I modelli matematici hanno suscitato l’attenzione del grande pubblico nel corso dell’ultimo anno, con il progredire  della pandemia. Realizzare un modello significa osservare e studiare i dati di un fenomeno. Ma i dati sono sempre soggetti ad un errore di misurazione: per quanto siate precisi, non potrete mai misurare con infinite cifre decimali corrette la lunghezza del vostro tavolo. Ma allora come sono validate le nuove scoperte? Come sono trattati i dati?  Viene in soccorso una campana.

Siamo tra il XVIII ed il XIX secolo, e le osservazioni astronomiche procedono a passo sempre più spedito. Usando la legge di gravitazione universale, il fisico e matematico francese Pierre-Simon Laplace scrive i trattati “Exposition du système du monde” e “Mécanique céleste” in cui raccoglie tavole molte complete circa i moti dei pianeti del Sistema Solare e dei loro parametri orbitali, con un livello di precisione impressionante se pensiamo agli strumenti del tempo.

Ma non solo. Laplace ottiene un risultato significativo in probabilità.
Consapevole che misurazioni più approfondite sono maggiormente soggette ad errori, verifica una vecchia idea congetturata, in contesti diversi, dal matematico svizzero Jakob Bernoulli, uno dei tanti della famiglia di matematici Bernoulli, e dal matematico britannico Abraham de Moivre.

Per capire l’idea, facciamo un esempio: le altezze delle persone di sesso maschile.
Dalle osservazioni troviamo un valore medio di circa 178 cm. Le osservazioni mostrano che ci sono molti uomini che hanno un’altezza vicino a questo valore, e pochi che sono estremamente bassi o estremamente alti. In definitiva, è possibile descrivere i valori delle altezze con una curva che avrà un picco nel valore medio e decrescerà da entrambi i lati.

Questo procedimento può essere esteso alle misurazioni di vari fenomeni naturali, come intuisce Laplace per lo studio dei moti dei corpi celesti. Ripetendo molte volte l’esperimento , i dati, soggetti ad errore, si distribuiscono proprio come nel caso delle altezze delle persone intorno ad un opportuno valor medio. Se la descrizione è corrette, troviamo molti valori intorno alla media e pochi sugli estremi. L’idea di Laplace è che questa curva sarà molto simile a una curva universale: la distribuzione normale.

Il tedesco Carl Friedrich Gauss estende il discorso di Laplace dalle osservazioni astronomiche alla maggior parte dei fenomeni naturali.
Un fenomeno è descritto da un’opportuna distribuzione normale, o gaussiana proprio in onore del matematico tedesco, che si indica con . La media \(\mu\) indica la media dei dati coerenti con quella distribuzione e la varianza \(\sigma^2\)  ci dice quanto sono ampie le fluttuazioni rispetto alla media. In generale, la distribuzione normale è una curva regolare e continua con un picco nel centro, la media \(\mu\), e che scende dolcemente da entrambi i lati, ricordando la forma di una campana.  La funzione che la descrive è:

\[\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}.\]

Fissato un intervallo, la probabilità che una misura ricada in quell’intervallo è uguale all’area della porzione di piano compresa tra la normale e quell’intervallo. Più è ampio l’intervallo intorno alla media, maggiore è la probabilità che una misura ricada in quell’intervallo. La probabilità che una misura si discosti abbastanza dalla media è piccola. Nel caso precedente la probabilità di trovare persone estremamente alte o estremamente basse è piccola.

Molti fenomeni naturali sono ben descritti da distribuzioni normali.
Individuata la media \(\mu\)  e la varianza \(\sigma^2\), possiamo calcolare la probabilità che i dati ricadano in un dato intervallo. I calcoli mostrano che circa il 68% della probabilità si trova ad una distanza \(\sigma\) dalla media, ed il 95% ad una distanza \(2\sigma\). Questo significa che la probabilità che una misurazione differisca dalla media più di \(2\sigma\) si verifica solo nel 5% dei casi. Più lontano dalla media è un certo intervallo, più bassa è la probabilità che una misura ricada in quell’intervallo. Infatti la probabilità di differire dalla media di più di \(5\sigma\) è appena dello 0,00006%.
Calato nell’esempio delle altezze, una valore di \(3\sigma\) significa che solo nello 2,6% troveremo persone più alte di 208 cm o più basse di 148 cm.

La Scienza procede per tentativi ed errori, e la Matematica delle distribuzioni a campana valuta la validità delle nuove scoperte.

 

 

[Illustrazione di Luca Manzo]