Dal punto di vista estetico, la riscrittura come

\[e^{i\pi}+1=0\]

è forse ancora più appagante perché oltre a coinvolgere il numero di Nepero \(e\) , l’unità immaginaria \(i\) , il numero \(\pi\) , vi compaiono l’elemento neutro della somma e quello del prodotto sui numeri complessi, rispettivamente \(0\) e \(1\)  e , e il simbolo \(+\) dell’operazione della somma.

In realtà, l’argomento di cui parleremo più in generale è l’uguaglianza, valida per ogni \(x\) reale,

\[e^{ix}=\cos x+i\sin x. \qquad (2)\]

Utilizzando ancora la categoria dell’estetica, nella ventiduesima lezione del primo volume delle sue “Lectures on Physics” [formula 22.9] il premio Nobel Richard Feymann definì la \((2)\) come “la più bella formula della matematica”.

 

 

A prima vista l’identità \((1)\) può infatti essere considerata una immediata conseguenza di \((2)\) perché basta porre \(x=\pi\) e ricordare che \(\cos\pi=-1\) e \(\sin\pi=0\) per ottenere la prima dalla seconda. Tuttavia, questo approccio richiede una riflessione più approfondita sulla definizione delle quantità in gioco che esamineremo in maggior dettaglio più avanti, dopo aver dato qualche brevissimo riferimento storico.

La formula \((2)\) non è in realtà dovuta a Eulero: è vero che la si ritrova nel primo volume della sua “Introductio inanalysin infinitorum” pubblicata a Losanna nel 1747 (in Figura 2 la si può vedere alla fine del numero 138), ma era già nota al matematico inglese Roger Cotes nella forma

\[\ln(\cos x+i \sin x)=ix.\]

 

 

L’inglese era giunto a questo risultato interessandosi allo studio di varie spirali, fra cui quella logaritmica e quella archimedea; la sua prematura morte gli impedì tuttavia di pubblicarlo e solo 6 anni dopo la sua scomparsa il suo successore sulla cattedra Plumiana, Robert Smith, dette alle stampe una raccolta dei suoi lavori più importanti sotto il titolo di “Harmonia mensurarum”, senza che però la formula \((2)\) avesse un’ampia diffusione.

Senza dubbio gli ingredienti con cui è cucinata la formula \((1)\) sono noti alla maggior parte di coloro che hanno frequentato il liceo scientifico:

• \(e\) viene abitualmente introdotto come limite per \(n\to+\infty\) della successione monotona limitata \((1+\frac{1}{n})^n\);
• \(\pi\) è visto come il rapporto fra lunghezza della circonferenza e il suo diametro, ovvero come la lunghezza della semicirconferenza di raggio unitario;
• le funzioni trigonometriche coseno e seno sono quelle il cui valore nel punto \(x\) è dato rispettivamente dall’ascissa e dall’ordinata dell’intersezione fra la semiretta passante per l’origine che forma con il semiasse positivo delle ascisse l’angolo \(x\) e la circonferenza di centro nell’origine e raggio unitario;
• \(i\) infine è l’unità immaginaria, cioè un numero che gode della proprietà \(i^2=-1\).

Riuscire a dimostrare l’identità di Eulero con queste definizioni è però abbastanza faticoso, in particolare la scrittura \(e^{i\pi}\) non è di immediata comprensione: si tratta di elevare un numero reale (fra l’altro irrazionale, anzi addirittura trascendente) a una potenza di esponente immaginario puro.

Vale allora la pena di cambiare un po’ il punto di vista sulle funzioni e le quantità coinvolte e capire meglio come si comportano in questa nuova veste.

La prima cosa che dobbiamo fare è ampliare il dominio su cui sono definite le varie funzioni coinvolte, passando dai reali ai complessi: esponenziale, seno e coseno possono essere infatti viste come funzioni intere, ovvero funzioni olomorfe definite su tutto il piano complesso.

• Introduciamo allora l’esponenziale come somma della serie di potenze\[e^z=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{z^n}{n!}.\]Non è difficile vedere che il raggio di convergenza della serie è infinito, pertanto la funzione che otteniamo è intera (cioè olomorfa, ovvero derivabile in senso complesso, su tutto \(\mathbb{C}\)) e risolve il problema di Cauchy \(y’=y\) con il dato iniziale \(y(0)=1\).
• In maniera analoga coseno e seno sono rispettivamente definiti dalle somme delle serie di potenze
  \[\begin{align}
  \sin z&=\sum_{n\in\mathbb{N}}(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}, \\\\
  \cos z&=\sum_{n\in\mathbb{N}} (-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}.
  \end{align}\]Sono anch’esse funzioni intere che risolvono l’equazione differenziale del secondo ordine \(y”=-y\); il coseno verifica le condizioni iniziali \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\) mentre il seno soddisfa \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\). Una semplice derivazione per serie garantisce inoltre che la derivata del seno sia il coseno, mentre la derivata del coseno è l’opposto del seno.

Grazie alle definizioni di esponenziale, seno e coseno e al fatto che \(i^2=-1\), si vede facilmente che basta separare nell’esponenziale gli addendi di indice dispari da quelli di indice pari per ottenere la formula di Eulero \(e^{ix}=\cos x+i \sin x\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\).

A voler essere precisi l’uguaglianza \((2)\) vale in realtà per ogni \(x\in\mathbb{C}\) perché le serie di potenze coinvolte convergono per ogni \(x\) complesso; si potrebbe addirittura estendere il loro dominio al cono quadratico di una \(*\)-algebra reale alternante, considerando in particolare \(x\)  come appartenente ad esempio all’algebra non commutativa dei quaternioni  o a quella non associativa degli ottetti di Cayley \(O\).

Con questo approccio, abbiamo visto che la formula \((2)\) è una conseguenza pressoché immediata delle definizioni delle funzioni coinvolte e del fatto che \(i^2=-1\).

Restano però in sospeso due questioni cruciali: il fatto che il seno e il coseno definite tramite le serie di potenze siano effettivamente le funzioni che definiamo in campo reale tramite la consueta costruzione che si fonda sulla circonferenza goniometrica e il passaggio dalla \((2)\) alla \((1)\), cioè la corretta definizione di \(\pi\) e la sua reinterpretazione come rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro.

La prima cosa da fare è provare che coseno e seno verificano quella che spesso viene chiamata prima identità (o relazione) fondamentale della trigonometria:

\((\cos x)^2+(\sin x)^2=1\)

per ogni \(x\) reale (in realtà per ogni \(x\in\mathbb{C}\) grazie al principio di identità). Basta infatti calcolare la derivata della funzione, verificando che è identicamente nulla in quanto \(\cos’ x=-\sin x\) e \(\sin’ x=\cos x\), e valutare la funzione in \(x=0\) per ottenere l’identità fondamentale. Da questa segue immediatamente che sui reali il valore assoluto di coseno e seno non supera mai \(1\), informazione che ci tornerà utile più tardi.

Il secondo punto rimasto in sospeso è quello che affrontiamo per primo: si tratta di dare la definizione di \(\pi\) e di recuperare la sua identificazione come rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il diametro, ovvero come misura della semicirconferenza di raggio unitario.

Indichiamo dunque con \(\pi\) il minimo degli zeri positivi della funzione seno; da questa definizione segue subito che \(\cos\pi=-1\) infatti il coseno è decrescente sull’intervallo \([0,\,\pi]\) perché in tale intervallo ha derivata negativa e dall’identità fondamentale della trigonometria segue che \(\cos\pi\) può valere soltanto \(1\) o \(-1\).

Utilizzando la formula di Taylor con il resto di Lagrange, possiamo stimare il valore di \(\pi\): poiché il seno non supera mai \(1\), sull’intervallo \([0,\,4]\) il resto di ordine \(11\) è maggiorato da \(\frac{4^{11}}{11!}\approx 0.11\); ci basta allora considerare lo sviluppo di ordine \(10\), che ha solo \(5\) addendi, per stabilire che sull’intervallo \([0,\,3]\) il seno è sempre positivo mentre in \(3.3\) è negativo (in particolare il polinomio di Taylor di ordine \(10\) in \(3\) è maggiore di \(0.14\), mentre in \(3.3\) vale circa \(-0.15\)). Queste semplici stime ci garantiscono in particolare che \(\pi\) è compreso fra \(3\) e \(3.3\).

Dalla prima relazione fondamentale segue che \(\gamma(t)=(\cos t,\,\sin t)\) al variare di \(t\in[0,\,\pi]\) è una parametrizzazione della semicirconferenza con centro nell’origine e raggio unitario per lunghezza d’arco (in quanto \(\gamma’(t)=(-\sin t,\, \cos t)\) è un vettore di lunghezza unitaria), pertanto la lunghezza della semicirconferenza di raggio unitario vale \(\pi\) . Per ovvie motivazioni di simmetria, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro vale quindi \(\pi\), permettendoci di ottenere nuovamente con un punto di vista più “adulto” quanto avevamo appreso negli anni delle superiori (o addirittura prima).

Ci rimane adesso da vedere che \(\sin x\) e \(\cos x\) sono effettivamente l’ordinata e l’ascissa del punto ottenuto intersecando la circonferenza goniometrica con la semiretta uscente dall’origine che forma con il semiasse positivo delle ascisse un angolo di \(x\) radianti.

Richiamando la proporzionalità fra lunghezza dell’arco e angolo al centro che insiste su di esso, basta allora verificare che l’arco di circonferenza compreso fra il punto di coordinate \((1,\,0)\) e quello di coordinate \((\cos x,\,\sin x)\) abbia lunghezza \(x\), il che segue immediatamente dal fatto che \(\gamma(t)=(\cos t,\, \sin t)\) al variare di \(t\in[0,\,x]\) ne è una parametrizzazione in lunghezza d’arco.