Una nuova mini-serie, fatta di video e articoli, di Alessandro Zaccagnini, matematico, esperto di teoria dei numeri, autore del Dialogo sui numeri primi. Questa volta si fa accompagnare da una tartaruga per raccontarci cosa sono le somme esponenziali e perché sono tanto utili nella sua disciplina. Questa è la puntata di presentazione. Tutte le puntate le trovate su questa pagina.

Introduzione

Ho avuto molte volte l’opportunità di parlare di Congetture in Teoria dei Numeri, qualche volta in occasione della soluzione di qualche problema aperto, magari da secoli. Spesso mi dicono che sono fortunato a lavorare con i numeri primi, perché per me è “facile” parlare al grande pubblico dei nostri problemi e, piú raramente, della loro soluzione. Questa volta è meno facile del solito perché la Congettura di Patterson riguarda una questione interessante ma estremamente tecnica. Potrei dunque rinunciare a raccontare qualcosa sull’argomento, ma invece ho deciso di raccogliere la sfida che mi è stata proposta.

La congettura di Patterson riguarda alcune particolari somme esponenziali, uno strumento ubiquo in Teoria dei Numeri. Rappresentano un concetto unificante e hanno un’infinità di applicazioni ai problemi piú disparati, ma per fortuna possono essere visualizzate in modo abbastanza semplice. Infatti, non sono altro che somme di vettori unitari nel piano, cioè vettori di lunghezza uguale ad 1, scelti seguendo un’opportuna regola che varia da applicazione ad applicazione. Cominciamo con un discorso piuttosto informale nelle prime puntate; quando poi passeremo ad una formalizzazione, sarà comodo pensare a questi vettori come punti sulla circonferenza unitaria nel piano complesso \(\mathbb{C}\), cioè numeri complessi di modulo 1.

Nelle prime puntate di questa serie vedremo cosa succede partendo da un dato vettore unitario, ruotandolo di un angolo fissato una volta per tutte, avanzando lungo questo vettore ed iterando questo procedimento. In questo caso, l’angolo totale dopo \(n\) passi è una funzione lineare di \(n\), cioè un monomio di primo grado. Esamineremo in dettaglio i vari casi possibili, poi ci rivolgeremo al caso in cui l’angolo totale dopo \(n\) passi è un monomio di secondo grado in \(n\): si tratta delle somme di Gauss, introdotte e studiate all’inizio dell’Ottocento. Rimandiamo al luogo opportuno la definizione e le proprietà di questo importante strumento.

Concluderemo con le somme cubiche, in cui l’angolo totale è un monomio di terzo grado in \(n\). Recentemente è stata dimostrata la Congettura di Patterson, che riguarda appunto queste somme: ne parleremo nell’ultima puntata.

La differenza fondamentale fra monomi di grado 2 e 3 è ben visibile, in senso stretto. Prima lo stesso Gauss e poi piú in generale Dirichlet hanno calcolato il valore esatto delle somme di grado 2, e vedremo che queste cadono in quattro famiglie e che il comportamento è comunque molto simile tra una famiglia e l’altra. Le spirali del nostro titolo si riferiscono, appunto, ai grafici delle somme di Gauss che ne contengono due ciascuno.

Il caso delle somme cubiche è estremamente interessante, dal punto di vista grafico, perché incontreremo una grandissima varietà di disegni molto diversi fra loro. Ne riprodurremo solo alcuni, ma lasceremo le istruzioni per disegnarne altri e ne suggeriremo alcuni che ci sono parsi particolarmente belli.

Ci faremo guidare da un insolito compagno di viaggio: una tartaruga.

Come ottenere questo disegno? Sveleremo il mistero nell’ultima puntata della serie! Per il momento possiamo solo dire che la risposta non è 42, questa volta.

Non è difficile riprodurre tutte le figure di questa serie, e molte altre ancora, utilizzando il linguaggio logo, usato per insegnare i rudimenti di programmazione ai bambini. Si tratta di un ambiente grafico nel quale c’è una tartaruga alla quale possiamo dare sequenze di istruzioni che permettono di creare disegni anche molto complessi, come vedremo piú avanti. Nelle varie puntate forniremo i “programmi” in logo che si possono usare per riprodurre i nostri disegni e farne molti altri.

Alessandro Zaccagnini