Quante sono le geometrie? Risposte ad un lettore

On May 28, 2017

Il nostro lettore FABRY2 ci scrive in un commento: "Ho letto in un libro (divulgativo) che in dimensione 3 ci sono "otto diversi tipi di geometrie". In dimensione 2, tre diversi tipi di geometrie. L'ultimo è chiaro. Non riuscendo a immaginare cosa ci possa essere dopo le 3 geometrie, chiedo se per piacere, qualcuno può dirmi qualcosa di più in merito. Grazie. Fabrizio." A questa domanda risponde Maria Dedò, dell'Università di Milano.

Dire che i tre diversi tipi di geometrie in dimensione 2 sono la geometria ellittica, la geometria euclidea e la geometria iperbolica significa che su qualsiasi superficie (cioè varietà di dimensione 2: vedi questo articolo di Barbara Fantechi sul sito) si può mettere una metrica “modellata” su una di queste tre situazioni: la sfera S^2, il piano euclideo E^2, il piano iperbolico H^2. A sua volta, dire “una metrica modellata su” significa (detto in una maniera informale, che naturalmente può essere precisato con rigore) che possiamo immaginare la superficie fatta di “pezzi” di piano (o, rispettivamente, pezzi di sfera o pezzi di piano iperbolico) incollati insieme tramite isometrie (euclidee, ellittiche o iperboliche, rispettivamente).  In alternativa, la stessa cosa si potrebbe esprimere dicendo che si ritrova la superficie come quoziente di uno di questi tre modelli attraverso l’azione di un gruppo discreto di isometrie.

Il fatto che la metrica sia costruita su questi tre modelli comporta in particolare che localmente, in una piccola zona vicino a un punto, la superficie ha, dal punto di vista metrico, lo stesso “aspetto” o del piano o della sfera o del piano iperbolico. Per fare un esempio, (si può parlare di segmenti, di angoli, di triangoli e) la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di (risp. uguale a, risp. minore di) 180° se la superficie ha una metrica (rispettivamente) ellittica, euclidea, iperbolica.

Proiezione stereografica dei paralleli (rossi), meridiani (blu) e ipermeridiani (verdi) dell'Ipersfera. By derivative work: Pbroks13 (talk) Hypersphere_coord.gif: Claudio Rocchini - Hypersphere_coord.gif, CC BY 3.0.

In dimensione 3, è stato Bill Thurston (1946-2012, vedi questo articolo di Riccardo Benedetti) a congetturare il fatto che su ogni varietà di dimensione 3 si potesse mettere una metrica; e, in questo caso, i possibili modelli sono otto. Tre sono i diretti analoghi dei tre casi bidimensionali: la sfera S^3 (i punti a distanza unitaria da un punto prefissato in un ambiente euclideo di dimensione 4); lo spazio euclideo E^3 e lo spazio iperbolico H^3. Poi ci sono due casi che provengono da un prodotto: S^2\times \mathbb{R} e H^2\times \mathbb{R}. E infine altri tre casi più complicati da descrivere.

Ci si può chiedere come mai qui si incontrano i prodotti e in dimensione 2 no: la risposta dipende dal fatto che la sfera S^2 è semplicemente connessa (ossia ogni curva chiusa contenuta nella superficie può essere deformata continuamente fino a ridursi a un singolo punto) e la circonferenza non lo è (mentre gli spazi “modello” devono essere semplicemente connessi). Il cilindro S^1\times \mathbb{R} non è semplicemente connesso e non avrebbe senso usarlo come un "modello" di geometria bidimensionale, perché a sua volta si può dotare di una metrica modellata sul piano euclideo (ovvero: possiamo usare un foglio di carta per avvolgere un cilindro in un pacco regalo, e possiamo farlo senza spiegazzare la carta; mentre non potremmo fare la stessa cosa con una palla).

La congettura di Thurston (che è stata poi dimostrata da Perelman nel 2003) è stata un tassello concettuale estremamente importante nello studio della topologia delle 3-varietà e ha avuto grosse conseguenze, fra cui ad esempio la congettura di Poincaré. Ma questa è un’altra storia…

Qualche suggerimento di lettura:

  • Serge Lang  “La bellezza della matematica”, Bollati Boringhieri; si tratta delle registrazioni di tre conferenze tenute da Lang a Parigi, al Palais de la Découverte (quindi a un pubblico generico); la terza di queste conferenze riguarda proprio la congettura di Thurston; non si arriva qui a dare una descrizione dettagliata degli otto modelli, ma il problema viene inquadrato molto bene, nel suo duplice aspetto, metrico e topologico.
  • Per chi cerca invece una bibliografia più tecnica, il riferimento classico è Thurston, “Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry” [Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), 357–381].

Maria Dedò

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