di Nicola Ciccoli

“Scoperta una nuova forma geometrica” titolava qualche giorno fa un articolo comparso, con poche variazioni, nella sezione scientifica dei principali quotidiani italiani, con un’enfasi proporzionale allo scetticismo che un tale titolo ha immediatamente suscitato nei matematici di professione. Nuova forma geometrica? Come se, tra varietà algebriche e differenziabili, orbifold e spazi topologici, foliazioni e politopi, non ci fosse già a disposizione l’armamentario per analizzare una qualunque forma.

La lettura dell’articolo originale evidenzia ambizioni al tempo stesso più contenute e più fruttuose: descrivere un processo dinamico di formazione di semieliche periodiche a partire da bandelle elastiche di materiali diversi. Un processo di costruzione della forma per comprendere il quale bisogna infilare la porta di accesso di uno strano mondo che tiene assieme oggetti fisici, quali i cavi del telefono e le palline da tennis, e invarianti geometrici come la curvatura e il numero di intrecciamento.

Per spiegare che genere di curva sia una semielica, e come si può generare, descriviamo anzitutto cos’è un’elica, o meglio una curva elicoidale. Si tratta di una curva nello spazio che mentre si avvolge su se stessa in spire circolari, avanza a ritmo costante lungo una retta che ne costituisce l’asse. Una molla, la filettatura di una vite, il bordo esterno di una scala a chiocciola, il cavatappi sono tutte curve elicoidali che possiamo osservare nella vita quotidiana. Le curve elicoidali hanno la proprietà di avere due caratteristiche geometriche, la curvatura e la torsione, costanti. Questo garantisce che un filamento di materiale elastico tenda, naturalmente, a disporsi lungo una forma a elica. Ogni curva a elica ha uno specifico verso di rotazione (o, come si dice, una chiralità ). Se la nostra curva a elica non è un oggetto matematico astratto, ma un oggetto concreto, un cavo, avrà certamente un certo spessore. Questo spessore è responsabile, a causa dell’energia di attorcigliamento (twisting), del fenomeno che produce le semieliche.
Può capitare, infatti, che due curve elicoidali con verso di rotazione opposto siano collegate da un tratto quasi rettilineo. E’ un fenomeno che si può osservare con facilità e prende il nome di perversione elicoidale. Quante volte ci è capitato che un filo del telefono a spirale prendesse una strana piega al centro? Una semielica, la “nuova forma” di cui si vuole parlare, non è nient’altro che un cavo disposto come una curva chiusa elicoidale (cioè un’elica richiusa su se stessa) che sviluppa, al suo interno, un certo numero di perversioni elicoidali, cioè di pieghe in cui cambia il verso di rotazione delle spire.

Le semieliche sono filamenti chiusi che si avvolgono a spirali elicoidali ma che contengono un certo numero (non nullo) di perversioni elicoidali. Come si possono formare? L’articolo scientifico di cui abbiamo parlato all’inizio si occupa proprio di questo. Come è possibile costruire dei filamenti che tendono naturalmente a disporsi lungo una semielica? Si parte con due strisce di elastico di lunghezza differente. Si allunga il più corto, tendendolo fino a portarlo alla stessa lunghezza dell’altro, dopo di che le due strisce si incollano tra di loro e se ne incollano le estremità chiudendole. Poi questa doppia striscia viene lasciata libera di muoversi. L’elastico più corto, nel tentativo di accorciarsi, imprime una torsione all’intero filamento. E’ sotto l’azione di questo filamento che si possono produrre delle pieghe, si avvolgono delle spire elicoidali e, infine, si formano delle perversioni. A determinare esattamente il tipo di forma che si ottiene è il rapporto tra la lunghezza e l’altezza di uno dei due elastici e, in misura minore, la differenza delle lunghezze. Può anche capitare che a valori uguali di questi numeri corrisponda più di una situazione possibile (siamo cioè in presenza di biforcazioni della dinamica dei filamenti elastici). Anche in questo caso succede che le semieliche hanno energia totale maggiore di quella delle eliche e crescente al crescere del numero delle perversioni (sono stati fatti esperimenti che arrivano a ottenere fino a 11 perversioni sullo stesso filamento). Le perversioni, una volta create, intrappolano il filamento in una zona di energia maggiore e non si possono cancellare se non con l’intervento di una forza esterna. Ancora più interessante è il fatto che queste perversioni possiedono una forma di “auto-energia”: una gran parte della energia elastica del filamento si concentra vicino alle perversioni, mentre è uniformemente distribuita in un filamento elicoidale. Questo le porta a respingersi tra di loro e quindi, in ultima analisi, a disporsi a distanze regolari tra di loro lungo il filamento. Ciò crea una vera e propria dinamica delle perversioni, che si muovono avanti e indietro al crearsi di ogni nuova perversione fino a trovare la propria forma di equilibrio. Questo comportamento complesso è in realtà osservabile in parte anche in natura, ad esempio osservando il bordo di alcune foglie di piante o petali di fiori. Non si tratta dunque, come si vede, di una nuova forma , ma di una procedura di morfologia durante la quale forme sempre più complesse vengono costruite.

Nicola Ciccoli è Professore Associato di Geometria presso il Dipartimento di Matematica e Informatica dell’Università di Perugia