Sebbene la parola rumore faccia pensare a qualcosa di disturbante, per i modelli matematici rappresenta una forza. Ce ne parla Marco Menale per La Lente Matematica.

Tendiamo a collegare la parola rumore a qualcosa di problematico. Se c’è del rumore, vogliamo rimuoverlo, o almeno provarci. Forse un po’ per bias, forse per sentito dire, ma è una parola che genera sensazioni negative; sembra di non avere controllo. Eppure, guardando ai fenomeni intorno a noi sappiamo che c’è tanto rumore di fondo da cui non possiamo scappare. Anzi, eliminarlo significa perdere molto di quel fenomeno che vogliamo descrivere e, nei limiti, capire. È ciò che succede in matematica quando l’aggiunta di rumore rende più solidi i modelli, rafforzando la loro efficacia.

Partiamo dall’aspetto fenomenologico. I sistemi reali non sono mai perfettamente regolari. Gli individui non sono identici, le interazioni non sono riproducibili al dettaglio, molte variabili non sono osservabili. In questo senso, il rumore non rappresenta un errore di modellazione, ma una forma di informazione: raccoglie l’eterogeneità che non possiamo (o non vogliamo) descrivere esplicitamente. Basti pensare alla dinamica delle opinioni. Ci sono individui che interagiscono, eventualmente distribuiti su di un grafo, ciascuno con la propria opinione. Pensare di poter descrivere questo fenomeno senza rumore di fondo è impossibile, roba che nemmeno tutta la potenza di calcolo del mondo può riuscirci. Il rumore è collegato a elementi che influiscono sull’opinione del singolo e che non possiamo racchiudere in uno schema di interazione che non sia enormemente complicato.

Dunque, del rumore non se ne può fare a meno se vogliamo un modello realistico, soprattutto quando riguarda molte interazioni, e abbastanza complesse da essere racchiuse in una o più equazioni. Quando si studiano sistemi composti da molti individui, come popolazioni, mercati, reti sociali, questo aspetto diventa cruciale. Le variazioni individuali sono spesso piccole, ma frequenti. In queste condizioni, seguire il singolo non è né possibile né utile. L’oggetto naturale di studio diventa la distribuzione della popolazione, e la sua evoluzione nel tempo attraverso equazioni di tipo Boltzmann che tengono conto del rumore.

A questo punto è possibile avere ulteriori informazioni sul fenomeno usando un modello Fokker-Planck. Questo descrive come una distribuzione si sposta e si diffonde, combinando una dinamica media con un termine diffusivo che nasce direttamente dal rumore microscopico, ossia dalle interazioni tra singole entità. La diffusione, in questo quadro, non smussa il modello, ma ne garantisce la robustezza. Ecco, dal rumore microscopico siamo passati alla all’osservazione macroscopica del modello che da quel rumore è caratterizzato.

Supponiamo di avere una popolazione in cui ciascun individuo è caratterizzato da un’opinione \(x\) su di un certo argomento. A seguito di interazioni con altri individui l’opinione passa al nuovo valore \(x’\) secondo una legge del tipo

\(x’=x+\phi(x),\)

dove \(\phi(x)\) è una funzione che dipende dal tipo di interazione. Tuttavia, per rendere più realistico lo schema, si aggiunge del rumore all’interazione e allo schema di evoluzione dell’opinione, ottenendo così

\( x’=x+\phi(x)+\eta,\)

dove \(\eta\) è un rumore, caratterizzato, tra gli altri, da una media e una varianza.

Fin qui è il livello microscopico. A questo punto si introduce una distribuzione \(f(t,x)\) che fornisce a livello mesoscopico, ossia statistico, il numero di individui caratterizzati dal tempo \(t\) dall’opinione \(x\). L’evoluzione di questa distribuzione è descritta da un’equazione di tipo Boltzmann e da lì da una Fokker-Planck che tiene conto del rumore. L’evoluzione dell’intero fenomeno dipende dalle caratteristiche del rumore che è stato introdotto a livello microscopico e che permette di non perdere alcune informazioni del sistema. Ad esempio, in questo modo è possibile studiare fenomeni di polarizzazione.

Questi schemi trovano applicazioni in svariati contesti, anche oltre la dinamica delle opinioni. Tra gli altri, troviamo modelli sociali relativi all’istruzione e dinamica ecologica. In definitiva, è proprio nel rumore che si rivela la carta vincente per avere modelli matematici sempre più fedeli e realistici.