La dinamica di evoluzione di una popolazione può essere talvolta complessa. Così come la matematica da utilizzare. È il caso dei topi delle Svalbard e il modello di Yoccoz-Birkeland. Ce ne parla Marco Menale.

Dal 15 novembre 2022 siamo in 8 miliardi sulla Terra. E la crescita non si arresta, seguendo il “World Population Clock” della UNFPA. Il miglioramento generale delle condizioni di vita, un più ampio accesso a cibo e farmaci pone il traguardo dei 10 miliardi entro la fine del secolo. E la curva demografica cresce, seppure rallentata rispetto al passato,  in accordo con il modello logistico. Ma non accade lo stesso per tutte le specie. Per alcune c’è un ciclico rischio di estinzione e servono modelli demografici più complicati. È il caso dei topi delle Svalbard.

“Microtus epiroticus”, è questo il nome esatto di questi topi delle Isole Svalbard. È un arcipelago norvegese nel Mare Glaciale Artico. Ed è la terra abitata più a nord della Terra. Con inverni a -40° la vita per questi topolini non è certo semplice. Tra gli altri, c’è il problema della riproduzione che può avvenire in estate con una temperatura di 4°-5°. Sono pochi i posti riparati in cui le coppie possono accoppiarsi e le femmine partorire i cuccioli. Dunque se aumenta il numero di femmine in età fertile, il numero di questi posti si riduce ulteriormente. Tuttavia il vantaggio di questi topolini è la scarsità di predatori a quelle latitudini. Per questi motivi la curva demografica mostra delle forti e irregolari oscillazioni. Ci sono picchi ogni 4-5 anni, seguiti da periodi di crollo, quasi prossimi all’estinzione.

Alla causa dei topi delle Svlabard si interessa negli anni Novanta il biologo Nigel Gilles Yoccoz. Studia popolazioni animali a latitudini estreme. Osservando i dati demografici di questi topi (qui per i dettagli) resta colpito dalle strane oscillazioni. E si chiede se sia solo causa del freddo oppure se ci fosse un qualche particolare meccanismo del freddo a incidere sull’età fertile delle femmine. Questo perché le femmine possono partorire esclusivamente in estate e quindi l’età della fertilità deve essere raggiunta nel più breve tempo possibile.

E qui entra in gioco la matematica. Yoccoz si rivolge al fratello, e che fratello. È il matematico francese Jean-Christophe Yoccoz, medaglia Fields nel 1994. Formula un “modello giocattolo” per descrivere il problema.

Sia \(a>0\) la variabile reale che esprime l’età in anni dei topolini, e \(t\) il tempo, espresso in anni. \(N(t)\) è il numero di femmine fertili all’istante \(t\). \(r(N(t))\) è il tasso di riproduzione di femmine in funzione della popolazione \(N(t)\). \(m_{\rho}(t)\) è un parametro stagionale e fornisce la frazione di femmine che si riproducono al tempo \(t\). Infine \(S(a)\) è la frazione di femmine neonate ancora vive all’età \(a\).

In particolare \(r(N(t))\) misura il numero medio di femmine che una singola femmina può partorire in condizioni ottimali quando le femmine fertili sono \(N(t)\). Date le osservazioni biologiche, \(r(N(t))\) è una funzione decrescente di \(N(t)\). Infatti più sono le femmine in età fertile, più è alta la competizione per riprodursi e trovare un posto riparato per i cuccioli.

Dalle ipotesi biologiche, il numero di femmine di età compresa nell’intervallo \([a,\, a+da]\) all’istante \(t\) è:

\[\begin{equation}\label{eq1}
N(t-a)r(N(t-a))m_{\rho}(t-a)S(a)da. \qquad (1)
\end{equation}\]

Rileggiamo intuitivamente la \((1)\). I primi tre termini forniscono la frazione di femmine fertili che si riproducono partorendo altre femmine. Questa frazione è moltiplicata per \(S(a)\) che tiene conto della frazione di femmine ancora in vita all’età \(a\). Infine moltiplichiamo questo numero per l’ampiezza \(da\) dell’intervallo considerato \([a,\, a+da]\).

A questo punto il modello di Yoccoz-Birkeland  fornisce il numero totale di femmine fertili all’istante t:

\[N(t)=\int_{A_0}^{A_1} N(t-a)r(N(t-a))m_{\rho}(t-a)S(a)\,da, \qquad (2)\]

dove \(A_0\) è l’età alla quale le femmine diventano feritili e \(A_1\) è l’età massima per le femmine.

Il modello di Yoccoz-Birkeland \((2)\) è un’equazione integrale, infatti l’andamento demografico non prevede il calcolo di una variazione a partire da una condizione iniziale. Ma si tratta di un modello più complesso di sviluppo demografico (applicato anche in economia). E prevede anche un comportamento caotico.

Insomma, il caso dei topi delle Svalbard mostra come la dinamica delle popolazione può essere molto complessa. Così come la matematica da utilizzare.