Formula di Eulero, Teorema di Eulero, Funzione di Eulero, Caratteristica di Eulero, Costante di Eulero, Numeri di Eulero, Metodo di Eulero, … L’elenco potrebbe continuare a lungo; basta scorrere le voci di wikipedia per farsi un’idea. In effetti, Eulero è stato uno dei matematici più prolifici della storia: ha scritto 886 pubblicazioni, tra libri e articoli. È una scommessa pressoché sicura che ogni matematico ha il suo “Teorema di Eulero'” o la sua “Formula di Eulero” preferita. La Matematica è piena di Eulero! è una serie che raccoglie le scelte di alcuni membri del comitato di redazione di MaddMaths!, ai quali abbiamo chiesto di presentare uno di questi argomenti ai nostri lettori e lettrici. Il primo episodio “Inifinità dei numeri primi” è a cura di Alessandro Zaccagnini.

Nessuno si sorprenderà per come scelgo il mio “Teorema di Eulero” preferito: naturalmente si tratta della ridimostrazione del Teorema di Euclide, e cioè che esistono infiniti numeri primi. La dimostrazione di Euclide è ben nota: ne ho parlato nella mini-serie che ho dedicato ai numeri primi proprio qui su MaddMaths! ^{[1 ]}A. Zaccagnini, 2021. “\(\exists\infty\#p!\) La Serie!” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/in-evidenza/primi-0/. è puramente aritmetica e sfrutta le proprietà delle operazioni elementari.

Quasi due millenni dopo Eulero ne ha dato una dimostrazione completamente diversa, che è importante perché, come vedremo sotto, contiene elementi non aritmetici ma di pertinenza dell’analisi matematica; in questo modo ha fondato una nuova branca della matematica, e cioè la Teoria Analitica dei Numeri. Un altro motivo di interesse per la dimostrazione che sto per presentare sta nel fatto che possiamo dedurne qualche informazione sulla frequenza con cui i numeri primi appaiono nella sequenza dei numeri naturali. Infatti, Eulero ha dimostrato che la serie armonica, anche se limitata ai soli numeri primi, resta divergente; questo implica che i numeri primi non sono troppo “radi” nell’insieme dei numeri naturali, confermando l’impressione che si ha consultando le tavole.

Teorema (Eulero). La serie \[\sum_p \frac1p
\qquad\text{è divergente,}\] dove la notazione indica che la somma è fatta solo sui numeri primi.

La dimostrazione è semplice, ma non semplicissima, perché fa interagire aritmetica e analisi matematica in modo non banale. Prima di enunciare e dimostrare il Lemma che ci permetterà, in effetti, di dimostrare una versione ancora piú forte e precisa del Teorema di Eulero, vediamone gli elementi essenziali. Cominciamo ricordando la somma della serie geometrica: se \(\vert \alpha \vert < 1\) allora \[\sum_{n = 0}^{+\infty} \alpha^n
=
\frac1{1 – \alpha}.\] Useremo questa formula per diversi valori di \(\alpha\); piú avanti prenderemo \(\alpha = x = \frac12\) e \(\alpha = y = \frac13\), ma per il momento non è necessario fare questa scelta. Moltiplichiamo formalmente due di queste serie \[\begin{aligned}
\frac1{1 – x} \cdot \frac1{1 – y}
&=
\Bigl( 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \Bigr) \cdot
\Bigl( 1 + y + y^2 + y^3 + \cdots \Bigr) \\
&=
1 + x + y + x^2 + x y + y^2 + x^3 + x^2 y + x y^2 + y^3 + \cdots\end{aligned}\] All’estrema destra troviamo tutti i monomi della forma \(x^n y^m\), dove \(n\), \(m\) sono interi non negativi. Prendendo \(x = \frac12\) ed \(y = \frac13\) troveremo tutte le frazioni del tipo \(1 / (2^n 3^m)\). Ma come facciamo ad essere sicuri che troveremo queste frazioni esattamente una volta? In altre parole, perché \(x^n y^m \ne x^q y^r\), a meno che \(n = q\) ed \(m = r\), o, piú semplicemente, perché \(2^n 3^m \ne 2^q 3^r\), a meno che \(n = q\) ed \(m = r\)? Qui interviene il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica: ogni intero si fattorizza in un unico modo come prodotto di numeri primi, a parte eventualmente l’ordine in cui scriviamo i fattori. Quindi, se \(A = 2^n 3^m = 2^q 3^r\), ne segue che \(n = q\) ed \(m = r\), perché \(A\) si fattorizza in uno ed un solo modo.

Ripetiamo lo stesso ragionamento con \(z = \frac15\): \[\begin{aligned}
\frac1{1 – x} \cdot \frac1{1 – y} \cdot \frac1{1 – z}
&=
1 + x + y + z + x^2 + x y + x z + y^2 + y z + z^2 + \\
&\qquad+
x^3 + x^2 y + x^2 z + x y^2 + x z^2 + x y z + \\
&\qquad+
y^3 + y^2 z + y z^2 + z^3 + \cdots\end{aligned}\] Qui troveremo tutti i monomi della forma \(x^n y^m z^k\), dove \(n\), \(m\) e \(k\) sono interi non negativi, e il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica garantisce che i loro valori, quando li valutiamo per \(x = \frac12\), \(y = \frac13\), \(z = \frac15\), sono tutti distinti. Mettendo in ordine crescente i termini, questa somma infinita vale \[1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \frac16
+
\frac18 + \frac19 + \frac1{10} + \frac1{12} + \frac1{15}
+
\frac1{16} + \frac1{18} + \frac1{20} + \cdots\] Ancor piú in generale, se consideriamo tutti i numeri primi che non superano una certa soglia \(N\) (che poi faremo tendere all’infinito), associamo a ciascuno di questi la corrispondente serie geometrica e le moltiplichiamo tutte fra di loro, troveremo una serie infinita di reciproci di numeri interi. Questi interi sono precisamente quelli che nella scomposizione in fattori primi presentano soltanto i numeri primi che non superano la soglia data. Nell’esempio qui sopra la soglia è 5. Siccome tutti i numeri interi fino ad \(N\) hanno fattori primi che non superano \(N\), il prodotto di queste serie geometriche contiene tutti gli addendi \(1 / n\) con \(n = 1\), 2, …, \(N\) e vale almeno \[\sum_{n = 1}^N \frac1n.\] Queste sono le somme parziali della serie armonica, che divergono per \(N \to +\infty\), come dimostrato nel Medioevo da Nicole d’Oresme. Se i numeri primi fossero finiti, potremmo chiamare \(P\) il piú grande di questi. Ma allora, per \(N \ge P\), avremmo \[\prod_{\substack{p \le P \\ p \text{ primo}}} \Bigl(1 – \frac1p \Bigr)^{-1}
=
\prod_{\substack{p \le N \\ p \text{ primo}}} \Bigl(1 – \frac1p \Bigr)^{-1}
\ge
\sum_{n \le N} \frac1n.\] Il primo membro è costante per \(N \ge P\), perché non ci sono numeri primi piú grandi di \(P\) per ipotesi, mentre il secondo membro diverge per \(N \to +\infty\), e da questa contraddizione segue la tesi.

Un sottoprodotto della dimostrazione è la relativa densità dei numeri primi; infatti, la serie corrispondente per i quadrati perfetti o per le potenze di 2 converge, e queste due successioni sono in effetti piuttosto rade. Possiamo ottenere un’informazione piú precisa con poca spesa: confrontando una somma con il corrispondente integrale, non è difficile dimostrare che \[\sum_{n = 1}^N \frac1n
=
\log(N) + \gamma + \mathcal{O}_{}\!\left(\frac 1N\right)\mathchoice{\!}{}{}{},\] dove \(\gamma \approx 0.577215\dots\) è la costante di Eulero-Mascheroni. Per i nostri scopi sarebbe sufficiente una stima piú debole, e cioè che la somma a sinistra è \(\ge \log(N) + \mathcal{O}_{}\!\left(1\right)\mathchoice{\!}{}{}{}\), che si ottiene senza fatica dall’integrale. Mettendo insieme tutte le disuguaglianze ottenute dimostriamo finalmente il Lemma già annunciato.

Lemma. Per \(N \to + \infty\) si ha \[\prod_{\substack{p \le P \\ p \text{ primo}}} \Bigl(1 – \frac1p \Bigr)^{-1}
\ge
\sum_{n \le N} \frac1n
=
\int_1^N \frac{\mathrm{d}x}x
+
\mathcal{O}_{}\!\left(1\right)\mathchoice{\!}{}{}{}
=
\log(N) + \mathcal{O}_{}\!\left(1\right)\mathchoice{\!}{}{}{}.\]

Prendendo il logaritmo ed usando la formula di Taylor al primo ordine nel primo membro, e cioè \(-\log(1 – x) = x + \mathcal{O}_{}\!\left(x^2\right)\mathchoice{\!}{}{}{}\), otteniamo dopo qualche calcolo \[\log
\prod_{\substack{p \le P \\ p \text{ primo}}} \Bigl(1 – \frac1p \Bigr)^{-1}
=
\sum_{\substack{p \le P \\ p \text{ primo}}} \frac1p
+
\mathcal{O}_{}\!\left(1\right)\mathchoice{\!}{}{}{}
\ge
\log\log(N) + \mathcal{O}_{}\!\left(1\right)\mathchoice{\!}{}{}{},\] che è una versione quantitativamente forte del Teorema di Eulero enunciato proprio all’inizio.

Concludiamo dando una definizione che è molto importante negli studi successivi, quella della funzione zeta di Riemann. Il nome è anacronistico perché Riemann ha studiato questa funzione un secolo dopo Eulero, ma i contributi che ha dato hanno portato a questa attribuzione.

Definizione /Funzione zeta di Riemann). Per \(s\) reale, \(s > 1\), poniamo \[\zeta(s)
=
\sum_{n \ge 1} \frac1{n^s}.\]

La dimostrazione del Lemma qui sopra si può adattare per ottenere l’identità di Eulero: \[\zeta(s)
=
\prod_p \Bigl( 1 – \frac 1{p^s} \Bigr)^{-1}.\] Per prima cosa moltiplichiamo fra loro le serie geometriche assolutamente convergenti di ragione \(p^{-s}\) relative ai numeri primi \(p\) fino ad un certo valore \(N\), e poi prendendo il limite per \(N\) che tende all’infinito.

Per chi vuole approfondire, consigliamo l’articolo ^{[2 ]}A. Zaccagnini, 2014. “Breve Storia Dei Numeri Primi.” Ithaca: Viaggio Nella Scienza III: 67–83. http://ithaca.unisalento.it/nr-03_04_14/index.html o il libro ^{[3 ]}A. Zaccagnini, 2024. Il Teorema Dei Numeri Primi. Rivoluzioni Matematiche. I Grandi Teoremi Da Pitagora a Nash, numero 21. Le Scienze, giugno 2024., che trattano per esteso gli sviluppi delle idee di Eulero e dei suoi successori sullo studio della distribuzione dei numeri primi.