Pubblichiamo in tre pdf separati (e scaricabili) le risposte pervenuteci ai quesiti di Archimede EUREKA del numero di Archimede 1/2017, con commenti a cura di Massimo Gobbino. Con questi tre problemi si è conclusa la collaborazione di Massimo Gobbino con Archimede.  Un grazie per tutti questi anni di preziosa collaborazione!

Problema 414

Il problema ricorda molto un grande classico, e cioè la dimostrazione che ogni numero naturale si può scrivere come somma di numeri di Fibonacci distinti. Il punto fondamentale è sempre lo stesso: si tratta di dimostrare che tra x e 2x c’è sempre almeno un numero del tipo specificato. A quel punto si conclude in modo standard per induzione estesa. Molte delle soluzioni pervenute seguono questa via.

In questo caso specifico funzionava anche una dimostrazione induttiva basata sulle classi di congruenza modulo 3.

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Problema 415

Il numero n richiesto è la metà del numero iniziale di studenti. L’idea fondamentale per arrivare ad una soluzione è che, presentando all’insegnante tutti i terzetti che hanno 2 studenti A e B in comune, o si riesce ad individuare l’ordine tra A e B, oppure A e B sono consecutivi.

Ovviamente occorre ricordarsi che le cose da dimostrare sono due: che un gruppetto da 15 si può comunque individuare, e che può accadere che meglio di 15 non si possa fare.

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Problema 416

Le osservazioni fondamentali per arrivare alla soluzione sono che il punto P è l’intersezione tra due circonferenze (quella di centro N e raggio AN, e quella di centro C e raggio BC), e che l’uguaglianza di angoli indicata è equivalente al fatto che AP è tangente alla circoscritta a BMP.

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