Geometria, analisi, congetture, complessità computazionale, sesto problema di Hilbert e numeri primi hanno caratterizzato il 2025 della Matematica. La redazione di MaddMaths! ha raccolto alcuni risultati notevoli. 

Finisce un anno e ne comincia un altro. C’è chi prepara lenticchie e cotechino come buono auspicio e chi come noi si mette alle spalle un anno, augurandosi il meglio per quello nuovo, facendo una sintesi dei notevoli risultati matematici ottenuti. Sta diventando un po’ tradizione da queste parti; qui trovate quelli del 2024. Poi, certo, capire cosa sia notevole lascia il tempo che trova, ma facciamo del nostro meglio. Quindi, ecco un po’ di risultati che la nostra redazione ha selezionato, ispirandosi in parte a quanto fatto su Quanta e Scientific America, ma mettendoci sempre del nostro.

Partiamo dalla geometria. Abbiamo una nuova figura, il nopertedro, un poliedro con 90 vertici, 240 spigoli e 152 facce. La sua particolarità è che non può essere attraversato da una copia di se stesso, indipendentemente da come venga ruotato o spostato, smentendo una congettura geometrica ritenuta valida da tempo. Un grande lavoro collettivo ha portato alla dimostrazione della congettura di Langlands geometrica, che mette in relazione diverse superfici di Riemann. Il risultato si inserisce nel più ampio programma di Langlands, spesso descritto come un possibile tentativo di unificazione di vaste aree della matematica. Inoltre, è stato dimostrato che non è possibile trasformare un triangolo in un quadrato se lo si suddivide in meno di quattro pezzi, risolvendo definitivamente un problema aperto da oltre un secolo. E c’è la risoluzione della congettura di Kakeya in dimensione \(3\).

Un’altra congettura affermava che unendo due nodi la complessità del risultato fosse la somma delle complessità iniziali. Ecco, affermava, perché abbiamo da poco un nodo più semplice della somma delle sue parti.

A proposito ancora di congetture. A soli 17 anni, Hannah Cairo ha costruito un controesempio a una congettura trentennale nel campo dell’analisi armonica, dimostrando comportamenti delle funzioni sfuggiti ai matematici più esperti.

Forse però il risultato più importante del 2025 riguarda il cosiddetto Sesto problema di Hilbert. Come molti di voi ricordano, nel 1900 David Hilbert presentò una lista di problemi irrisolti, tra cui quello di individuare il numero minimo di assunzioni matematiche alla base delle leggi della fisica. Questo obiettivo fu in seguito suddiviso in sottoproblemi e, nel 2025, tre matematici, Yu Deng, Zaher Hani e Xiao Ma, hanno dichiarato di averne risolto uno: l’unificazione di tre teorie fisiche per descrivere il moto dei fluidi. Anche se non ancora apparso su rivista, ma solo come preprint, il risultato sembra essere stato confermato dalla comunità internazionale, rappresentando quindi uno dei passi decisivi nel legame tra la descrizione microscopica (molecole) e quella macroscopica (equazioni dei fluidi). Ne ha parlato Sergio Simonella qui su MaddMaths!.

In ambito discreto, segnaliamo invece i due seguenti risultati teorici importanti. Ran Duan, Jiayi Mao, Xiao Mao, Xinkai Shu, Longhui Yin, ricercatori della Tsinghua University, Stanford University e Max Planck Institute for Informatics, hanno, per la prima volta dal 1956, dimostrato che esiste un algoritmo deterministico più veloce di quello di Dijkstra per risolvere il problema del cammino minimo nei grafi diretti sparsi in cui gli archi sono dotati di pesi reali non negativi. In particolare, la complessità computazionale del nuovo algoritmo è O(m log^{2/3}n), mentre quella dell’algoritmo di Dijkstra è O(m + n logn), dove n è il numero di nodi e m il numero di archi. Fornendo un miglioramento asintotico, questo risultato ha natura prevalentemente teorica e non implica che il nuovo algoritmo sia necessariamente migliore in ambito pratico. Ciò non toglie che rappresenti una svolta, arrivata grazie alla rottura della cosiddetta “sorting barrier”, il limite teorico che sembrava imporre un costo di ordinamento (come quello nell’uso di heap di Fibonacci) e che si riteneva non superabile. Invece di ricorrere a un ordinamento totale con code di priorità, hanno sfruttato tecniche di raggruppamento e di ordinamento parziale.

Invece Eleon Bach, dottorando della Technical University of Munich, Sophie Huiberts, ricercatrice del CNRS, Alexander E. Black del Bowdoin College e Sean Kafer dell’Illinois State University hanno ottenuto nuovi risultati teorici, ancora in fase di revisione, sulla complessità computazionale dell’algoritmo del simplesso, uno dei principali metodi esatti per risolvere problemi di programmazione lineare. Il framework da loro sviluppato permette di superare alcune criticità della smoothed analysis del 2001 di Daniel Spielman e Shang-Hua Teng e dimostra che, in base a tecniche di scalabilità degli input, all’uso di soglie di tolleranza e ad altri principi di progettazione, il metodo del simplesso raggiunge effettivamente un tempo di esecuzione polinomiale.

Possiamo chiudere un anno senza i numeri primi? Certo che no!

Prima di tutto, abbiamo nuovi schemi di tipo probabilistico che descrivono la loro distribuzione, legati a comportamenti caotici e a strutture frattali. Sappiamo che all’aumentare della grandezza, la loro distribuzione è sempre più complessa. A questo proposito, il più grande numero primo è \(2^{136.279.841}-1\); per intenderci, è un numero con circa \(41\) milioni di cifre. Eppure, i matematici continuano a non essere soddisfatti; per questo hanno introdotto nuovi schemi per trovarne altri, con strategie di partizione. Infine, è stato trovato un nuovo metodo per stimare quanti numeri primi siano presenti in un dato intervallo. La strategia elimina innanzitutto i numeri che sono multipli di altri primi, tenendo poi conto di quelli esclusi più volte. Lo studio mostra anche che esiste un limite alla precisione di stime di questo tipo, indicando che alcune proprietà fondamentali dei numeri primi restano, almeno per ora, irraggiungibili.

Qualche altra chicca per concludere.

Dopo secoli e secoli continua a tornare la successione di Fibonacci, anche se in vesti diverse. Questa volta la si collega al “problema dei bastoncini”, ossia: data una collezione di bastoncini di lunghezza casuale tra \(0\) e \(1\), qual è la probabilità che nessuna terna di questi formi un triangolo?

A proprosito di numeri. Quest’anno abbiamo avuto progressi nel mostrare l’irrazionalità di alcuni numeri, con tecniche abbastanza sofisticate.

E poi abbiamo nuovi tipi di infinito. Un gruppo di matematici ha introdotto due nuovi tipi di infinito che si comportano in modi non convenzionali rispetto alle strutture classiche. Si tratta di risultati che riguardano proprio le fondamenta della matematica.

Questo è quanto fatto di notevole in matematica nel 2025, o almeno quanto abbiamo raccolto in redazione. Se avete qualcosa da segnalarci, fate pure, perché di certo sarà sfuggito qualcosa. Da queste parti ci vediamo tra un anno per parlare dei risultati notevoli della matematica del 2026, dato che si assegneranno anche le Medaglie Fields.