#7 Il concetto matematico di cui non potremmo fare a meno: Varietà (di Barbara Fantechi)

On August 11, 2016

Quali sono i concetti matematici che ritenete indispensabili, ossia di cui proprio non potreste proprio fare a meno? E se aveste solo due ore per insegnare qualcosa a qualcuno che vuole sapere qualcosa di matematica, proprio non riuscireste a non insegnargli quello? Ovviamente potete barare in tutti i modi possibili, come è naturale.

Postato originariamente il 10 novembre 2015

Barbara Fantechi risponde.

Il concetto senza cui non posso lavorare è quello di varietà. Il nome non ha a che fare con l’avanspettacolo ma, come tanti in matematica, ha una sua storia complicata: vi dico solo che all’inizio si oscillava fra quello e molteplicità (in inglese, per non farsi mancare nulla, li usano tutti e due, variety e manifold, in contesti leggermente diversi).

Una varietà a n dimensioni, o di dimensione n, è informalmente una cosa che può essere descritta localmente da n coordinate. Qualche esempio sarà forse più chiaro. La struttura delle autostrade è una varietà di dimensione 1: possiamo dire che si è verificato un incidente 4 chilometri dopo una specifica uscita o 3 chilometri prima. Notiamo che il “numero” è un numero reale, nel senso che può non essere intero (potrebbero essere 3,5 chilometri) e sia positivo che negativo (potremmo dire +4 per 4 chilometri dopo, e -3 per 3 chilometri prima).

E le varietà di dimensione zero? Se per descrivere un punto “localmente” bastano zero numeri, cioè zero informazioni, vuol dire che non ci si può sbagliare: da quelle parti di punti ce n’è uno solo. Si tratta cioè di un insieme di punti isolati uno dall’altro. Pensiamo per esempio agli uffici postali: ce n’è più di uno ovviamente, ma in genere in ogni quartiere ce n’è uno solo, quindi se dico “troviamoci vicino a casa mia, davanti alle poste” è chiaro di quali poste sto parlando, anche se magari in città ce ne sono decine.

La superficie della Terra è un esempio di varietà di dimensione due: per descrivere una località sul GPS possiamo dare longitudine e latitudine, se invece siamo a piedi possiamo dire avanti due isolati, poi a destra per un isolato e mezzo. Notiamo che non è poi così rilevante, per questo, che la terra sia una sfera perfetta: quel che conta è che ci camminiamo sopra, invece di volare o scavare tunnel (o nuotare sott'acqua)!

Ovviamente lo spazio in cui viviamo è a tre dimensioni: può sembrare difficile a questo punto immaginare cose di dimensione maggiore (interminati spazi ove per poco il cor non si spaura, direbbe il poeta). Invece è una cosa molto naturale: per esempio, se devo descrivere la posizione nello spazio di un segmento, mi occorrono cinque numeri. Non capite perché? Vediamo di ragionarci insieme. Supponiamo di voler dire dove si trova esattamente una matita che ho in mano. Siccome è una normale matita di legno, quindi diritta, mi basta dire dove sta la punta e dove sta la gomma. Immaginiamo che io stia seduta alla mia scrivania: posso dire (per esempio) per la punta, quanti cm a destra dell’angolo sinistro della scrivania si trova, quanti in avanti, e quanti sopra. Fanno tre numeri (le tre coordinate nello spazio). E ne ho altri tre per dire dove sta la gomma. Ma allora sono sei?

Beh, non proprio: la matita ha una lunghezza ben determinata, quella sul mio tavolo adesso è 14 cm. Quindi i miei sei numeri non possono essere dati a caso: la distanza fra loro deve essere di 14 centimetri. In altre parole, la posizione della matita è descritta da sei parametri legati fra loro da una equazione, e sei meno uno fa cinque.

Un altro modo di “vedere il cinque” è di pensare di fissare la punta della matita (tre parametri) e lasciare la gomma libera di muoversi: otteniamo una sfera di raggio 14 cm, e come detto prima per descrivere un punto sulla sfera ci vogliono due numeri. Avete capito?

Proviamone un altro, meno concreto ma molto più vicino alla versione che usano i matematici: se vogliamo descrivere una retta nel piano, avrete forse imparato a scuola che l’equazione ha la forma y=mx+q dove x e y sono le coordinate cartesiane, mentre m e q sono i parametri che determinano di che retta si tratta. Quindi posso descrivere ogni retta con due coordinate? Beh, non proprio: mancano le rette verticali (x=a). Queste possono essere descritte scambiando il ruolo della x e della y nella formula: x=ay+b descrive tutte le rette, tranne quelle orizzontali.

I matematici dicono che abbiamo descritto le rette del piano con due carte, che insieme formano un atlante. Se vogliamo descrivere le rette nello spazio, ci servono quattro parametri (abbiamo cioè una varietà di dimensione 4) e una decina di carte - il numero esatto non è importante, proprio come diversi atlanti di una stessa regione possono avere diversi numeri di pagine senza che uno sia giusto e gli altri sbagliati.

Mi fermo prima della definizione formale, che è un po’ tecnica, e passo alla domanda naturale: a cosa servono le varietà? Un matematico potrebbe dirvi che sono belle: una delle varietà più famose si chiama K3, in onore di tre matematici il cui nome comincia con la K, e “del K2, la bella montagna nel Karakorum”. Sono anche interessanti… per alcuni matematici. E per gli altri?

Un primo suggerimento l’abbiamo già visto: le varietà vengono naturalmente usate in fisica per descrivere per esempio sistemi meccanici. Se avete un problema sul moto di un sistema di pesi collegati da barre di ferro e giunti snodati, tipicamente l’insieme delle possibili posizioni nello spazio sarà una varietà, e capirne qualcosa un preliminare importante allo studio del moto stesso. La teoria della relatività descrive lo spazio-tempo come una varietà quadridimensionale, in cui quale dimensione è il tempo e quali lo spazio dipende da quale carta (i fisici lo chiamano osservatore inerziale) scegliamo. In tempi più recenti, la teoria delle stringhe interpreta il mondo come moto di stringhe o fili (cioè varietà uno-dimensionali) in uno spazio di dimensione 10 o 11.

Risultati sulle varietà sono fra i punti chiave della matematica moderna: dimostrare che ogni curva ellittica (un tipo particolare di varietà, molto amato e che ha solo una tenue relazione con le ellissi) sia modulare ha permesso a Wiles di dimostrare l’ultimo teorema di Fermat, e la congettura di Poincaré dimostrata da Perelman descrive varietà quadridimensionali. Come potete vedere, la ricerca è ancora attiva al giorno d’oggi, finanziata in tutto il mondo con denaro pubblico.

In particolare negli Stati Uniti molti fondi vengono dalla NSA, la National Security Agency - che assume anche matematici, sia come staff permanente che come stage durante la pausa estiva dei corsi. Cosa c’entra lo spionaggio con le varietà? Per esempio la “backdoor”, una porticina sul retro con cui si può scavalcare il protocollo di sicurezza che tutti usiamo online, è costruita scegliendo in modo speciale le curve ellittiche che fanno da chiave. Come si usano le curve ellittiche per fare i codici? È una lunga storia, troppo per le righe che mi restano (direbbe Fermat). Alla prossima volta!

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