Semplificazione della realtà? Ricercare un’unica spiegazione a un evento ed escludere la possibilità di più cause, anche contemporanee. È il bias della singola causa. Ne parla Marco Menale.

Minuto 90 e oltre. La partita finisce e la nostra squadra ha perso ancora, e nemmeno bene. Dal divano arriva la sentenza “Basta, non se ne può più: cambiamo allenatore!”. I commenti post-partita incalzano. Tra mancate sostituzioni e cambi tattici poco motivati, siamo convinti: è lì la causa delle sconfitte. È così chiaro, la soluzione è a portata di mano. Eppure, come facciamo a essere sicuri che sia solo l’allenatore il motivo delle sconfitte? Proprio non c’è altro? Ecco, siamo di fronte al bias della singola causa.

Possiamo inserire il bias della singola causa tra i bias bayesiani. Nasce da un preciso atteggiamento. Osserviamo un fenomeno \(A\), che si è verificato. Un certo evento \(E_1\) è tra le sue possibili cause. Allora, concludiamo che \(E_1\) è l’unica causa di \(A\). Escludiamo, così, che un altro evento \(E_2\) possa aver contribuito a causare \(A\).

Passiamo alla fallacia di ragionamento legata a questo bias. Per mostrarla usiamo semplici proprietà della probabilità condizionata. Ricordiamo che dati due eventi \(A\) e \(B\), la probabilità condizionata di \(A\) dato \(B\) si definisce

\[P(A|B):= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Sia \(A\) un evento con probabilità a priori \(P(A)\). Siano \(E_1\) ed \(E_2\) due possibili cause di \(A\),che possono verificarsi contemporaneamente. Dalla formula della probabilità condizionata segue che

\[P(E_i|A)=\frac{P(A \cap E_i)}{P(A)}, \quad i \in \{1,2\}.\]

Consideriamo l’evento \(E_1 \cup E_2\), cioè l’unione non disgiunta dei due eventi.  Semplici calcoli consentono di concludere che

\[P(E_1 \cup E_2| A)=P(E_1|A)+P(E_2|A)-P(E_1 \cap E_2 |A).\]

Poiché la probabilità dell’intersezione è minore della probabilità dei singoli eventi, allora

\[ P(E_i|A)\geq P(E_1 \cap E_2 |A), \quad i \in \{1, 2\}.\]

A questo punto, possiamo concludere che

\[ P(E_i \cup E_2| A) \geq P(E_i|A),\quad i \in \{1, 2\}.\]

Dunque, è più probabile che sia l’unione dei due eventi \(E_1 \cup E_2\) la causa di \(A\), rispetto ai singoli eventi \(E_1\) ed \(E_2\).

Ora, supponiamo di aver osservato l’evento \(E_1\). Allora,

\[P(E_1 \cap E_2 | E_1)=\frac{P(E_1\cap E_2)}{P(E_1)}\geq P(E_1 \cap E_2), \]

ossia la probabilità di avere entrambi gli eventi, \(E_1 \cap E_2\), avendo osservato \(E_1\) è maggiore della loro probabilità a priori \(P(E_1 \cap E_2)\).

Infine, segue che, rispetto all’evento \(E_1\cap A\), abbiamo la stessa probabilità condizionata per il solo \(E_2 \) o per \(E_2 \cap E_1\). Quindi, possiamo tranquillamente avere più cause per l’evento \(A\). In formule:

\[P(E_2 \cap E_1 | E_1 \cap A)= \frac{P(A \cap E_1 \cap E_2)}{P(E_1 \cap A)}=P(E_2| E_1 \cap A).\]

Semplici applicazioni della probabilità condizionata mostrano gli errori a cui porta il bias della singola causa. Da un lato, dimentichiamo che nell’unione \(E_1 \cup E_2\) di due eventi troviamo anche la loro intersezione, \(E_1 \cap E_2\). Dicendolo con il linguaggio della logica, l’unione non è esclusiva. Dall’altro, aver osservato uno dei due eventi (possibili cause), \(E_1\), non esclude il secondo, \(E_2\), anzi aumenta la probabilità congiunta \(E_1 \cap E_2\).

Certo, abbiamo considerato un caso particolare, con due sole ipotesi. La realtà è più complessa, con più sfaccettature. Tuttavia, i risultati sopra considerati possono estendersi, a meno di qualche tecnicismo, anche a casi con più eventi. Tenere a mente questo bias è utile a non ridursi alla ricerca di un’unica causa, semplificando la realtà e arrivando a conclusioni parziali. Quindi, alla prossima sconfitta della nostra squadra, meglio pensarci un po’, prima di accusare l’allenatore di essere l’unica causa.