Leggere un libro di matematica non è come leggere un libro di letteratura. Non si inizia necessariamente da pagina uno, non si finisce necessariamente all’ultima pagina. Nicola Ciccoli ci conduce tra le sue letture giovanili di matematica (da un’idea nata su Facebook). La prima parte la trovate qui.
Dieudonné: Éléments d’analyse. Questo non è un libro, avrebbe detto Magritte. In effetti, non lo è. Sono nove volumi, per quasi 3000 pagine di matematica, esercizi compresi. Oppure è il tentativo disperato di portare ordine nel caos, di tracciare un percorso universale d’apprendimento che metta un qualunque giovane digiuno di ogni matematica post-liceale di diventare, al termine del viaggio, un aspirante analista dotato di tutti i ferri del mestiere necessari. Pazzia, dunque. Ma da sempre la via per produrre un capolavoro passa pericolosamente vicino al baratro del fallimento. Una garanzia l’autore: Dieudonné, un nome che si legge Bourbaki, ed è impossibile non vedere in questa serie di libri un pezzo parallelo dell’enciclopedia bourbakista, forse quel pezzo che solo un uomo, e solo un uomo solo, avrebbe potuto scrivere. Dieudonné è probabilmente lo scrittore di matematica più prolifico del ‘900. Forse la miglior spiegazione di questa serie di libri è la loro mappa concettuale. Una mappa intricata e necessaria che spiega con un dettaglio quasi maniacale come si fa a partire dall’inizio dell’opera e arrivare al punto che ci serve senza perdere nulla per strada. Mappa che, studiata a fondo, sarebbe certo un buon esercizio, forse un po’ complesso, di teoria dei grafi.
Peccato che seguire i percorsi di tale mappa richieda un livello di concentrazione esasperante, che quella mappa sia più un inno alla perfezione ideale che un progetto realistico. Elementi di analisi, dunque, ma con un taglio spiccatamente orientato verso una impostazione più algebrica possibile e un obiettivo più geometrico possibile. E dispiace che oggi Dieudonné sia ricordato come una specie di arcinemico della Geometria per via di quel à bas Euclide molto mal compreso, se si guarda quale e quanta geometria avvolge questa sua opera. Gruppi di Lie, varietà differenziabile, teoremi dell’indice. Questa serie di libri dimostra che la distinzione tripartita tanto in auge in Italia tra Analisi, Geometria, Fisica Matematica (con le cenerentole Algebra e Logica in un angolo) ha molto poco a che vedere con la realtà dei fatti. Questi libri son serviti a me per imparare un approccio algebrico all’analisi funzionale che non ho più ritrovato altrove e che molto mi è servito, più avanti. Non sapevo, iniziandone la lettura, di mettere le solide basi di costruzioni che ancora non potevo immaginare, semi che avrebbero germogliato anni dopo. Mi piace pensare che da architetto della matematica Dieudonné sperasse proprio in questo. Tracciare un percorso che anche se seguito per un tratto breve segnasse il lettore nei suoi viaggi futuri.
Dixmier: C*-algebras. Dal modo, tra gli infiniti possibili, con cui un autore decide di numerare i suoi teoremi spesso è possibile dedurre molto dello stile che uniforma un libro. Come, si dirà, una cosa così innocua come la numerazione dei teoremi? Sì. Può darsi, ad esempio, che a essere numerati siano solo pochi isolati teoremi e il resto dei risultati si affidi semplicemente alla divisione in paragrafi e capitoli. E’ il caso delle “Complex manifolds without potential theory” di Chern, ad esempio. Un libro che va letto tutto di fila, come quei romanzi che se li lasci sul comodino dieci giorni poi non li riprendi in mano più. Ci sono libri che numerano Esempi, Esercizi, Osservazioni, Lemmi, Teoremi, Proposizioni, Corollari ognuno con una numerazione indipendente dalle altre di modo che al Teorema 2 può seguire la Proposizione 9, nella dimostrazione della quale si trova il Lemma 4; situazione che mette il lettore nella sostanziale impossibilità di ritrovare un Teorema semplicemente aprendo il libro a caso e che rivelano un certo disprezzo per il lettore, complemento quasi occasionale del testo, scritto come se l’autore ne fosse il padrone definitivo. Ci sono libri che numerano in maniera pedissequamente tripartita: capitolo, paragrafo, numero specifico progressivo, ma decidono di lasciar da parte tutte le osservazioni e i commenti e gli esempi e siccome sono proprio quelli, spesso, a rivelarsi strumenti decisivi per la comprensione ti obbligano a parlare del libro con eleganti quanto complesse perifrasi quando li devi citare: “come si deduce dall’esempio immediatamente precedente il secondo corollario del Teorema 3.4.7…”. A Dixmier non si può rimproverare nulla. Tutto è numerato. Tutto segue la divisione: numero di capitolo, di paragrafo, ordine progressivo. E questa precisione puntuale la ritrovi nella bibliografia: 1883 citazioni nella prima edizione, cui se ne aggiungono altre 169 con l’edizione successiva, portando il totale a 2052. Anche le Appendici, di solito veri e propri interregni dell’indistinto, sono sezionate in paragrafetti, ognuno contenente uno e un solo risultato e con tredici testi di bibliografia in sovrappiù e separati dal resto. Apparentemente una situazione idilliaca: tanto più se, come me, sia le basi delle algebre inviluppo universali che quelle delle C*-algebre le avete imparate su questi testi. Poi, un giorno, per sbaglio, provate a scrivere qualcosa voi, di matematica. Non proprio un libro ma un abbozzo, un brogliaccio, le note di un corso, il riassunto a vostro uso di una teoria. E provate a farlo così perché questi risultati ben ordinati son quel che vi serve per recuperarli poi, più avanti. E scoprite ben presto che è impossibile. No, questo è esagerato. Posso solo dire che è impossibile per me. Questo risultato è una Proposizione o una Osservazione, è tanto importante da meritare un numero o va lasciato fuori dal testo? Un commento di una riga merita un numero a parte o è associato alla Proposizione precedente? Il testo che cito deve essere l’originale o quello da cui io ho attinto l’informazione? È un esercizio utile che dimostra come la ricerca della perfezione possa spesso essere dannatamente controproducente. Dimostra anche come la lettura di un libro così scandito possa diventare anche noiosa, deviante, fastidiosa. Perché magari tutti quei numerini non mandano il libro nella direzione che vorreste voi, pur lasciandovi addosso la fastidiosa sensazione di un ordine iperuranio delle cose, come se quel libro non potesse essere scritto altrimenti. Invece no. Ogni ordine, ogni raccolta d’informazioni, ogni riassunto si definisce proprio per la sua incompletezza, per ciò che lascia fuori, per i suoi margini, magari slabbrati, per la non necessità delle sue scelte. Ho imparato tantissimo dai libri di Dixmier ma non posso dire di averli amati davvero. Forse per un periodo breve, una infatuazione a distanza, come quella di un adolescente per la ragazza di un’altra classe del Liceo: bionda, proporzionata, ben vestita, inarrivabile. Che occupava tutti i vostri pensieri, in ogni momento. Fino a che non vi siete innamorati davvero e avete capito che no, l’amore vero, è tutta un’altra cosa.
Dubrovin-Novikov-Fomenko: Geometria contemporanea I-II-III. Ci sono un americano, un francese e un russo. Potrebbe essere l’inizio di una di quelle barzellette basate sugli stereotipi nazionali che ci raccontavamo da bambini. Eppure quegli stereotipi non rivelavano proprio cose senza senso, e più tardi, nella vita, avremmo capito che i tedeschi non erano tutti rigorosi, ma in parte sì. Così, anche nella scrittura matematica, esistono stereotipi nazionali che non sono proprio sempre veri, ma in parte sì. Se i francesi brillano per la loro ricerca costante della massima generalità possibile e per una ricerca costante di ordine nel caos, se gli americani si fanno notare spesso per l’estrema attenzione alla concisione della trattazione, all’efficienza, verrebbe da dire, del testo, allora i russi brillano per la loro scapigliata indole trasversale. Questi tre libri, che possiedo in italiano per i primi due volumi e in francese per il terzo, ricordo di un tempo in cui le economiche edizioni Mir erano una delle poche occasioni per uno squattrinato studente di comperare qualche libro di matematica, e la traduzione francese arrivava sulle bancarelle dei reminders prima di quella italiana, ne sono l’esempio perfetto. Se fosse un francese a dover scrivere una summa della Geometria Contemporanea, be’, Bourbaki, e ho detto tutto: infatti, Bourbaki alle varietà quasi non ci arriva, giusto un fascicolo di risultati, troppo avanzate. Se fosse un americano? No, no, un americano neanche ci prova, un’ambizione insensata. Ma tre russi, e che russi. Allora è un fuoco d’artificio. In questi libri si parte senza sapere dove si va. La matematica si slancia in avanti e poi torna indietro. Concetti difficili sono introdotti già dalle prime pagine. Le dimostrazioni vengono a volte sviluppate in dettaglio, a volte omesse, a volte sostituite da ragionamenti euristici. Ci vuole equilibrio per leggerli senza farsi spaventare. Però ricompensano della stessa gioia euforica che ci dà un giro di giostra. Il terzo volume, quello che possiedo in francese, mi è caro in modo particolare. Era il tempo dei concorsi da ricercatore, per me. Disse un mio collega “ci son due tipi di concorrenti ai concorsi: quelli che li fanno tutti e quelli che li vincono”. Ecco, io ero nella schiera anonima di quelli che partecipavano, venti concorrenti per un posto, alle spalle già delusioni a Bari, Trieste, Modena, Firenze in un tour dell’Italia equanime geograficamente e che se non altro mi permetteva uno sgangherato turismo. Così arrivò Parma. Un concorso preparato precipitosamente, con un’ansia da ultima spiaggia. Arrivai a Parma senza neanche aver prenotato l’albergo (e mi trovai a dividere la camera d’albergo con un collega di concorsi conosciuto in treno e che avrebbe vinto, più tardi, a due passi da un confine). In attesa del primo scritto, precariamente appollaiato su di una sedia in corridoio, riguardavo la dimostrazione del fatto che per gli spazi simmetrici compatti la coomologia di de Rham si calcola con le sole forme invarianti, proprio su questo libro. Una dimostrazione che mi piaceva particolarmente per lo stile sintetico e al tempo stesso largamente generalizzabile che la riempiva. Di lì a poco, dopo l’estrazione delle buste e la lettura dei temi, mi ritrovai infiammato a scriverne, eccitato per la possibilità di centrare il mio tema proprio su quella dimostrazione che tanto mi piaceva. Sarebbe risultato il miglior tema scritto quel pomeriggio; assieme ai consigli sugli esercizi che racimolai la sera dal mio compagno di stanza, sempre gliene sarò grato, mi avrebbe garantito un secondo posto che se pur non mi dava la posizione da ricercatore mi dava la convinzione di potercela fare, di non essere proprio fuori strada e fuori luogo, e soprattutto che la scelta dei concorsi di Geometria per me, cresciuto all’apparenza come Fisico Matematico, era quella giusta. Convinzione che mi avrebbe portato sul podio del concorso ancora un paio di volte, fuori dalla folla anonima, e infine, nove mesi dopo, praticamente un parto, a vincere.
Mac Lane: Homology. L’immagine è idilliaca. Non ricordo dove ho letto questa storia, può darsi sia stata creata artificialmente nella mia mente da qualche ricordo distorto, visto che poi non son più riuscito a ritrovare la traccia di partenza. L’immagine è di una calda mattina estiva, un cottage bianco vicinissimo alla spiaggia, con una veranda di legno e tre gradini e un piccolo prato in cui si mischia il verde spelacchiato dell’erba e l’invasione della sabbia portata dal vento, le onde che rotolano sull’Atlantico di fronte. MacLane è un giovane matematico, esentato per sua fortuna dal servizio militare, visto che dall’altra parte dell’oceano infuria la guerra. E’ anche fresco sposo, e dentro la casa, nella camera al secondo piano, sta la sua giovane moglie incinta, obbligata a letto per molte ore al giorno. Nella noia di quell’estate isolata da tutto e tutti, nella quiete di quella casa silenziosa, nello studio al pian terreno dalle larghe finestre, MacLane scrive. Sta sistemando gli appunti di un corso di Algebra Moderna che lui e Brikhoff, entrambi in frettoloso ritorno da esperienze tedesche, hanno tenuto a Harvard, cercando di trasmettere la forza dell’approccio all’Algebra che Emmy Noether ha faticosamente fatto crescere anche nella Germania pre-nazista. Hanno lavorato assieme sull’indice, sulla scelta degli argomenti, sulle notazioni, sugli appunti, sugli esercizi svolti in classe e ora, diligentemente, Mac Lane scrive un libro che di lì a poco otterrà tutti gli onori possibili, libro di testo in quasi tutti i corsi delle università americane e dopo la guerra in molte delle università europee, riferimento quasi insuperabile per una trentina d’anni; premi per l’eccellenza nella scrittura, riedizioni copiose, traduzioni. Vent’anni più tardi MacLane si dedica a un altro libro: “Homology”. Ora lo scopo non è più quello di portare negli Stati Uniti una teoria sviluppata in Germania, ora l’obiettivo è portare nel mondo quella teoria algebrica dell’omologia che è nata proprio sul suolo americano, da suo lavoro assieme a Eilenberg, e che di lì a poco mostrerà tutta la sua versatilità. Quando mi dispongo a leggere questo libro è l’estate del 2005. La casa non ha una veranda, non ha un’ampia vetrata e del mare non ha la vista, anche se l’aria che entra dalle finestre perennemente spalancate è indubbiamente salmastra. In casa mia, però, la stessa quiete. La mia seconda figlia ha solo tre mesi, io per una volta non ho nessuna scadenza imminente a tormentarmi e leggo questo libro solo per occupare le lunghe ore di quelle giornate, troppo calde per andare in spiaggia con una bimba così piccola. Mentre mia moglie allatta, mentre entrambe dormono recuperando il sonno perso di notte, io trovo un angolo appena più ventilato e procedo, rigoroso, da pagina 1, svolgendo gli esercizi, appuntandomi le cose su cui mi riprometto di ritornare. A volte devo interrompere: per un pannolino da cambiare, una passeggiata, un gelato con la figlia più grande. E sono interruzioni brusche, ancora restano sottolineature lasciate a metà. Giorno dopo giorno il segnalibro avanza. Certo, a volte l’approccio di MacLane, di questo libro scritto nei primi anni ‘60, mostra il segno del tempo. A lato annoto qualche riferimento a linguaggi più moderni, a teorie arrivate in quell’intervallo di tempo che da lui mi separa. Ma complessivamente è una lettura rinfrancante. Scopro l’origine di alcune terminologie, le ragioni alla base di alcune tecniche. In quella calma estate scopro, e non è un caso che coincida con i primi capelli bianchi, il piacere di leggere un testo classico. Non è un caso che da adulti, così come per la letteratura, anche nella matematica si possa incontrare il piacere di leggere o rileggere i libri che abbiamo lasciato da parte negli anni del furore, della scoperta, dell’allargamento degli orizzonti. Leggo e gusto quel silenzio estivo, quella pausa di sospensione dal mondo. Leggo e mi diverto a riscoprire un legame con il fare matematica libero dallo scrivere articoli, pubblicare, presentare a congressi, pensare a concorsi e carriere. La scrittura piana e ordinata, didattica, di MacLane è particolarmente adatta. Agosto finisce, molto prima del libro. Con Settembre riprende il consueto vortice di esami, lezioni, riunioni, scadenze. Resta il segnalibro verso pagina 250, a metà di un paragrafo. Forse non lo riprenderò mai; mi piace pensare che diventato nonno avrò ancora la voglia e la freschezza mentale, in una calda mattina estiva di ripartire da quel segnalibro, matita in mano, gomma e temperino sul tavolo, come nulla fosse.
Fomenko-Fuchs-Gantmacher: Homotopic Topology. Non sono certo un esperto di topologia omotopica, né posso dire di aver imparato molto sfogliando questo libro. Letto, per studiarlo, per davvero, mai. Ho guardato le figure. Le figure? Esiste un libro di matematica di ricerca con le figure? Se ve lo chiedete, vuol dire che non conoscete Fomenko. Fomenko è un professore russo di Geometria Differenziale e, come tutti i russi che si sono occupati di geometria, sembra essere stato travolto da un furore matematico che lo ha spinto a occuparsi di argomenti di ricerca diversissimi tra loro e scrivere con una prolificità imbarazzante: sistemi integrabili, superfici minime, geometria simplettica, topologia delle varietà di dimensione bassa. Nei suoi tanti anni da professore alla famosa Lomonossov di Mosca è stato direttore di tesi di una miriade di studenti, alcuni dei quali diventati a loro volta famosi. Della sua bellissima trilogia di Geometria Contemporanea parlerò a parte. Ma questo è stato il primo libro che ne ha rivelate le doti di disegnatore. Il libro, più che avere figure che spiegano i teoremi che contiene, risulta essere un vero e proprio libro illustrato. Il che per un libro di matematica avanzato, peraltro edito da un fantastico editore ungherese negli anni ’50, è sufficientemente bizzarro. Le illustrazioni, poi, sono disegni che trasfigurano la visione di oggetti topologici e geometrici in un mondo a cavallo tra fantascienza e surrealismo, un modo in cui prendono vita le sfere cornute di Alexander e le successioni spettrali, i palazzi, il cobordismo, la teoria delle ostruzioni. Immagini in cui gli uomini erano piccoli e le costruzioni che li circondavano enormi, mondi che spaventavano per la vastità dei loro orizzonti e la ricchezza delle loro forme. Parte di quelle immagini sono confluite in una altro libro di Fomenko, Mathematical Impressions, tutto dedicato ai suoi disegni e che sfoglio a volte con la stessa vertigine di allora. Il libro me lo aveva passato un professore della mia università, cui sempre sarò grato, perché riteneva non a torto che dovessi ampliare le mie conoscenze in questi campi della Geometria. Ci lottai per un po’ ma troppo di quella Topologia Omotopica andava in una direzione che non capivo. Non capivo le domande da cui muoveva quel libro e l’ispirazione che lo guidava. Restavo semplicemente ipnotizzato a guardare quelle fantastiche figure. Le figure che avevo in mente io, quando studiavo, erano più semplici, meno ispirate. Ma più calde e più umane ai miei occhi. Forse, per la prima volta, in questo libro ho ritrovato le sensazioni di chi dice che la matematica è una scienza fredda, ho incontrato il freddo della precisione dell’algebra abbinato al freddo della patologia. In quei soli pallidi, sfocati, laterali, in quelle ombre sempre lunghe e allucinate, ho visto quasi un abisso di follia. Sarà un caso, mi dico, che anni dopo l’autore sembra essersi avviato lungo il mondo dai confini sfumati delle teorie pseudoscientifiche, inventando una propria surreale storiografia, la Nuova Cronologia, che spazza via ciò che conosciamo del mondo antico. Teoria arrivata a convincere anche lo scacchista Kasparov, ma che sembra possibile, a rifletterci bene, solo nel suo pallido mondo immaginario.
Northcott: Multilinear Algebra. “Ciavete dee domande?” Così, con accento romano, invariabilmente, iniziava e si terminava ogni lezione del corso di Fisica II. Cosa che ci gettava nel più totale sconforto: altro che una domanda, non capivamo nulla! È per questo che a distanza di anni ricordo bene l’inizio di una lezione, poteva essere la sesta o la settima, in cui io a questo interrogativo reagii alzando il braccio, prima volta che in un’aula universitaria avevo il coraggio di espormi e farne una io, di domanda. Altri avevano più coraggio di me e chiedevano. Io di solito capivo; quando non capivo davo a me la colpa e ci ritornavo su da solo fino a che non avevo capito. Però da un mese circa, dalla prima lezione, sbattevo il muso su di un dubbio. D’accordo, tutta quella relatività speciale per essere scritta aveva bisogno dei tensori. Però un tensore, lui, cosa diavolo era? E proprio così, diretta, la posi al professore la mia domanda. Si, dunque, un tensore cos’è? La sua risposta, probabilmente un po’ sconsolata, non mi aiutò affatto. Un tensore è una cosa con degli indici in alto e in basso che fanno così e cosà. Va bene, pensavo sconsolato anche io ascoltando la risposta, ma una cosa di che tipo, quale cosa? Insomma: il problema era ontologico. Il dubbio restò e superai l’esame di Fisica II sentendomi un truffatore: sapevo spostare in alto e in basso gli indici di quei tensori ma non sapevo che cosa diavolo fossero. Ci volle ancora qualche anno, fino a che incontrai questo libricino, note di un corso di algebra inglese, pubblicate nell’inconfondibile azzurrino della Cambridge University Press. Ognuno di noi ha, evidentemente, una strada possibile e non altre per imparare alcune nozioni che altrimenti gli restano ostiche. Queste pagine, in cui la matematica ha proprio la stessa consistenza di una discussione a un tavolo da tè con un impeccabile lord britannico, furono quelle necessarie a me per svelare il mistero dei tensori, a suon di proprietà universali e non di indici, a furia di proprietà algebriche tanto ben delineate da essere ripetitive, a suon di capitoli in cui uno dopo l’altro lo schema logico si ripete in maniera tanto prevedibile da diventare quasi noiosa. Molto più tardi, grazie a colleghi fisici con cui ancora collaboro, imparai ad apprezzare anche la pratica ginnastica degli indici e, orribile a dirsi, la convenzione di Einstein. Ma conservo la memoria della lettura di queste pagine come lo sciogliersi di un nodo che mi ero portato dietro, con un certo rancore, sin da quel mio alzare la mano, da quella domanda non risposta, non per me almeno. Una soddisfazione quasi postuma.
Vitali–Sansone: Funzioni di variabili reale. Per molti anni ho avuto l’inguaribile vizio di infilare (almeno) un libro di matematica in ogni bagaglio che mi accompagnasse. Ora lo considero quasi un vizio da estirpare e cerco spesso di resistere alla tentazione di mettere un corposo volume di topologia algebrica tra le ciabatte e i costumi da mare, o gli atti di un convegno a fianco dei pantaloni da sci. Per anni non mi sono fatto nessuno scrupolo, e per questo motivo ho finito per leggere, a volte solo sfogliare, in qualche occasione proprio studiare, testi di matematica nei posti meno probabili. Questo libro, poi, già di suo nasceva in modo un po’ strano. Come scritto a matita in seconda di copertina, con una grafia di altri tempi, questo era uno dei libri di testo di mia zia, studentessa universitaria di Fisica e Matematica nell’immediato dopoguerra all’Università di Firenze, iscritta a qualche anno dal diploma liceale, per via della guerra, e mai capace di terminare gli studi per via della povertà, della morte di mia nonna, delle disgrazie di una famiglia tra tante che sotto i bombardamenti aveva perso tutto tranne la dignità. Alla sua morte non ero ancora uno studente universitario di Matematica e questo libro era rimasto in uno degli scatoloni ammucchiati nel suo appartamento. Solo qualche anno dopo lo avevo scoperto, con l’emozione di chi, nel frattempo, aveva imparato a leggere un testo che iniziava con la definizione di funzioni a quadrato sommabile. D’altra parte, non essendo accostabile a un libro di testo di nessuna delle mie materie, non potevo certo leggerlo nel periodo dello studio. Quindi, in piena estate, libero da esami, questo libro era finito nella sacca arancione che conteneva biancheria, costumi, ma anche maglioni e cerata, destinazione Jugoslavia, ancora tutta intera, per una crociera a vela. Poi, dopo una traversata Pesaro-Zara fatta di giorno, sferzata da uno scirocco contrario che ci aveva obbligato a un unico lunghissimo bordo di bolina, con onde e spruzzi e tutto il resto, e un ormeggio notturno fatto a vela per via di un’avaria al motore che ci avrebbe tormentato per l’intera vacanza, traversata durante la quale il libro se n’era rimasto dentro una sacca cerata, aveva finalmente trovato il suo posto a fianco del tavolo da carteggio, tra i portolani e qualche romanzo. Non voglio dire che nei venti giorni che seguirono questa sia stata una lettura costante e agevole. A volte, dopo una giornata di tuffi e immersioni, di ore al timone, di panni stesi ad asciugare, non sentivo nessuna voglia di isolarmi in queste pagine ingiallite e dedicarmi agli sviluppi in serie di funzioni ortogonali. Altre volte, però, magari durante un lungo trasferimento sotto spinnaker, quando al timone stava qualcun altro e non restava altro da fare che sdraiarsi all’ombra e godere del vento e del caldo e del rumore dell’acqua, mi infilavo in queste pagine e gustavo il retrogusto antico di questa matematica, esposta in un modo che risentiva del passare degli anni, ma in cui si riconosceva il piacere di parlare di funzioni con una terminologia squisitamente geometrica, libro antesignano di quell’approccio all’analisi funzionale che, in un libro la cui prima edizione è del ’34, doveva allora risultare inusitatamente moderno. In una lingua straordinariamente datata, invece. Così, posto un valore di epsilon in guisa che… e riconosciuta l’importanza dei polinomi del Legendre, io mi divertivo a saltabeccare di pagina in pagina tra l’integrale di Stieltjes e le serie di Tchebichef, senza la necessità di comprendere i dettagli ma solo il piacere di effettuare un doppio esercizio di traduzione, da quella lingua alla mia lingua, da quella matematica alla mia matematica. Fu un compagno divertente e un ricordo piacevole, anche se velato dalla malinconia delle sue origini, dal dispiacere di non aver mai potuto parlare di quel libro, di quelle formule, con mia zia cui quelle pagine, per averle conservate più di quarant’anni, dovevano certo rievocare momenti imperdibili della sua esistenza. (2-continua?)
Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths! e Comics&Science.
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Peccato che seguire i percorsi di tale mappa richieda un livello di concentrazione esasperante, che quella mappa sia più un inno alla perfezione ideale che un progetto realistico. Elementi di analisi, dunque, ma con un taglio spiccatamente orientato verso una impostazione più algebrica possibile e un obiettivo più geometrico possibile. E dispiace che oggi Dieudonné sia ricordato come una specie di arcinemico della Geometria per via di quel à bas Euclide molto mal compreso, se si guarda quale e quanta geometria avvolge questa sua opera. Gruppi di Lie, varietà differenziabile, teoremi dell’indice. Questa serie di libri dimostra che la distinzione tripartita tanto in auge in Italia tra Analisi, Geometria, Fisica Matematica (con le cenerentole Algebra e Logica in un angolo) ha molto poco a che vedere con la realtà dei fatti. Questi libri son serviti a me per imparare un approccio algebrico all’analisi funzionale che non ho più ritrovato altrove e che molto mi è servito, più avanti. Non sapevo, iniziandone la lettura, di mettere le solide basi di costruzioni che ancora non potevo immaginare, semi che avrebbero germogliato anni dopo. Mi piace pensare che da architetto della matematica Dieudonné sperasse proprio in questo. Tracciare un percorso che anche se seguito per un tratto breve segnasse il lettore nei suoi viaggi futuri.
Dixmier: C*-algebras. Dal modo, tra gli infiniti possibili, con cui un autore decide di numerare i suoi teoremi spesso è possibile dedurre molto dello stile che uniforma un libro. Come, si dirà, una cosa così innocua come la numerazione dei teoremi? Sì. Può darsi, ad esempio, che a essere numerati siano solo pochi isolati teoremi e il resto dei risultati si affidi semplicemente alla divisione in paragrafi e capitoli. E’ il caso delle “Complex manifolds without potential theory” di Chern, ad esempio. Un libro che va letto tutto di fila, come quei romanzi che se li lasci sul comodino dieci giorni poi non li riprendi in mano più. Ci sono libri che numerano Esempi, Esercizi, Osservazioni, Lemmi, Teoremi, Proposizioni, Corollari ognuno con una numerazione indipendente dalle altre di modo che al Teorema 2 può seguire la Proposizione 9, nella dimostrazione della quale si trova il Lemma 4; situazione che mette il lettore nella sostanziale impossibilità di ritrovare un Teorema semplicemente aprendo il libro a caso e che rivelano un certo disprezzo per il lettore, complemento quasi occasionale del testo, scritto come se l’autore ne fosse il padrone definitivo. Ci sono libri che numerano in maniera pedissequamente tripartita: capitolo, paragrafo, numero specifico progressivo, ma decidono di lasciar da parte tutte le osservazioni e i commenti e gli esempi e siccome sono proprio quelli, spesso, a rivelarsi strumenti decisivi per la comprensione ti obbligano a parlare del libro con eleganti quanto complesse perifrasi quando li devi citare: “come si deduce dall’esempio immediatamente precedente il secondo corollario del Teorema 3.4.7…”. A Dixmier non si può rimproverare nulla. Tutto è numerato. Tutto segue la divisione: numero di capitolo, di paragrafo, ordine progressivo. E questa precisione puntuale la ritrovi nella bibliografia: 1883 citazioni nella prima edizione, cui se ne aggiungono altre 169 con l’edizione successiva, portando il totale a 2052. Anche le Appendici, di solito veri e propri interregni dell’indistinto, sono sezionate in paragrafetti, ognuno contenente uno e un solo risultato e con tredici testi di bibliografia in sovrappiù e separati dal resto. Apparentemente una situazione idilliaca: tanto più se, come me, sia le basi delle algebre inviluppo universali che quelle delle C*-algebre le avete imparate su questi testi. Poi, un giorno, per sbaglio, provate a scrivere qualcosa voi, di matematica. Non proprio un libro ma un abbozzo, un brogliaccio, le note di un corso, il riassunto a vostro uso di una teoria. E provate a farlo così perché questi risultati ben ordinati son quel che vi serve per recuperarli poi, più avanti. E scoprite ben presto che è impossibile. No, questo è esagerato. Posso solo dire che è impossibile per me. Questo risultato è una Proposizione o una Osservazione, è tanto importante da meritare un numero o va lasciato fuori dal testo? Un commento di una riga merita un numero a parte o è associato alla Proposizione precedente? Il testo che cito deve essere l’originale o quello da cui io ho attinto l’informazione? È un esercizio utile che dimostra come la ricerca della perfezione possa spesso essere dannatamente controproducente. Dimostra anche come la lettura di un libro così scandito possa diventare anche noiosa, deviante, fastidiosa. Perché magari tutti quei numerini non mandano il libro nella direzione che vorreste voi, pur lasciandovi addosso la fastidiosa sensazione di un ordine iperuranio delle cose, come se quel libro non potesse essere scritto altrimenti. Invece no. Ogni ordine, ogni raccolta d’informazioni, ogni riassunto si definisce proprio per la sua incompletezza, per ciò che lascia fuori, per i suoi margini, magari slabbrati, per la non necessità delle sue scelte. Ho imparato tantissimo dai libri di Dixmier ma non posso dire di averli amati davvero. Forse per un periodo breve, una infatuazione a distanza, come quella di un adolescente per la ragazza di un’altra classe del Liceo: bionda, proporzionata, ben vestita, inarrivabile. Che occupava tutti i vostri pensieri, in ogni momento. Fino a che non vi siete innamorati davvero e avete capito che no, l’amore vero, è tutta un’altra cosa.
Dubrovin-Novikov-Fomenko: Geometria contemporanea I-II-III. Ci sono un americano, un francese e un russo. Potrebbe essere l’inizio di una di quelle barzellette basate sugli stereotipi nazionali che ci raccontavamo da bambini. Eppure quegli stereotipi non rivelavano proprio cose senza senso, e più tardi, nella vita, avremmo capito che i tedeschi non erano tutti rigorosi, ma in parte sì. Così, anche nella scrittura matematica, esistono stereotipi nazionali che non sono proprio sempre veri, ma in parte sì. Se i francesi brillano per la loro ricerca costante della massima generalità possibile e per una ricerca costante di ordine nel caos, se gli americani si fanno notare spesso per l’estrema attenzione alla concisione della trattazione, all’efficienza, verrebbe da dire, del testo, allora i russi brillano per la loro scapigliata indole trasversale. Questi tre libri, che possiedo in italiano per i primi due volumi e in francese per il terzo, ricordo di un tempo in cui le economiche edizioni Mir erano una delle poche occasioni per uno squattrinato studente di comperare qualche libro di matematica, e la traduzione francese arrivava sulle bancarelle dei reminders prima di quella italiana, ne sono l’esempio perfetto. Se fosse un francese a dover scrivere una summa della Geometria Contemporanea, be’, Bourbaki, e ho detto tutto: infatti, Bourbaki alle varietà quasi non ci arriva, giusto un fascicolo di risultati, troppo avanzate. Se fosse un americano? No, no, un americano neanche ci prova, un’ambizione insensata. Ma tre russi, e che russi. Allora è un fuoco d’artificio. In questi libri si parte senza sapere dove si va. La matematica si slancia in avanti e poi torna indietro. Concetti difficili sono introdotti già dalle prime pagine. Le dimostrazioni vengono a volte sviluppate in dettaglio, a volte omesse, a volte sostituite da ragionamenti euristici. Ci vuole equilibrio per leggerli senza farsi spaventare. Però ricompensano della stessa gioia euforica che ci dà un giro di giostra. Il terzo volume, quello che possiedo in francese, mi è caro in modo particolare. Era il tempo dei concorsi da ricercatore, per me. Disse un mio collega “ci son due tipi di concorrenti ai concorsi: quelli che li fanno tutti e quelli che li vincono”. Ecco, io ero nella schiera anonima di quelli che partecipavano, venti concorrenti per un posto, alle spalle già delusioni a Bari, Trieste, Modena, Firenze in un tour dell’Italia equanime geograficamente e che se non altro mi permetteva uno sgangherato turismo. Così arrivò Parma. Un concorso preparato precipitosamente, con un’ansia da ultima spiaggia. Arrivai a Parma senza neanche aver prenotato l’albergo (e mi trovai a dividere la camera d’albergo con un collega di concorsi conosciuto in treno e che avrebbe vinto, più tardi, a due passi da un confine). In attesa del primo scritto, precariamente appollaiato su di una sedia in corridoio, riguardavo la dimostrazione del fatto che per gli spazi simmetrici compatti la coomologia di de Rham si calcola con le sole forme invarianti, proprio su questo libro. Una dimostrazione che mi piaceva particolarmente per lo stile sintetico e al tempo stesso largamente generalizzabile che la riempiva. Di lì a poco, dopo l’estrazione delle buste e la lettura dei temi, mi ritrovai infiammato a scriverne, eccitato per la possibilità di centrare il mio tema proprio su quella dimostrazione che tanto mi piaceva. Sarebbe risultato il miglior tema scritto quel pomeriggio; assieme ai consigli sugli esercizi che racimolai la sera dal mio compagno di stanza, sempre gliene sarò grato, mi avrebbe garantito un secondo posto che se pur non mi dava la posizione da ricercatore mi dava la convinzione di potercela fare, di non essere proprio fuori strada e fuori luogo, e soprattutto che la scelta dei concorsi di Geometria per me, cresciuto all’apparenza come Fisico Matematico, era quella giusta. Convinzione che mi avrebbe portato sul podio del concorso ancora un paio di volte, fuori dalla folla anonima, e infine, nove mesi dopo, praticamente un parto, a vincere. 
Mac Lane: Homology. L’immagine è idilliaca. Non ricordo dove ho letto questa storia, può darsi sia stata creata artificialmente nella mia mente da qualche ricordo distorto, visto che poi non son più riuscito a ritrovare la traccia di partenza. L’immagine è di una calda mattina estiva, un cottage bianco vicinissimo alla spiaggia, con una veranda di legno e tre gradini e un piccolo prato in cui si mischia il verde spelacchiato dell’erba e l’invasione della sabbia portata dal vento, le onde che rotolano sull’Atlantico di fronte. MacLane è un giovane matematico, esentato per sua fortuna dal servizio militare, visto che dall’altra parte dell’oceano infuria la guerra. E’ anche fresco sposo, e dentro la casa, nella camera al secondo piano, sta la sua giovane moglie incinta, obbligata a letto per molte ore al giorno. Nella noia di quell’estate isolata da tutto e tutti, nella quiete di quella casa silenziosa, nello studio al pian terreno dalle larghe finestre, MacLane scrive. Sta sistemando gli appunti di un corso di Algebra Moderna che lui e Brikhoff, entrambi in frettoloso ritorno da esperienze tedesche, hanno tenuto a Harvard, cercando di trasmettere la forza dell’approccio all’Algebra che Emmy Noether ha faticosamente fatto crescere anche nella Germania pre-nazista. Hanno lavorato assieme sull’indice, sulla scelta degli argomenti, sulle notazioni, sugli appunti, sugli esercizi svolti in classe e ora, diligentemente, Mac Lane scrive un libro che di lì a poco otterrà tutti gli onori possibili, libro di testo in quasi tutti i corsi delle università americane e dopo la guerra in molte delle università europee, riferimento quasi insuperabile per una trentina d’anni; premi per l’eccellenza nella scrittura, riedizioni copiose, traduzioni. Vent’anni più tardi MacLane si dedica a un altro libro: “Homology”. Ora lo scopo non è più quello di portare negli Stati Uniti una teoria sviluppata in Germania, ora l’obiettivo è portare nel mondo quella teoria algebrica dell’omologia che è nata proprio sul suolo americano, da suo lavoro assieme a Eilenberg, e che di lì a poco mostrerà tutta la sua versatilità. Quando mi dispongo a leggere questo libro è l’estate del 2005. La casa non ha una veranda, non ha un’ampia vetrata e del mare non ha la vista, anche se l’aria che entra dalle finestre perennemente spalancate è indubbiamente salmastra. In casa mia, però, la stessa quiete. La mia seconda figlia ha solo tre mesi, io per una volta non ho nessuna scadenza imminente a tormentarmi e leggo questo libro solo per occupare le lunghe ore di quelle giornate, troppo calde per andare in spiaggia con una bimba così piccola. Mentre mia moglie allatta, mentre entrambe dormono recuperando il sonno perso di notte, io trovo un angolo appena più ventilato e procedo, rigoroso, da pagina 1, svolgendo gli esercizi, appuntandomi le cose su cui mi riprometto di ritornare. A volte devo interrompere: per un pannolino da cambiare, una passeggiata, un gelato con la figlia più grande. E sono interruzioni brusche, ancora restano sottolineature lasciate a metà. Giorno dopo giorno il segnalibro avanza. Certo, a volte l’approccio di MacLane, di questo libro scritto nei primi anni ‘60, mostra il segno del tempo. A lato annoto qualche riferimento a linguaggi più moderni, a teorie arrivate in quell’intervallo di tempo che da lui mi separa. Ma complessivamente è una lettura rinfrancante. Scopro l’origine di alcune terminologie, le ragioni alla base di alcune tecniche. In quella calma estate scopro, e non è un caso che coincida con i primi capelli bianchi, il piacere di leggere un testo classico. Non è un caso che da adulti, così come per la letteratura, anche nella matematica si possa incontrare il piacere di leggere o rileggere i libri che abbiamo lasciato da parte negli anni del furore, della scoperta, dell’allargamento degli orizzonti. Leggo e gusto quel silenzio estivo, quella pausa di sospensione dal mondo. Leggo e mi diverto a riscoprire un legame con il fare matematica libero dallo scrivere articoli, pubblicare, presentare a congressi, pensare a concorsi e carriere. La scrittura piana e ordinata, didattica, di MacLane è particolarmente adatta. Agosto finisce, molto prima del libro. Con Settembre riprende il consueto vortice di esami, lezioni, riunioni, scadenze. Resta il segnalibro verso pagina 250, a metà di un paragrafo. Forse non lo riprenderò mai; mi piace pensare che diventato nonno avrò ancora la voglia e la freschezza mentale, in una calda mattina estiva di ripartire da quel segnalibro, matita in mano, gomma e temperino sul tavolo, come nulla fosse.
Fomenko-Fuchs-Gantmacher: Homotopic Topology. Non sono certo un esperto di topologia omotopica, né posso dire di aver imparato molto sfogliando questo libro. Letto, per studiarlo, per davvero, mai. Ho guardato le figure. Le figure? Esiste un libro di matematica di ricerca con le figure? Se ve lo chiedete, vuol dire che non conoscete Fomenko. Fomenko è un professore russo di Geometria Differenziale e, come tutti i russi che si sono occupati di geometria, sembra essere stato travolto da un furore matematico che lo ha spinto a occuparsi di argomenti di ricerca diversissimi tra loro e scrivere con una prolificità imbarazzante: sistemi integrabili, superfici minime, geometria simplettica, topologia delle varietà di dimensione bassa. Nei suoi tanti anni da professore alla famosa Lomonossov di Mosca è stato direttore di tesi di una miriade di studenti, alcuni dei quali diventati a loro volta famosi. Della sua bellissima trilogia di Geometria Contemporanea parlerò a parte. Ma questo è stato il primo libro che ne ha rivelate le doti di disegnatore. Il libro, più che avere figure che spiegano i teoremi che contiene, risulta essere un vero e proprio libro illustrato. Il che per un libro di matematica avanzato, peraltro edito da un fantastico editore ungherese negli anni ’50, è sufficientemente bizzarro. Le illustrazioni, poi, sono disegni che trasfigurano la visione di oggetti topologici e geometrici in un mondo a cavallo tra fantascienza e surrealismo, un modo in cui prendono vita le sfere cornute di Alexander e le successioni spettrali, i palazzi, il cobordismo, la teoria delle ostruzioni. Immagini in cui gli uomini erano piccoli e le costruzioni che li circondavano enormi, mondi che spaventavano per la vastità dei loro orizzonti e la ricchezza delle loro forme. Parte di quelle
immagini sono confluite in una altro libro di Fomenko, Mathematical Impressions, tutto dedicato ai suoi disegni e che sfoglio a volte con la stessa vertigine di allora. Il libro me lo aveva passato un professore della mia università, cui sempre sarò grato, perché riteneva non a torto che dovessi ampliare le mie conoscenze in questi campi della Geometria. Ci lottai per un po’ ma troppo di quella Topologia Omotopica andava in una direzione che non capivo. Non capivo le domande da cui muoveva quel libro e l’ispirazione che lo guidava. Restavo semplicemente ipnotizzato a guardare quelle fantastiche figure. Le figure che avevo in mente io, quando studiavo, erano più semplici, meno ispirate. Ma più calde e più umane ai miei occhi. Forse, per la prima volta, in questo libro ho ritrovato le sensazioni di chi dice che la matematica è una scienza fredda, ho incontrato il freddo della precisione dell’algebra abbinato al freddo della patologia. In quei soli pallidi, sfocati, laterali, in quelle ombre sempre lunghe e allucinate, ho visto quasi un abisso di follia. Sarà un caso, mi dico, che anni dopo l’autore sembra essersi avviato lungo il mondo dai confini sfumati delle teorie pseudoscientifiche, inventando una propria surreale storiografia, la Nuova Cronologia, che spazza via ciò che conosciamo del mondo antico. Teoria arrivata a convincere anche lo scacchista Kasparov, ma che sembra possibile, a rifletterci bene, solo nel suo pallido mondo immaginario. 
Northcott: Multilinear Algebra. “Ciavete dee domande?” Così, con accento romano, invariabilmente, iniziava e si terminava ogni lezione del corso di Fisica II. Cosa che ci gettava nel più totale sconforto: altro che una domanda, non capivamo nulla! È per questo che a distanza di anni ricordo bene l’inizio di una lezione, poteva essere la sesta o la settima, in cui io a questo interrogativo reagii alzando il braccio, prima volta che in un’aula universitaria avevo il coraggio di espormi e farne una io, di domanda. Altri avevano più coraggio di me e chiedevano. Io di solito capivo; quando non capivo davo a me la colpa e ci ritornavo su da solo fino a che non avevo capito. Però da un mese circa, dalla prima lezione, sbattevo il muso su di un dubbio. D’accordo, tutta quella relatività speciale per essere scritta aveva bisogno dei tensori. Però un tensore, lui, cosa diavolo era? E proprio così, diretta, la posi al professore la mia domanda. Si, dunque, un tensore cos’è? La sua risposta, probabilmente un po’ sconsolata, non mi aiutò affatto. Un tensore è una cosa con degli indici in alto e in basso che fanno così e cosà. Va bene, pensavo sconsolato anche io ascoltando la risposta, ma una cosa di che tipo, quale cosa? Insomma: il problema era ontologico. Il dubbio restò e superai l’esame di Fisica II sentendomi un truffatore: sapevo spostare in alto e in basso gli indici di quei tensori ma non sapevo che cosa diavolo fossero. Ci volle ancora qualche anno, fino a che incontrai questo libricino, note di un corso di algebra inglese, pubblicate nell’inconfondibile azzurrino della Cambridge University Press. Ognuno di noi ha, evidentemente, una strada possibile e non altre per imparare alcune nozioni che altrimenti gli restano ostiche. Queste pagine, in cui la matematica ha proprio la stessa consistenza di una discussione a un tavolo da tè con un impeccabile lord britannico, furono quelle necessarie a me per svelare il mistero dei tensori, a suon di proprietà universali e non di indici, a furia di proprietà algebriche tanto ben delineate da essere ripetitive, a suon di capitoli in cui uno dopo l’altro lo schema logico si ripete in maniera tanto prevedibile da diventare quasi noiosa. Molto più tardi, grazie a colleghi fisici con cui ancora collaboro, imparai ad apprezzare anche la pratica ginnastica degli indici e, orribile a dirsi, la convenzione di Einstein. Ma conservo la memoria della lettura di queste pagine come lo sciogliersi di un nodo che mi ero portato dietro, con un certo rancore, sin da quel mio alzare la mano, da quella domanda non risposta, non per me almeno. Una soddisfazione quasi postuma.
Vitali–Sansone: Funzioni di variabili reale. Per molti anni ho avuto l’inguaribile vizio di infilare (almeno) un libro di matematica in ogni bagaglio che mi accompagnasse. Ora lo considero quasi un vizio da estirpare e cerco spesso di resistere alla tentazione di mettere un corposo volume di topologia algebrica tra le ciabatte e i costumi da mare, o gli atti di un convegno a fianco dei pantaloni da sci. Per anni non mi sono fatto nessuno scrupolo, e per questo motivo ho finito per leggere, a volte solo sfogliare, in qualche occasione proprio studiare, testi di matematica nei posti meno probabili. Questo libro, poi, già di suo nasceva in modo un po’ strano. Come scritto a matita in seconda di copertina, con una grafia di altri tempi, questo era uno dei libri di testo di mia zia, studentessa universitaria di Fisica e Matematica nell’immediato dopoguerra all’Università di Firenze, iscritta a qualche anno dal diploma liceale, per via della guerra, e mai capace di terminare gli studi per via della povertà, della morte di mia nonna, delle disgrazie di una famiglia tra tante che sotto i bombardamenti aveva perso tutto tranne la dignità. Alla sua morte non ero ancora uno studente universitario di Matematica e questo libro era rimasto in uno degli scatoloni ammucchiati nel suo appartamento. Solo qualche anno dopo lo avevo scoperto, con l’emozione di chi, nel frattempo, aveva imparato a leggere un testo che iniziava con la definizione di funzioni a quadrato sommabile. D’altra parte, non essendo accostabile a un libro di testo di nessuna delle mie materie, non potevo certo leggerlo nel periodo dello studio. Quindi, in piena estate, libero da esami, questo libro era finito nella sacca arancione che conteneva biancheria, costumi, ma anche maglioni e cerata, destinazione Jugoslavia, ancora tutta intera, per una crociera a vela. Poi, dopo una traversata Pesaro-Zara fatta di giorno, sferzata da uno scirocco contrario che ci aveva obbligato a un unico lunghissimo bordo di bolina, con onde e spruzzi e tutto il resto, e un ormeggio notturno fatto a vela per via di un’avaria al motore che ci avrebbe tormentato per l’intera vacanza, traversata durante la quale il libro se n’era rimasto dentro una sacca cerata, aveva finalmente trovato il suo posto a fianco del tavolo da carteggio, tra i portolani e qualche romanzo. Non voglio dire che nei venti giorni che seguirono questa sia stata una lettura costante e agevole. A volte, dopo una giornata di tuffi e immersioni, di ore al timone, di panni stesi ad asciugare, non sentivo nessuna voglia di isolarmi in queste pagine ingiallite e dedicarmi agli sviluppi in serie di funzioni ortogonali. Altre volte, però, magari durante un lungo trasferimento sotto spinnaker, quando al timone stava qualcun altro e non restava altro da fare che sdraiarsi all’ombra e godere del vento e del caldo e del rumore dell’acqua, mi infilavo in queste pagine e gustavo il retrogusto antico di questa matematica, esposta in un modo che risentiva del passare degli anni, ma in cui si riconosceva il piacere di parlare di funzioni con una terminologia squisitamente geometrica, libro antesignano di quell’approccio all’analisi funzionale che, in un libro la cui prima edizione è del ’34, doveva allora risultare inusitatamente moderno. In una lingua straordinariamente datata, invece. Così, posto un valore di epsilon in guisa che… e riconosciuta l’importanza dei polinomi del Legendre, io mi divertivo a saltabeccare di pagina in pagina tra l’integrale di Stieltjes e le serie di Tchebichef, senza la necessità di comprendere i dettagli ma solo il piacere di effettuare un doppio esercizio di traduzione, da quella lingua alla mia lingua, da quella matematica alla mia matematica. Fu un compagno divertente e un ricordo piacevole, anche se velato dalla malinconia delle sue origini, dal dispiacere di non aver mai potuto parlare di quel libro, di quelle formule, con mia zia cui quelle pagine, per averle conservate più di quarant’anni, dovevano certo rievocare momenti imperdibili della sua esistenza. (2-continua?)
