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Una nuova mini-serie, fatta di video e articoli, di Alessandro Zaccagnini, matematico, esperto di teoria dei numeri, autore della fortunata serie “Dialogo sui numeri primi“, questa volta per raccontarci tante diverse dimostrazioni di un unico Teorema: 

Teorema (Euclide). Esistono infiniti numeri primi.

Questa è la terza puntata (le altre le trovi qui).


 

La dimostrazione di Goldbach

I numeri di Fermat

Pierre de Fermat ha considerato questa successione di numeri interi \[F_n = 2^{2^n} + 1 \qquad\text{per $n \ge 0$.}\] I primi valori sono \[F_0 = 3 \qquad F_1 = 5 \qquad F_2 = 17 \qquad F_3 = 257 \qquad
F_4 = 65\,537.\]
Questi cinque interi sono tutti numeri primi e Fermat ha congetturato che \(F_n\) sia un numero primo per ogni \(n \ge 0\). Se questa congettura fosse vera avremmo una nuova dimostrazione del Teorema di Euclide. Purtroppo è stata confutata da Eulero: infatti \[F_5 = 2^{32} + 1 = 641 \cdot 6\,700\,417.\] Oggi si conoscono solo questi cinque numeri di Fermat primi; si sa che \(F_n\) è composto per \(n = 5\), \(6\), …, \(32\). Di alcuni di questi numeri si conoscono fattorizzazioni parziali, e di altri si sa che sono composti senza conoscerne fattori primi.

I numeri di Fermat sono primi fra loro

Il punto di partenza della dimostrazione di Goldbach con i numeri di Fermat è questa osservazione: per ogni \(n \ge 0\) si ha \[F_{n + 1} = F_0 \cdot F_1 \cdots F_n + 2.\] Per esempio \[F_4 = 3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257 + 2 = 65\,535 + 2 = 65\,537.\] Questo implica che \[\text{mcd}(F_n, F_m) = 1 \qquad\text{se $n \ne m$.}\] Infatti, l’identità qui sopra dà immediatamente che se \(n < m\) allora \(F_n \mid F_m – 2\) e quindi per l’Algoritmo di Euclide \[\text{mcd}(F_n, F_m) = \text{mcd}(F_n, 2) = 1.\] Nell’ultimo passaggio usiamo il fatto che tutti i numeri di Fermat sono dispari.

La dimostrazione di Goldbach con i numeri di Fermat

Goldbach ha osservato che possiamo associare ad ogni intero \(n\) l’insieme \(\mathcal{F}_n\) dei fattori primi di \(F_n\).

Questi insiemi sono disgiunti fra loro e quindi esistono infiniti numeri primi!

Alessandro Zaccagnini

 

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