Una “classe di Eulero” è un oggetto della topologia algebrica e uno degli strumenti più potenti per la comprensione degli spazi complessi. Nel 1958, il matematico John Milnor, che avrebbe vinto la medaglia Fields nel 1962, evidenziò un problema nel tentativo di costruire spazi usando solo cerchi e superfici bidimensionali: esisteva cioè un limite a quanto “complicata” potesse essere la classe di Eulero in dimensione 2. Le osservazioni di Milnor portarono, a catena, a uno sviluppo di un intero campo di ricerca nelle dimensioni superiori, e i matematici si resero conto che la “complessità vincolata” di Milnor non riguardava gli spazi di qualunque dimensione. In particolare, rimase aperto il problema dell’assemblaggio di sfere su spazi a quattro dimensioni, una costruzione particolarmente importante perché hanno portato alla costruzione delle prime “sfere esotiche”.

Un gruppo di ricercatori dell’EPFL, in collaborazione con colleghi della Purdue University, hanno usato il processo di Bernoulli [https://www.roma1.infn.it/~dagos/PRO/node98.html], in combinazione con lo studio delle sfere, per chiarire la questione. “Quando ci siamo messi a risolvere questo problema, è successa una cosa molto curiosa”, spiega Nicolas Monod, tra gli autori dello studio pubblicato sulla rivista Inventiones mathematicae.  “Se questo specifico problema in dimensione 4 è rimasto a lungo senza soluzione, è forse perché nessuno dei metodi classici utilizzati per comprendere gli spazi sembrava in grado di aiutare. Per questo, ci siamo rivolti a un’improbabile fonte di ispirazione: il lancio delle monete”.

La probabilità e i processi casuali possono sembrare non avere molto a che fare con l’analisi delle dimensioni superiori dello spazio, eppure “all’inizio di quest’anno – prosegue Monod – abbiamo pubblicato un articolo che descrive come il lancio casuale della moneta di Bernoulli possa essere usato per rispondere ad alcune difficili domande algebriche che sono molto non casuali. Il procedimento è stato ora combinato con lo studio delle sfere e della classe di Eulero per rispondere finalmente alla vecchia domanda sugli spazi a 4 dimensioni e la risposta è stata che no, non c’è limite alla dimensione della classe di Eulero per le sfere a 4 dimensioni”.