cosa non è del tutto nuova.

A parere di chi scrive, bisogna fare attenzione perché le analogie sono interessanti ma talvolta fuorvianti. I due problemi potrebbero essere, in un certo senso, come due lontani cugini: hanno delle somiglianze, ma la loro affinità deriva dal discendere, entrambi, da un unico antenato, magari assai distante nel tempo e cercare una relazione diretta può essere poco sensato. Invece di cercare un legame in “orizzontale” fra distanti cugini, mi sembra piú utile muoversi in verticale lungo l’albero genealogico, alla ricerca del comune antenato (al momento piuttosto misterioso), ammesso e non concesso che esista davvero.

Facciamo un esempio concreto e familiare: tutti conoscono la definizione di \pi come l’area del cerchio di raggio uguale ad 1. Esistono molte formule, la piú antica delle quali risale ad Archimede, che permettono di calcolare valori numerici approssimati ma precisi di \pi sfruttando questa definizione. Tuttavia ci sono dozzine di altre “formule” per \pi di natura completamente diversa, e, anzi, di molte nature essenzialmente diverse, che possono essere raggruppate in “famiglie” distinte. Per poter dimostrare che due espressioni apparentemente diversissime hanno lo stesso identico valore \pi, è necessario dimenticare, in un certo senso, la definizione standard di \pi, trovarne una piú astratta (spostandoci verticalmente lungo l’albero genealogico, verso un “antenato” piú o meno remoto) e da questa dedurre la formula desiderata (spostandoci verticalmente lungo un altro ramo della famiglia di \pi, verso un “discendente”). È impossibile, o quanto meno difficilissimo, dimostrare queste formule partendo direttamente dalla definizione di \pi ricordata sopra, e cioè spostandoci in orizzontale anziché in verticale.

Tornando all’argomento principale di questo articolo, l’operazione di ricerca di un “antenato” della Congettura di Riemann, almeno sul versante matematico, è stata iniziata alcuni decenni fa. Una battuta che circola informalmente tra i matematici dice: “Se non sai risolvere un problema, generalizzalo e prova a risolvere quello piú generale.” Il paradosso è solo apparente: è il normale procedimento di astrazione, che si applica non solo quando si vuole utilizzare la matematica per modellizzare il mondo reale, ma che funziona anche all’interno della matematica stessa. Serve ad evitare di farsi distrarre dai dettagli del problema, per potersi concentrare solo sulla sua essenza, guardandolo con il giusto distacco.

Nel 1989, il matematico svedese Atle Selberg ha proposto di studiare una vasta classe di funzioni (che oggi ha preso il suo nome) della quale la funzione zeta di Riemann è uno degli elementi piú importanti e certamente il piú noto. A questa classe appartengono, per esempio, le funzioni L di Dirichlet che “controllano” la distribuzione dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche (vedi il Teorema di Dirichlet e il Teorema di Bombieri citati rispettivamente in due precedenti articoli miei su questo sito, questo e quest'altro,  e, piú in generale, tutte le funzioni di natura simile che hanno rilevanza aritmetica.

È plausibile che il significato profondo della Congettura di Riemann emerga proprio dallo studio della Classe di Selberg, o di una sua qualche “rivale” proposta in alternativa. Infatti, la scoperta di proprietà comuni a tutte queste funzioni, che in definitiva condividono le proprietà di base della funzione zeta, potrebbe suggerire nuove strade che, chissà, potrebbero finalmente portare alla dimostrazione.

In conclusione, un esito verosimile di queste nuove ricerche è la scoperta di un nuovo modo equivalente di formulare la Congettura di Riemann, che si aggiunge ai tanti già noti, ma non è al momento chiaro se potrà servire a gettare nuova luce su questo problema. Gli stessi autori dell’articolo sono piuttosto prudenti e a partire dal sommario sottolineano l’aspetto euristico del loro lavoro.

6 Comments

  1. FABRY2

    12/05/2017 at 20:21

    Vorrei ringraziare il Prof Zaccagnini per gli autorevoli concetti e chiarimenti che ha evidenziato circa il nuovo approccio alla Congettura di Riemann.
    Colgo l' occasione per chiedere se sia possibile avere una spiegazione, o qualche riferimento su altri Campi della ricerca di Riemann. In particolare sulle Superfici di Riemann. Che se non ho capito male, riguarderebbe parte dell' Analisi Complessa.

  2. FABRY2

    13/05/2017 at 10:23

    Grazie mille. L' articolo di Barbara Fantechi e' molto chiaro e veramente interessante. Confido davvero in altri spunti in seguito.
    Da dilettante appassionato di matematica, credo che questa parte di Geometria, andrebbe insegnata a scuola. In modo graduale, come presentato nel bellissimo articolo di Barbara Fantechi. Complimenti ancora.

  3. FABRY2

    18/05/2017 at 21:19

    Ho letto in un libro (divulgativo) che in dimensione 3, ci sono "otto diversi tipi di geometrie".
    In dimensione 2, tre diversi tipi di geometrie.
    L' ultimo e' chiaro.
    Non riuscendo a immaginare cosa ci possa essere dopo le 3 geometrie, chiedo se per piacere, qualcuno puo' dirmi qualcosa di piu' in merito.
    Grazie
    Fabrizio

  4. Francesco Di Noto

    19/05/2017 at 15:42

    Questa cosa mi odora di numeri di Fibonacci. Infatti a 2 dimensioni corrispondono 3 geometrie, a 3 dimensioni corrispondono 8 tipi di geometrie; con 2, 3, 8 numeri di Fibonacci, manca solo il 5 Ad una sola dimensione, corrisponde solo una retta, o una curva, quindi due tipi di geometria? Avremmo il seguente schema
    dimensioni numero di geometrie
    0 1 (punto)
    1 2 (retta e curva)
    2 3 geometrie
    3 8 geometrie
    4 ?
    cosa ne pensate? perché nella seconda colonna manca il 5, se la mia connessione con Fibonacci si rilevasse fondata? Grazie per l'attenzione, Francesco.

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