Il 20 luglio scorso un post del matematico Levent Alpöge su X ha scosso il mondo della matematica: la congettura dello Jacobiano è falsa! Subito dopo, in redazione di MaddMaths! abbiamo ricevuto un messaggio del grande matematico italiano Corrado De Concini che diceva: “Claude Fable 5 ha risolto un problema nella lista di Smale. Questo mette in discussione la natura della nostra professione.” Ma cosa è successo veramente? E perché questa tappa compiuta dai sistemi di intelligenza artificiale è così importante per la matematica? Ce lo racconta Carlo Nitsch che ricostruisce il contesto di questo risultato.

In fatto di progressi dell’intelligenza artificiale applicata alla matematica, la notizia del momento è che Levent Alpöge, con l’aiuto di Fable, ha mandato in frantumi una delle congetture più celebri dell’algebra e della geometria algebrica, nota come congettura dello Jacobiano, trovando quello che in gergo si chiama un controesempio. Le formule sono state controllate da numerosi matematici e hanno già ricevuto anche una verifica formale indipendente.

Ormai i ricercatori sono abituati agli annunci sensazionalistici: da mesi, quasi ogni settimana qualcuno sostiene che l’AI abbia risolto un grande problema aperto. Si pensi, per esempio, ai recenti risultati ottenuti su alcuni problemi di Erdős. Quando la notizia sulla congettura dello Jacobiano ha iniziato a circolare, la prima reazione di molti è stata di scetticismo. «Sarà il solito controesempio», ha commentato qualcuno con un’alzata di spalle.

L’osservazione può sembrare liquidatoria, ma racchiude una verità matematica interessante. Un controesempio è infatti il modo più rapido per dimostrare che un’affermazione generale è falsa. Se qualcuno congettura che tutti i cigni siano bianchi, non è necessario osservare tutti i cigni del mondo per smentirlo: basta trovarne uno nero. Da quell’istante l’affermazione «tutti i cigni sono bianchi» è definitivamente falsa.

È proprio questa la strada che, almeno finora, l’intelligenza artificiale sembra percorrere con maggiore successo. Più che produrre autonomamente lunghe dimostrazioni di grandi teoremi aperti, ha mostrato una sorprendente capacità di inventare oggetti matematici: algoritmi, configurazioni o, come in questo caso, una funzione che costituisce un controesempio.

Si tratta a tutti gli effetti, di una dimostrazione, ma non nel senso più tradizionale del termine: non una lunga successione di deduzioni logiche che, passo dopo passo, conduce inevitabilmente alla conclusione, bensì la costruzione di un oggetto e la verifica diretta che possiede determinate proprietà. E allora perché, proprio questa volta, la portata della scoperta è enorme?

Alla fine degli anni Novanta il grande matematico russo Vladimir Arnold, allora vicepresidente dell’International Mathematical Union, scrisse a un gruppo di colleghi sparsi per il mondo. L’idea era tanto semplice quanto ambiziosa: individuare i problemi matematici destinati a influenzare il XXI secolo, un po’ come David Hilbert aveva fatto nel celebre congresso di Parigi del 1900. Fra i destinatari di quella richiesta c’era Steve Smale, medaglia Fields nel 1966. La sua risposta fu una lista di diciotto problemi, scelti secondo tre criteri: dovevano essere formulabili in modo semplice, essergli sufficientemente familiari e, soprattutto, avere il potenziale di orientare lo sviluppo della matematica nel XXI secolo. È il 1998 e, al sedicesimo posto di quell’elenco, compare anche la congettura dello Jacobiano.

Due anni più tardi, nel 2000, il Clay Mathematics Institute annunciò i celebri Millennium Prize Problems, sette problemi aperti, ciascuno accompagnato da un premio di un milione di dollari per chi fosse riuscito a risolverlo. Pur trattandosi di un’iniziativa indipendente, la sovrapposizione con la lista di Smale era notevole: quattro dei sette Millennium Prize Problems — l’ipotesi di Riemann, la congettura di Poincaré, il problema \(P\ vs \ NP\) e le equazioni di Navier–Stokes — comparivano già fra i suoi diciotto problemi.

Da allora, nell’immaginario di molti matematici, la lista di Smale è stata spesso considerata, in maniera informale, la naturale “seconda fascia” dei grandi problemi della matematica contemporanea. Non perché le questioni che contiene siano intrinsecamente meno profonde o meno importanti, ma perché i Millennium Prize Problems hanno acquisito una notorietà senza precedenti grazie all’iniziativa del Clay Institute e, soprattutto, al cospicuo premio in denaro associato.

Storicamente associata al matematico Ott-Heinrich Keller, che la pose nel 1939, la congettura è in realtà più antica. Un recente lavoro ha mostrato che già nel 1884 Ludwig Kraus aveva enunciato esattamente il problema nel piano complesso, presentandolo come il risultato principale di una dimostrazione il cui ultimo passaggio era però errato. Molti decenni più tardi furono Shreeram Abhyankar e Tzuong-Tsieng Moh a renderla celebre sotto il nome di “congettura dello Jacobiano” e a contribuire in maniera decisiva alla sua diffusione e al suo studio, soprattutto in dimensione due. Alla congettura dello Jacobiano hanno lavorato matematici del calibro di Maxim Kontsevich e nomi come Hyman Bass, Edwin Connell, David Wright, Ludwik Drużkowski, Michiel de Bondt e Arno van den Essen. Kontsevich, insieme ad Alexei Belov-Kanel, ha per esempio stabilito profonde connessioni con la congettura di Dixmier.

Ciò che ha probabilmente reso tristemente famoso il problema è il fatto di essere stato un “ricettacolo” di dimostrazioni errate, capace di trarre in inganno, nell’arco di molti decenni, numerosi matematici di grande valore.

Il primo tentativo oggi noto è quello di Kraus del 1884, la cui dimostrazione falliva nell’ultimo passaggio. Nel 1955, Wolfgang Engel annunciò una dimostrazione per il caso di due variabili; soltanto nel 1973, quasi vent’anni più tardi, Anatolij Vituškin individuò due errori essenziali che invalidavano l’argomento. Fra il 1956 e il 1960 il matematico italiano Beniamino Segre pubblicò almeno tre diversi tentativi, tutti destinati a rivelarsi incompleti. Nel terzo chiedeva una dimostrazione puramente algebrica e nel 1961 Wolfgang Gröbner rispose pubblicandone una; Oscar Zariski vi trovò però un errore di calcolo che faceva crollare l’intero ragionamento. Anche Igor Šafarevič arrivò, per qualche tempo, a trattare come acquisita un’affermazione equivalente alla congettura. La lista dei tentativi falliti si è poi allungata e ramificata nei decenni successivi. Non c’è da stupirsi, dunque, se il fatto che Alpöge e Fable abbiano risolto uno dei problemi di Smale sia considerato un risultato notevole. Ma cosa dice esattamente questa congettura?

Per chi pratica la matematica è una frase cristallina e quindi invito i colleghi a saltare i prossimi cinque paragrafi. Per chiunque altro è probabilmente incomprensibile, ed è perfettamente normale che sia così.

In realtà, per comprendere il problema l’unico concetto matematico davvero necessario è quello di polinomio e, per ricordarselo, è sufficiente rispolverare le conoscenze della scuola media. Immaginiamo di prendere l’intero spazio tridimensionale e di deformarlo, assegnando a ogni punto una nuova posizione. Questo è ciò che i matematici chiamano una trasformazione. Il termine inglese usato nell’enunciato è map. Una trasformazione sposta i singoli punti e, così facendo, trascina con sé tutto il resto: rette, superfici, solidi e, più in generale, qualunque regione dello spazio, stirandola, ruotandola e deformandola.

Ogni punto dello spazio è individuato da tre coordinate, tre numeri che chiameremo x, y e z. Dopo la trasformazione quel punto si troverà in una nuova posizione, con nuove coordinate, tre numeri che indicheremo con X, Y e Z. Se queste nuove coordinate si ottengono mediante polinomi di x, y e z, la trasformazione si dice polinomiale. Significa che stiamo prendendo x,y,z e li sto combinando usando soltanto somma e moltiplicazione – quindi anche potenze – ma nessun’altra operazione esotica come divisione, radice, logaritmo etc.

A questo punto entra in gioco l’unica ipotesi davvero delicata della congettura, che nell’enunciato è indicata con “the derivative at each point is non-singular” (la derivata in ogni punto è non singolare) e nel contesto considerato assume un significato geometrico preciso. Immaginiamo che ogni punto dello spazio sia il centro di un piccolissimo cubetto. Dopo la trasformazione quel cubetto, quasi sempre, non sarà più un cubo: potrà deformarsi cambiando aspetto. La richiesta è però che il suo volume rimanga lo stesso di quello di partenza.

Premesse queste cose, la congettura pone una domanda molto semplice: se una trasformazione polinomiale conserva il volume di tutti questi cubetti, allora è vero che due punti distinti prima della trasformazione resteranno necessariamente distinti anche dopo?

Questa proprietà di preservare la “distinzione” fra i punti, la indicheremo come fa Smale con il termine one-to-one.

Il controesempio trovato da Levent Alpöge con l’aiuto di Fable risponde negativamente alla domanda posta dal problema 16 di Smale, esibendo una trasformazione che soddisfa tutte le ipotesi richieste, ma non è one-to-one.

Si tratta di tre polinomi, annunciati da Levent Alpöge in un post su X:

$$
\begin{matrix}
X= \left( 1 + xy \right)^{3}z + y^{2}\left( 1 + xy \right)\left( 4 + 3xy \right) \\
Y= y + 3x\left( 1 + xy \right)^{2}z + 3xy^{2}\left( 4 + 3xy \right) \\
Z= 2x – 3x^{2}y – x^{3}z \\
\end{matrix}$$

È possibile verificare che

$$A=\left(0,0, -\frac{1}{4}\right), \ B=\left(1,-\frac{3}{2}, \frac{13}{2}\right), \ C=\left(-1,-\frac{3}{2}, \frac{13}{2}\right)$$

vengono trasformati tutti nello stesso punto \( \left( -\frac{1}{4}, 0,0\right)\). Per l’esattezza, la trasformazione in questione non conserva i volumi, ma li riscala di un fattore 2: un dettaglio marginale che non comporta alcuna differenza sostanziale.

Abbiamo chiesto proprio a Fable di rappresentare ciò che accade e ha prodotto la seguente immagine.

A sinistra compare una parabola nello spazio tridimensionale che passa per i tre punti \(A\), \(B\), e \(C\) individuati da Fable; a destra compare l’immagine della stessa curva dopo l’applicazione della trasformazione. I tre punti hanno tutti la stessa immagine, rappresentata a destra dal punto marcato in nero.

Con il senno di poi, era davvero così difficile scovare un controesempio? Come può un problema essere tanto complicato, se basta lo spazio di un post su X per fornire la soluzione?

Cominciamo col dire che non sono stati risolti tutti i casi. In tre dimensioni il controesempio di Alpöge e Fable mostra che la risposta è negativa e lo stesso vale immediatamente in tutte le dimensioni superiori. Il caso apparentemente più semplice, quello del piano, resta invece un problema aperto. L’esempio di Fable non è banalmente riadattabile in due dimensioni.

Molti sforzi dei matematici si erano concentrati proprio sul problema nel piano, che presenta rigidità molto particolari. Fu Moh a dimostrare che, in due dimensioni, un eventuale controesempio non poteva avere grado massimo inferiore o uguale a 100. Un lavoro successivo ha ulteriormente innalzato questa barriera, portandola a 108. Esisteva inoltre, già dal 1994, il celebre controesempio di Sergey Pinchuk, con polinomi di grado massimo 25, a una simile congettura in due dimensioni ma sotto ipotesi più deboli. Con queste premesse, è comprensibile che il senso pratico abbia guidato i matematici soprattutto nella direzione di dimostrare la congettura, piuttosto che in quella di cercare un controesempio. Peraltro, in astratto, la ricerca di polinomi di grado elevato è un problema di complessità enorme, proibitivo anche per un modello come Fable se affrontato mediante una semplice ricerca esaustiva.

Anche se qualcuno avesse suggerito di cercare tra i polinomi in tre variabili di grado sette a coefficienti interi (come quelli trovati da Fable) ci sarebbero più di 350 gradi di libertà. Cercare il controesempio alla cieca sarebbe come trovarsi davanti a una cassaforte con più di 350 manopole. Ed è proprio qui che entra in gioco l’astuzia. Il matematico, come lo scassinatore, possiede i propri “attrezzi”: simmetrie, cambiamenti di coordinate e strutture geometriche particolari possono ridurre drasticamente lo spazio della ricerca. Terence Tao ha ricostruito in dettaglio come dietro quelle formule non ci sia una semplice lista casuale di coefficienti, ma che il controesempio possiede una struttura matematica profonda e riconoscibile. Per chi fosse interessato ai dettagli matematici rimandiamo al suo blog.

A questo punto le vere domande sono: qual è il prompt che Levent Alpöge ha inserito in Fable? Quale percorso di ricerca ha seguito il modello? Quali intuizioni provengono da Alpöge e quali da Fable? Quanto è stata importante la domanda iniziale posta dall’amico Akhil Mathew?

Al momento non lo sappiamo. Non sono stati pubblicati il prompt completo, la cronologia dell’interazione o una ricostruzione precisa dei tentativi che hanno condotto alle tre formule. È stato riferito soltanto che la domanda nacque durante la finale della Coppa del Mondo e che Alpöge ringraziò pubblicamente Akhil per aver sollevato il problema e Fable per averci lavorato. Possiamo soltanto ipotizzare che quelle poche righe, o forse una conversazione molto più lunga, siano considerate informazioni riservate e siano note a pochissime persone. Potrebbero rappresentare una chiave capace di aprire altre serrature. Forse un giorno verranno rese pubbliche; forse no.

È l’esperienza che, in misura molto più modesta, stiamo vivendo un po’ tutti davanti ai modelli linguistici di grandi dimensioni: non conta soltanto ciò che chiediamo, ma anche come lo chiediamo, quali informazioni forniamo, quali direzioni suggeriamo e come sappiamo riconoscere, fra molte risposte possibili, quella che merita di essere approfondita.

Per i matematici è cominciata una nuova era, forse un vero cambio di paradigma. Fino a quando avremo il lusso di continuare a fare matematica, saremo dei centauri: esseri umani affiancati da macchine capaci di amplificarne le possibilità. Come accade ai piloti di automobili sportive, chi avrà più risorse potrà permettersi vetture migliori, e chi saprà guidarle meglio andrà più veloce degli altri.

E qui si apre un capitolo su cui bisognerà certamente ritornare. E non si tratta di un’impressione deformata dalla distanza, dell’effetto ottico di chi osserva gli avvenimenti dalla periferia dell’impero. Il cambiamento è ormai al centro della discussione matematica mondiale, seguito con attenzione dai protagonisti stessi della disciplina.

Tao ha dedicato proprio a questo tema la conferenza pubblica tenuta all’International Congress of Mathematicians alcuni giorni fa. Nella stessa occasione Tsimerman, appena insignito della medaglia Fields, ha annunciato di aver sospeso la sua attività di matematico per passare alla ricerca sulla sicurezza dell’AI.

Tao guarda soprattutto alle possibilità che si stanno aprendo: sperimenta questi strumenti, cerca di comprenderne le potenzialità e invita la comunità matematica a governare la trasformazione, anziché limitarsi a subirla o a respingerla, distinguendosi per un ottimismo tutt’altro che incondizionato. Tsimerman sembra osservare lo stesso paesaggio dal versante opposto. Non nega la potenza di questi strumenti, ma vede nella loro rapidissima crescita ragioni di inquietudine ancora maggiori di quelle che spingono all’entusiasmo. È convinto che, nel giro di due anni, l’intelligenza artificiale possa diventare più brava degli esseri umani nel fare matematica e ha rivolto parte della propria attività alla sicurezza dei sistemi di AI, nella convinzione che rischi tanto elevati richiedano garanzie altrettanto forti. Ha persino smesso di accettare nuovi studenti di dottorato, preoccupato dall’incertezza che grava sul futuro della professione matematica.

Si può dunque discutere se ciò che sta arrivando debba suscitare soprattutto speranza o timore. È diventato impossibile, invece, sostenere che non stia arrivando.

Nel 1998 la congettura dello Jacobiano era al sedicesimo posto della lista di Smale, nella stessa pagina, il diciottesimo e ultimo problema della sua lista poteva apparire quasi una digressione filosofica, collocata ai margini dei grandi problemi matematici. Oggi, dopo che un’intelligenza artificiale ha contribuito a far cadere il problema numero sedici, quelle parole assumono il tono di una profezia:

Il problema 18 era semplicemente l’ultimo della lista o era quello che, in qualche modo, conteneva tutti gli altri?

Carlo Nitsch

Carlo Nitsch