Vi propongo un gioco: lanciamo una moneta (onesta) più volte: se compare per prima la sequenza Croce-Croce-Testa vincete 16 euro, se compare prima la sequenza Testa-Croce-Croce perdete 8 euro. Accettate?
La risposta... Non cliccate qui se non ci avete pensato! Poi è troppo tardi!
I primi due lanci della moneta possono essere (con pari probabilità):
Testa-Testa
Testa-Croce
Croce-Testa
Croce-Croce.
Nei primi tre casi, Testa-Croce-Croce ha possibilità di comparire prima di Croce-Croce-Testa, visto che Testa-Croce-Croce deve cominciare con Testa; solo l’ultima sequenza ha la possibilità di far comparire prima Croce-Croce-Testa. Quindi, la vostra probabilità di vittoria è solo una su quattro, e il vostro guadagno atteso sarà: 1/4 x 16 – 3/4 x 8 = -2. No, non vi conviene.
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
Dopo i primi tre lanci, CCT e TCC hanno la stessa probabilità: 1/8 ciascuna.
Dopo 4 lanci, delle 6 configurazioni possibili (CCC, TTT, TTC, TCT, CTT, CTC):
– in una vince CCT, cioè CCCT
(perché TCCT avrebbe già fatto vincere TCC al terzo lancio)
-in due vince TCC, cioè CTCC e TTCC.
Guardando solo le nuove vittorie al 4° lancio, TCC è avanti 2 a 1
(…ma non basta: restano molte configurazioni da considerare).
Dopo 3 lanci senza vittoria, TCC diventa più probabile di CCT.
Se dopo 3 lanci nessuno ha vinto, restano solo 6 casi possibili.
Di questi:
– solo CCC porta prima a CCT
– tutti gli altri 5 portano prima a TCC.
Partendo da CCC, basta aspettare il primo T perché vinca CCT.
Negli altri cinque casi, prima o poi, compare TCC prima di CCT.
Quindi, sapendo che ai primi 3 lanci non ha vinto nessuno:
– P(CCT) = 1/6
– P(TCC) = 5/6.
Facendo il conto completo:
– ai primi 3 lanci: P(CCT) = 1/8 e P(TCC) = 1/8
– nei restanti: 1 – 1/8 – 1/8 = 3/4 dei casi, nessuno ha ancora vinto.
In questi casi:
– P(CCT) = 1/6
– P(TCC) = 5/6.
Perciò:
– P(CCT) = 1/8 + (3/4)*(1/6) = 1/8 + 1/8 = 1/4
– P(TCC) = 1/8 + (3/4)*(5/6) = 1/8 + 5/8 = 6/8 = 3/4.
In media perdo 2 euro a partita: (1/4)16 – (3/4)8 = 4 – 6 = -2.
Perdendo con TCC 8 euro, dovrei guadagnare 24 euro con CCT
(con CCT dovrei guadagnare il triplo di quanto perdo con TCC).
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Dopo i primi tre lanci, CCT e TCC hanno la stessa probabilità: 1/8 ciascuna.
Dopo 4 lanci, delle 6 configurazioni possibili (CCC, TTT, TTC, TCT, CTT, CTC):
– in una vince CCT, cioè CCCT
(perché TCCT avrebbe già fatto vincere TCC al terzo lancio)
-in due vince TCC, cioè CTCC e TTCC.
Guardando solo le nuove vittorie al 4° lancio, TCC è avanti 2 a 1
(…ma non basta: restano molte configurazioni da considerare).
Dopo 3 lanci senza vittoria, TCC diventa più probabile di CCT.
Se dopo 3 lanci nessuno ha vinto, restano solo 6 casi possibili.
Di questi:
– solo CCC porta prima a CCT
– tutti gli altri 5 portano prima a TCC.
Partendo da CCC, basta aspettare il primo T perché vinca CCT.
Negli altri cinque casi, prima o poi, compare TCC prima di CCT.
Quindi, sapendo che ai primi 3 lanci non ha vinto nessuno:
– P(CCT) = 1/6
– P(TCC) = 5/6.
Facendo il conto completo:
– ai primi 3 lanci: P(CCT) = 1/8 e P(TCC) = 1/8
– nei restanti: 1 – 1/8 – 1/8 = 3/4 dei casi, nessuno ha ancora vinto.
In questi casi:
– P(CCT) = 1/6
– P(TCC) = 5/6.
Perciò:
– P(CCT) = 1/8 + (3/4)*(1/6) = 1/8 + 1/8 = 1/4
– P(TCC) = 1/8 + (3/4)*(5/6) = 1/8 + 5/8 = 6/8 = 3/4.
In media perdo 2 euro a partita: (1/4)16 – (3/4)8 = 4 – 6 = -2.
Perdendo con TCC 8 euro, dovrei guadagnare 24 euro con CCT
(con CCT dovrei guadagnare il triplo di quanto perdo con TCC).