C’è un gesto che chiunque abbia giocato a un gioco da tavolo ha compiuto centinaia di volte senza pensarci: si tira un dado a testa, chi fa il numero più alto comincia. Se due fanno lo stesso numero, si ritira. Fine del problema, o almeno così pensano tutti, o quasi.

Da quindici anni un gruppo di matematici e informatici sparsi fra Stati Uniti, Australia e Canada considera quel piccolo nuovo lancio una scorrettezza da eliminare. Dopo anni, sono riusciti a dimostrare che un modo equo di procedere è tirare tutti insieme cinque dadi di legno da sessanta facce (ovviamente nel caso di cinque giocatori), dadi grandi poco più di un metro l’uno, esposti nel nuovo complesso scientifico della Auburn University in Alabama.C’è un gesto che chiunque abbia giocato a un gioco da tavolo ha compiuto centinaia di volte senza pensarci: si tira un dado a testa, chi fa il numero più alto comincia. Se due fanno lo stesso numero, si ritira. Fine del problema, o almeno così pensano tutti, o quasi.

Tutto nasce a cena, durante una convention di giochi. Eric Harshbarger, docente al College of Sciences and Mathematics di Auburn, è a tavola con un amico che di mestiere progetta giochi da tavolo. La conversazione cade sul momento più banale di ogni partita, quello di decidere chi comincia, e l’amico gli fa una domanda: tu che fai matematica, non riesci a costruire dei dadi che eliminino il rilancio in caso di pareggio? La richiesta era chiara: un set di dadi che consentano di lanciare tutti insieme una sola volta e di arrivare con certezza, procedendo in modo equo, al vincitore.

Il problema è più complesso di quello che sembra. Serve infatti un insieme di dadi tutti diversi tra loro, uno per giocatore, in cui il pareggio sia impossibile, e fin qui basta che nessun numero si ripeta da un dado all’altro, ma serve anche che nessuno risulti avvantaggiato. E queste condizioni devono valere non solo quando giocano tutti insieme nel numero massimo possibile; nel senso, un set progettato per otto persone deve essere tale che, se ci sono solo cinque giocatori, ciascuno di quei cinque deve avere esattamente una probabilità su cinque di cominciare, tirando il suo dado. I vincoli, in altre parole, devono valere per ogni sottogruppo.

L’idea prende il nome di “Go First dice”, i dadi del “chi va per primo”. Harshbarger chiama allora in causa un vecchio amico, Robert Ford, laureato in matematica ad Auburn e oggi docente al Dalton State College in Georgia. Ford propone rapidamente una soluzione per tre giocatori con dadi normalissimi, ossia la distribuzione dei numeri da 1 a 18 sui tre dadi (ognuno con sei facce).

Il modo naturale di distribuire i numeri è un’alternanza a serpentina: un numero a testa, poi si riparte in senso inverso. Applichiamola a tre dadi da sei facce con i numeri da 1 a 18, da distribuire a tre giocatori A, B, C, otteniamo questa distribuzione.

A: 1, 6, 7, 12, 13, 18

B: 2, 5, 8, 11, 14, 17

C: 3, 4, 9, 10, 15, 16

Nei duelli, i dadi sono perfettamente equilibrati: ciascuno batte ciascun altro esattamente metà delle volte. Lanciando i tre dadi insieme, tuttavia, le sei classifiche possibili non ricorrono in modo uguale.

I tre dadi producono 216 combinazioni distinte diverse (sei possibilità per il primo, moltiplicate per sei del secondo, per sei del terzo). Sono tutti i mondi possibili, e siccome ogni faccia è equiprobabile, contarli equivale a calcolare le probabilità esatte. Ciascuna delle sei classifiche dovrebbe presentarsi 36 volte; invece se ne presentano due 32 volte e quattro 38 volte.

Guardando la distribuzione per posizione (dove il valore equo sarebbe 72) si ha:

          primo    secondo    terzo

A          76        64        76

B          70        76        70

C          70        76        70

Il colpevole di questa situazione è quello che si potrebbe chiamare il “dado lunatico”, quello consegnato ad A: la serpentina gli dà entrambi gli estremi assoluti, l’1 e il 18. A C tocca la sorte opposta: si ritrova i due valori più centrali di tutti, il 9 e il 10.

Un dado lunatico così o va benissimo o va malissimo. Se tiraste mille volte questi dadi, chi ha in mano il dado lunatico comincerebbe per primo una trentina di volte in più degli altri.
L’unico livello a cui questi dadi risultano davvero equi è il duello: uno contro uno, ciascuno batte ciascun altro esattamente 18 volte su 36 combinazioni possibili.

Qui sta la prima sorpresa: l’equità a coppie non garantisce l’equità in gruppo. Si possono avere tre concorrenti che negli scontri diretti sono perfettamente pari e scoprire che, messi a tirare insieme, il primo posto risulta assegnato in modo sbilanciato.

Matematicamente, i tiri uno contro uno e quelli contemporanei di gruppo rappresentano due problemi diversi.

Le soluzioni esistono, ma sono rare: le distribuzioni opportune dei 18 numeri, in tre gruppi da sei che rispettino i due requisiti, sono solo 11 su tre milioni possibili.

Con tre dadi un computer tira fuori queste soluzioni in un secondo.
Allargandosi a quattro non è più così immediato, ma è ancora alla portata di un computer: Harshbarger ha scritto un programma per verificare in modo esaustivo se quattro dadi da sei facce possano funzionare, e in una settimana circa ha avuto la risposta: no.

Harshbarger e Ford hanno provato così con quattro dadi dodecaedrici, con i numeri da 1 a 48 spalmati sulle quarantotto facce complessive, arrivando a una soluzione valida: nessun pareggio, equità, e la cosa funzionava non solo in quattro ma anche in tre e in due.

Nel 2012, il Guardian ha scritto di questo risultato, e Harshbarger si è messo a realizzare i set di dadi da sé, inviandone centinaia in giro per il mondo, finché non se n’è occupato un vero fabbricante di giocattoli.

Risolto il caso di quattro, doveva essere affrontato quello di cinque giocatori. E qui non ci sono volute settimane ma anni.

Il problema non era verificare se una configurazione funzionava, operazione che un computer fa in un lampo, ma individuare la soluzione in mezzo alle altre, che Harshbarger ha calcolato arrivare a superare il numero di atomi dell’universo.

Restava, in sostanza, un universo intero da esplorare. Nessuna brute force poteva bastare: serviva che la matematica restringesse il campo individuando regolarità e simmetrie, e che i programmi lavorassero solo dentro una ritagliata porzione.

Le soluzioni per cinque giocatori arrivano piuttosto presto, ma sono inservibili. Alcune sfruttano una scoperta interessante, i dadi di un set non sono nemmeno obbligati ad avere lo stesso numero di facce, ma proprio per questo risultano impraticabili: dadi tutti diversi e nell’ordine delle centinaia di facce sulla carta reggono, nella realtà non si costruiscono (né si lanciano). C’è poi un problema più sottile e tutto umano: un set in cui ogni dado ha un numero di facce diverso sembra truccato anche quando non lo è.

Si arriva così a cinque dadi identici da 120 facce, di cui vengono realizzati anche alcuni esemplari in alluminio. Funzionano. Ma il gruppo continua a cercare.

Nell’aprile del 2023 il canadese Paul Meyer incappa in un video di Numberphile di James Grime dedicato al problema. Non è un matematico di professione: è un ingegnere del software, e nell’impostazione della questione riconosce una ricerca computazionale su cui gli viene voglia di scrivere un algoritmo.

Pochi mesi dopo scrive a Harshbarger. Ha trovato un set di cinque dadi da 60 facce che soddisfa tutti i criteri matematici e, cosa decisiva, si può fabbricare e usare. Sono quasi rotondi e prima di fermarsi se la prendono comoda, ma funzionano. Dopo una dozzina d’anni di caccia, il problema è chiuso.

Il metodo di Meyer non era stato calcolare di più, ma calcolare di meno: individuare le regolarità ricorrenti nelle soluzioni già note, usarle per ritagliare una porzione minuscola dello spazio, e solo lì lanciare la ricerca a forza bruta.

Un conto elementare dice che i 60 potrebbero non essere il minimo. Con cinque dadi da n facce gli esiti possibili sono n alla quinta, e devono dividersi in parti esattamente uguali fra le 120 classifiche possibili. Perché la divisione torni, n deve essere multiplo di 30. Trenta è quindi il più piccolo valore non escluso in partenza; 60, la soluzione di Meyer, è il secondo.

Nessuno ha mai trovato un set da 30 facce che soddisfi i requisiti, anche se nemmeno ha dimostrato che non esista.

La frontiera successiva è il gioco a sei giocatori. Si sa già che un set da 360 facce funziona già, ma è un oggetto puramente concettuale. Per trovarne uno materialmente realizzabile, sospetta Harshbarger, serviranno computer quantistici o intelligenza artificiale.

Non tutti sono persuasi che quella delle sessanta facce sia davvero una conquista. Bernhard von Stengel, della London School of Economics and Political Science, che al lavoro non ha partecipato, osserva che il passaggio dalla teoria alla pratica è tutt’altro che scontato: un dado da 60 facce deve essere fabbricato con precisione notevole e resistere all’usura per garantire l’equità. E a quel punto, conclude, tirare dadi normali e ritirarli in caso di pareggio resta semplicemente più comodo.

Chiusa la caccia, Harshbarger ha fatto l’unica cosa sensata: ha costruito i dadi: cinque poliedri di legno da sessanta facce ciascuno, con ognuno di poco più di un metro di diametro, destinati al nuovo STEM + Agricultural Sciences Complex di Auburn, un edificio da 224 milioni di dollari nei cui piani era prevista fin dall’inizio la presenza visibile della matematica. Il primo dado è di pino, ed era solo una prova. Poi sono arrivati di noce e di mogano. Ognuno ha richiesto circa un mese di lavoro. Dove finiranno esattamente non è ancora deciso.