Risposte ai problemi di Archimede EUREKA del numero 4/2016

On April 10, 2017

Pubblichiamo in tre pdf separati (e scaricabili) le risposte pervenuteci ai questi di Archimede EUREKA del numero di Archimede 4/2016, a cura di Massimo Gobbino.

Problema 411

Il punto fondamentale in questa equazione diofantea è che l’esponente del termine a destra è coprimo con tutti gli esponenti a sinistra. In questi casi è possibile ottenere una soluzione (anzi infinite soluzioni, come si vede facilmente) con il procedimento seguente:

- si scelgono a caso dei valori di a, b, c, d, e,

- si calcola la somma S a sinistra, che in generale non sarà una potenza settima,

- moltiplicando tutto a destra e sinistra per un’opportuna potenza di S si riesce a trovare una soluzione: per questo basta che l’esponente scelto sia multiplo di tutti gli esponenti a sinistra e congruo a -1 modulo l’esponente a destra. L’esistenza di un tale esponente è assicurata dal teorema cinese del resto.

Problema 412

Classica applicazione dei vettori, come emerge da tutte le soluzioni pervenute.

Problema 413.

Questo problema è un caso particolare di un risultato molto più generale. Consideriamo infatti i due seguenti fatti noti:

- la circonferenza che passa per i punti medi dei lati è la circonferenza di Feuerbach,

- l’omotetia con centro nell’ortocentro e fattore 1/2 manda la circonferenza circoscritta nella circonferenza di Feuerbach.

Da questi due fatti segue che il punto medio di *ogni* segmento che congiunge l’ortocentro con la circonferenza circoscritta sta sulla circonferenza di Feuerbach.

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