I paradossi semantici hanno una storia lunga (almeno) venticinque secoli. In questo articolo, apparso nel numero 3/2025 di Archimede, Luca San Mauro ci racconta perché i paradossi sono “cariche esplosive piazzate nelle fondamenta delle lingue naturali”, e come la matematica ci può aiutare a capirli meglio, ma non a catalogarli.
Pinocchio, e altri bugiardi patentati
Le lingue naturali, come l’italiano, hanno una proprietà notevole: possono parlare non solo del mondo, ma anche di sé stesse. Ovvero, possiamo usarle per fare affermazioni – vere o false – su ciò che ci circonda (“stamattina ho saltato la colazione”; “Pechino è più grande di Viterbo”; “esistono esattamente 6 numeri primi”), ma anche per attribuire verità o falsità a quelle stesse affermazioni: “perdonatemi, prima ho mentito: di numeri primi ne esistono almeno 7”.
Questa proprietà, detta chiusura semantica, è così radicata nel nostro uso quotidiano del linguaggio che spesso passa inosservata. Eppure, ha conseguenze profonde. Per esempio, in un’aula di tribunale un imputato può dire la verità, mentire (pur avendo giurato di non farlo), accusare altri di mentire – e tutto ciò senza mai dover cambiare lingua.
Ora, chiunque abbia una minima infarinatura logica può avvertire un pericolo. I logici sono eccezionalmente cauti nel distinguere due usi del linguaggio: uno immediatamente referenziale, con cui descriviamo il mondo, e uno invece metalinguistico, con cui parliamo del linguaggio stesso. Cosa succede quando questi due piani si mescolano?
Supponete che Pinocchio appaia lì, di fronte a voi. Vi fissa dritto negli occhi e, scandendo bene ogni sillaba, dice: “Io, in questo preciso momento, sto mentendo”. La domanda è: cosa accade al suo naso?
Come sanno tutti, il naso di Pinocchio è un rilevatore universale di menzogne: si allunga ogniqualvolta Pinocchio dice una bugia, e solo in quelle occasioni. Quel che vogliamo capire è come si comporta il naso di Pinocchio nel momento in cui annuncia che sta mentendo. La domanda è contorta. Però, a ben vedere, si dànno solo due ipotesi. Analizziamole una alla volta:
- Supponiamo che il naso di Pinocchio cresca. Allora vuol dire che sta mentendo – ma questo è precisamente quello che sta annunciando. Quindi Pinocchio non mente, e il naso non dovrebbe crescergli!
- Viceversa, supponiamo che il naso di Pinocchio non cresca. Ma allora dev’essere vero quello che dice – cioè, che sta mentendo – e quindi il naso dovrebbe crescergli!
Insomma, il naso di Pinocchio cresce se e solo se non cresce; eccoci di fronte al nostro primo paradosso. In altre parole: basta la sola logica a farci dedurre che Pinocchio (o perlomeno, il suo naso) non può esistere. La cosa preoccupante, però, è che simili paradossi non riguardano solo Pinocchio: qualsiasi parlante di qualsiasi lingua naturale può inciampare in un enunciato paradossale. Per esempio, supponete che adesso sia io a dirvi: “Sto mentendo”. La cosa non ha effetti particolari sul mio naso (che, in quanto naso ordinario, è indifferente alla verità o alla falsità di quel che dico). Ma, esattamente come nel caso di Pinocchio, l’enunciato fa a pugni con le nostre più elementari intuizioni logiche: è vero se e solo se è anche falso.
In generale, un paradosso semantico è una famiglia di enunciati a cui non si possono attribuire coerentemente i valori di verità classici (vero o falso). L’esempio canonico è appunto l’enunciato “sto mentendo”, noto anche come il paradosso del mentitore (o, per brevità, semplicemente come: il mentitore). La scoperta del mentitore è antichissima: risale almeno alla scuola megarica del IV secolo a.C., è stato menzionato da Aristotele e da Cicerone, e studiato poi estesamente da Buridano. È stato riscoperto e riesaminato svariate volte nella storia del pensiero, e non solo occidentale: appare nella filosofia buddista, in quella islamica, e perfino nel Nuovo Testamento (Tt, 1:12). Talvolta prende il nome di paradosso del cretese perché lo si attribuisce a un certo Epimenide, un cretese del VI secolo a.C. dai contorni biografici sfumati e semi-mitici: Diogene Laerzio narra che un pomeriggio Epimenide si addormentò in una caverna e dormì per cinquantasette anni filati – forse stremato dagli arrovellamenti indotti dal suo paradosso.
Oggi la teoria dei paradossi è un’area di ricerca particolarmente vivace che si colloca all’intersezione tra filosofia, matematica, e informatica, e che prova a capire fino a che punto il nostro linguaggio – ordinario o scientifico – possa essere protetto dal rischio di incoerenza. Nel resto di questo articolo:
- collezioneremo altri paradossi, discutendo alcune ragionevoli (ma frettolose) diagnosi della paradossalità;
- e poi vedremo come la matematica, da un lato, ci aiuta a rappresentare efficacemente i paradossi; dall’altro, impone dei severi limiti alle nostre possibilità di separare efficacemente le costruzioni linguistiche paradossali da quelle innocue.
Collezionare paradossi
Partiamo da una versione più asciutta del mentitore, che meglio si presta alle successive varianti. Diciamo che L (per liar) è un enunciato che predica la sua stessa falsità. Eccolo qui:
L: “L è falso”.
Si vede immediatamente che L è un paradosso: se fosse vero, allora dovrebbe essere vero ciò che dice, e quindi sarebbe falso. Viceversa, se L fosse falso, allora sarebbe vero l’enunciato “L è falso”, ma questo enunciato coincide appunto con L, che sarebbe quindi vero.
Come dovremmo reagire di fronte al mentitore? La prima tentazione è quella di non fare un bel niente, e sperare che i paradossi semantici siano anomalie isolate che non hanno effetti sul resto del linguaggio. Purtroppo non è così. Consideriamo la seguente variante del mentitore, DL (per disjunctive liar):
DL: “DL è falso oppure ognuno dei lettori di questo articolo mi donerà quindicimila euro”.
Sì, immagino che non abbiate la benché minima intenzione di donarmi quindicimila euro – perché mai dovreste? Vi capisco. Ma vediamo cosa dice la logica! La prima cosa da notare è che DL è una disgiunzione, e quindi è vera se e solo se è vero almeno uno dei suoi disgiunti. Esaminiamo allora i soliti due casi:
- Osservate che DL non può essere falso. Se lo fosse uno dei suoi disgiunti (il primo) sarebbe vero, e questo renderebbe automaticamente vero tutto DL.
- Resta una sola altra ipotesi: che DL sia vero. Solo che la verità di DL impone che almeno uno dei due disgiunti debba essere vero. Non può essere il primo (che afferma, al contrario, che DL è falso), e allora deve necessariamente essere il secondo.
E quindi sì, purtroppo per voi, la logica classica impone che sia vero che mi donerete quindicimila euro; chi poteva prevedere che leggere un articolo di Archimede fosse così oneroso?
Solo che, naturalmente, potreste rinfacciarmi lo stesso identico ragionamento per dimostrare che invece sono io a dovervi quindicimila euro (o qualsiasi cifra desideriate). Più in generale, infilare il mentitore in una disgiunzione sembra costringerci ad accettare giocoforza l’altro disgiunto pena la contraddizione – qualunque fatto questo esprima: che la Terra è piatta; che la Terra è piatta o rotonda, a giorni alterni; che 0 = 1; ecc.
Insomma, i paradossi semantici sono cariche esplosive piazzate nelle fondamenta delle lingue naturali: ignorarli è un gesto pericoloso. Esiste perlomeno un modo di quarantenarli? Ovvero, esiste una qualche spia della paradossalità (che ci sveli quali costruzioni linguistiche dobbiamo maneggiare con cura, e quali invece non sono pericolose)?
Tre diagnosi di paradossalità
Per argomentare che L è paradossale, abbiamo implicitamente fatto uso del cosiddetto principio di bivalenza (BV), che asserisce che ogni enunciato ha esattamente un solo valore di verità (o è vero o è falso, e necessariamente uno dei due). Questo suggerisce una prima diagnosi: potrebbe darsi che BV non valga incondizionatamente, e che in particolare non si applichi al mentitore.
Diagnosi I: I paradossi semantici sono una conseguenza (indesiderata) del principio di bivalenza.
Una diagnosi più accurata (e per diversi decenni dominante: almeno da Bertrand Russell [7] in poi) è che la paradossalità sia una conseguenza dell’autoriferimento; ovvero, che segua dall’aver permesso agli enunciati di mordersi la coda.
Ci si può però domandare se l’autoriferimento sia almeno una condizione necessaria per la paradossalità: è vero che impedendo l’autoriferimento i paradossi semantici scompaiono? Se guardiamo ai paradossi costituiti da più di un enunciato, la faccenda si fa leggermente più delicata:
Ciop: “Quel che dice Cip è vero”.
Oppure:
Quo: “Quel che dice Qua è falso”;
Qua: “Quel che dice Qui è falso”.
In questi due ultimi paradossi, l’autoriferimento esiste ma è indiretto: Cip non si riferisce a sé stesso, ma a Ciop, il quale però si riferisce a Cip. Possiamo includere anche questo genere di autoriferimento indiretto e approdare alla più robusta delle nostre diagnosi:
Diagnosi III: I paradossi semantici hanno tutti una natura circolare.
Ragionevole, no? Ecco la terapia: bandiamo la circolarità e avremo eliminato i paradossi. Senonché, nel 1993, Stephen Yablo [8] ha scoperto un paradosso semantico non-circolare. (Non tutti sono d’accordo che il paradosso di Yablo non sia circolare – qui un parere contrario: [6] – ma d’altra parte, in filosofia, il consenso universale è rarissimo.). Eccolo qui:
Paradosso di Yablo. Sia \(\mathcal{Y} := \{\mathbf{Y}_i : i\in \mathbb{N}\}\) la famiglia infinita di enunciati definita nel modo seguente. Per ogni \(i\in \mathbb{N}\),
Insomma, \(\mathcal{Y}\) è una collezione infinita di enunciati, ordinati come i numeri naturali, ognuno dei quali predica la falsità di tutti gli enunciati successivi. Perché questa famiglia di enunciati è paradossale? Beh, supponiamo che \(\mathbf{Y}_0\) sia vero. In questo caso, \(\mathbf{Y}_1\) dev’essere falso, il che impone che, per qualche \(i> 1\), \(\mathbf{Y}_i\) sia vero. Ma, affinché \(\mathbf{Y}_0\) sia vero, questo \(\mathbf{Y}_i\) dovrebbe essere anche falso – eccoci arrivati al paradosso. L’altra ipotesi è che \(\mathbf{Y}_0\) sia falso. Ma allora dev’esserci un qualche \(\mathbf{Y}_j\), con \(j>0\), che è vero; e allora basta ricondurci al caso precedente (stavolta con \(j\) nel ruolo di \(0\)) per ottenere un esito paradossale.
Quindi, anche la terza diagnosi è – nel migliore dei casi – parziale. Che fare?
Cenni di matematica dei paradossi
Scartate le diagnosi più naturali, ci si può chiedere se sia davvero possibile isolare i paradossi: cioè, se esista una qualche caratteristica che li separi nettamente dal resto del linguaggio. Cosa debba essere questa potenziale caratteristica è un aspetto che si presta a diverse formalizzazioni; qui basta osservare che ciò che separa i paradossi dalle altre costruzioni linguistiche non può essere, trivialmente, l’essere un paradosso. Il problema (seguendo [4] chiamiamolo CP, per characterization problem) è insomma quello di catalogare, per un qualsiasi linguaggio semanticamente chiuso \(\mathcal{L}\), tutte e sole le costruzioni linguistiche che generano i paradossi.
Per trattare CP, è ragionevole scegliere un linguaggio che sia abbastanza potente da esprimere una gran varietà di paradossi ma che sia meno vago delle lingue naturali. Una scelta comune [5,3] sono i cosiddetti \(\mathcal{F}\)-sistemi.
Figura 1: Il mentitore
Definizione. Un \(\mathcal{F}\)-sistema consiste (grossolanamente) di un dominio di enunciati \(\mathcal{S}\), ognuno dei quali può solo predicare la falsità di uno o più enunciati in \(\mathcal{S}\).
Figura 2: Il paradosso di Yablo
Il pregio di lavorare con gli \(\mathcal{F}\)-sistemi è che li si può identificare con dei grafi orientati che catturano, in modo ovvio, la loro struttura referenziale. Concretamente, associamo a un qualsiasi \(\mathcal{F}\)-sistema \(\mathcal{S}\) un grafo \(G_\mathcal{S}\) costruito nel modo seguente: l’insieme dei nodi di \(G_\mathcal{S}\) corrispondono agli enunciati di \(\mathcal{S}\), e poniamo un arco da \(\mathbf{u}\) a \(\mathbf{v}\) se e solo se l’enunciato \(\mathbf{u}\) predica la falsità di \(\mathbf{v}\). La Figura 1 mostra il grafo associato al mentitore; la Figura 2 mostra un frammento del grafo associato al paradosso di Yablo; la Figura 3, infine, mostra il grafo associato a una famiglia non-paradossale (si ottiene un assegnamento coerente per i due enunciati A e B rendendone uno vero e l’altro falso). Ecco quindi un fatto notevole: la paradossalità di un \(\mathcal{F}\)-sistema è legata a un concetto ben noto nella teoria dei grafi orientati.
Figura 3: Una famiglia non-paradossale
Definizione. Sia \(G\) un qualsiasi grafo orientato. Un insieme (non-vuoto) \(V\) di nodi in \(G\) è: indipendente, se tra qualsiasi coppia di nodi in \(V\) non esiste un arco; dominante, se per ogni nodo \(w\) in \(G\) ma fuori da \(V\) esiste un arco da \(w\) a un qualche nodo in \(V\); un kernel, se \(V\) è sia indipendente sia dominante.
Notate che il grafo in Figura 3 ha due kernel: \(\{\mathbf{A}\}\) e \(\{\mathbf{B}\}\). Invece, si vede immediatamente che il grafo associato al mentitore (Figura 1) è privo di kernel. E basta un minimo di ragionamento in più, per accorgersi che la stessa cosa vale per il paradosso di Yablo (Figura 2). Non è una coincidenza:
Proposizione [5]. Un \(\mathcal{F}\)-sistema è paradossale se e solo se \(G_\mathcal{F}\) è privo di kernel.
Questa corrispondenza è semplice da dimostrare, ma è concettualmente notevole: per linguaggi più espressivi degli \(\mathcal{F}\)-sistemi, l’analogo problema di descrivere quali grafi supportino costruzioni paradossali è tuttora aperto; si veda [1, Conjecture 4.24].
Solo che, di per sé, ci dice poco intorno a CP. D’accordo: le famiglie paradossali corrispondono esattamente ai grafi privi di kernel. Ma questa conoscenza ci può aiutare a quarantenare i paradossi solo se si accompagna a un metodo ragionevole per riconoscere se un grafo possiede o meno un kernel. Esiste un tale metodo?
A priori, si potrebbe pensare di provare a esplorare l’intero spazio dei sottografi di un dato grafo \(G\) e verificare se almeno uno di questi è un kernel. Ma questo approccio è disperato: i sottografi da esaminare sono semplicemente troppi. In particolare, se \(G\) è infinito ma numerabile (come il grafo associato al paradosso di Yablo), il numero di suoi sottografi è più che numerabile (ovvero, sono tanti quanti i numeri reali). Esiste un’altra strada? Un risultato di Bezem, Grabmayer, e Walicki [2,Theorem 4.2] ci dice, in sostanza, che no: il problema di stabilire se un grafo possieda o meno un kernel non può essere semplificato.
Estendendo il discorso alle famiglie di enunciati, questo risultato implica che non c’è alcun modo di stabilire se una data famiglia \(\mathcal{S}\) è paradossale – se non quello, generalmente impossibile da realizzare, di passare in rassegna tutti i possibili assegnamenti di valori di verità e verificare se almeno uno risulta coerente. Una conseguenza di tutto ciò è che, per famiglie infinite di enunciati, il problema è (altamente) indecidibile: non potrà mai esistere un computer o un’intelligenza artificiale che, ricevuta in input la descrizione completa di un’arbitraria famiglia \(\mathcal{S}\), determini in un numero finito di passi se \(\mathcal{S}\) è paradossale o meno.
Bibliografia
[1] Timo Beringer e Thomas Schindler: “A graph-theoretic analysis of the semantic paradoxes”. Bulletin of Symbolic Logic, 23.4 (2017): 442-492
[2] Marc Bezem, Clemens Grabmayer, e Michał Walicki: “Expressive power of digraph solvability”. Annals of Pure and Applied Logic, 163.3 (2012): 200-213
[3] Landon Rabern, Brian Rabern, e Matthew Macauley: “Dangerous reference graphs and semantic paradoxes”. Journal of Philosophical Logic, 42.5 (2013): 727-765
[4] Roy T. Cook: The Yablo paradox: An essay on circularity. Oxford University Press (2014)
[5] Roy T. Cook: “Patterns of paradox”. The Journal of Symbolic Logic, 69.3 (2004): 767-774
[6] Graham Priest: “Yablo’s paradox”. Analysis, 57.4 (1997): 236-242
[7] Bertrand Russell: “Mathematical logic as based on the theory of types”. American Journal of Mathematics, 30.3 (1908): 222-262
[8] Stephen Yablo: “Paradox without self-reference”. Analysis, 53.4 (1993): 251-252
