Nel dicembre 2018  è venuto a mancare il matematico belga Jean Bourgain, vincitore nel 1994 della medaglia Fields. Dalla teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali fino alla teoria dei gruppi, ha dato contributi in svariati ambiti della matematica. Intorno al 1984 Bourgain formula una congettura che non riuscirà mai a risolvere.

In matematica un insieme è detto convesso se, presi due suoi punti, il segmento che li unisce è tutto contenuto nell’insieme stesso. In dimensione 2, un cerchio lo è, mentre non lo è una cerchio con un buco.
Supponiamo di avere un insieme convesso in dimensione arbitraria n, di volume unitario. Vogliamo affettare questo insieme con un piano, come se il piano fosse un coltello. È possibile ottenere fette che abbiano tutte una (iper-)superficie estremamente piccola, oppure almeno una di queste fetta ha una misura abbastanza consistente?
Bourgain congettura che esiste una costante universale per cui c’è sempre una fetta di misura abbastanza consistente.

In dimensione 2, Bourgain presenta la congettura in modo esplicito, ma le difficoltà aumentano in dimensione maggiore, quando non riusciamo più a vedere direttamente gli oggetti geometrici.

Visualizziamo meglio il problema, usando la riformulazione di Ravindran Kannan, László Lovász e Miklós Simonovits, nota come congettura KLS, in onore dei tre matematici.Consideriamo come insieme convesso n-dimensionale una mela. Vogliamo tagliarla in due parti uguali, tenendo da parte una metà. Ma appena tagliata la parte esposta della mela rischia di diventare marrone. In che modo possiamo affettare la mela così da minimizzare la superficie esposta? I tagli possono non essere dritti, ma seguire delle curve particolari, anche abbastanza complicate.
I tre matematici congetturano che esista una costante universale per cui l’area della minima superficie ottenuta con un taglio dritto sia minore o uguale all’area della superficie ottenuta con un generico taglio, moltiplicata per questa costante.

I matematici Ronen Eldan e Bo’az Klartag hanno dimostrato che l’esistenza dalla costante della congettura KLS, indicata con \(d^0\), equivale all’esistenza di una superficie non-trascurabile nel problema di Bourgain di area almeno \(1/d^0\).  Le due congetture sono equivalenti.
Trascorrono diversi anni, ma Kannan, Lovász e Simonovits non trovano la costante. Ottengono solo una costante dell’ordine \(\sqrt{n}\), dove \(n\) è la dimensione dello spazio ambiente.

I matematici Santosh Vempala, del Georgia Institute of Technology, e Yin-Tat-Lee, della University of Washington, migliorano il risultato, ottenendo un fattore del tipo \(n^{1/3}\), utilizzando la tecnica della localizzazione stocastica. Dopo poco arrivano ad \(n^{1/4}\). Sembra che la strada sia giusta.  Iterando il metodo, Vempala e Lee presentano la dimostrazione in cui arrivano finalmente alla costante, ma pochi giorni dopo scoprono un errore nei loro calcoli.

Ed ecco che arriva la sorpresa. Nell’autunno 2020, Yuansi Chen, ricercatore in statistica presso lo Swiss Federal Institute of Technology di Zurigo, ottiene finalmente la costante cercato nell’articolo “An Almost Constant Lower Bound of the Isoperimetric Coefficiente in the KLS Conjecture”. Riesce ad aggirare l’ostacolo contro cui impattava la dimostrazione di Vempala e Yin-Tat-Lee, utilizzando la loro stessa tecnica di base. La costante universale è raggiunta e la congettura chiusa dopo quasi quarant’anni.

Vi starete chiedendo: come mai uno statistico ha considerato e poi risolto un problema così astratto?
Il motivo è che la congettura di Bourgain ha implicazioni nella teoria dei campionamenti casuali e lo sviluppo di efficienti algoritmi, che Yen utilizza nei suoi studi statistici.
Ancora una volta un problema matematico, apparentemente astratto, può avere ricadute sulla sue applicazioni, a tal punto da essere risolto da chi non l’ha conosciuto direttamente nella sua formulazione originale.

[Illustrazione di Luca Manzo]

Marco Menale