Spesso la realtà sembra sfuggire ad una descrizione matematica, ma è la matematica stessa che ce ne rivela in modo più profondo la complessità. Da Lorenz al Covid-19, Marco Menale, dottorando in matematica presso l’Università degli Studi della Campania “Luigi Vanvitelli”, riflette sulla difficoltà di predire in modo affidabile l’evoluzione dei fenomeni complessi.​

[Originariamente pubblicato il 23 maggio 2020]

Aprile 2017. Da pochi mesi avevo cominciato il Dottorato di Ricerca. Mi ritrovo a parlare di applicazioni fisiche del calcolo differenziale nel corso di un seminario d’orientamento in un Liceo Scientifico. Come spesso capita in questi casi, un ragazzo più sveglio degli altri mi chiede: “Scusi, ma davvero serve questa roba, ora che abbiamo Wikipedia a portata di mano? Dove stanno tutte queste equazioni complicate nella vita di tutti i giorni? E che cambia rispetto ad Internet?”. Ero agli inizi, con poca esperienza. Mi sono rimesso sulle mie slide, promettendomi di dare una risposta alla fine della presentazione.

Da quel momento ho cominciato a pensare all’importanza della matematica e, soprattutto, all’importanza di una divulgazione efficace. Come può uno che fa ricerca su modellistica di sistemi complessi mostrare ai non-addetti ai lavori il valore della matematica in questo mondo iper-connesso? E ho pensato: potrei raccontare la storia di Edward Norton Lorenz.

(Prima di parlarne, vorrei dire che non si tratta dell’altro LorenTz, il fisico noto per l’omonima forza nei campi elettromagnetici. Questa precisazione mi è doverosa, vista la risposta ricorrente alla domanda, rivolta agli studenti delle scuole secondarie: “Conoscete Lorenz?”. E loro, in coro: “Si, quello della forza in un campo magnetico”. Ed io: “Ok, non lo conoscete!”)

Edward Norton Lorenz è stato un matematico e meteorologo statunitense che come pochi ha mostrato l’importanza della matematica per descrivere la realtà nella sua complessità, evidenziando tutte le difficoltà operative e concettuali di un tale procedimento. Lo studio continuo e la ricerca sono stati il motore centrale di questa sfida, e continuano ad esserlo ancora oggi.

Dopo gli studi universitari ad Harvard, Lorenz lavora come meteorologo per l’esercito americano nel corso della seconda guerra mondiale. Dalle corrette previsioni meteorologiche poteva dipendere la previsione dell’arrivo degli aerei avversari e l’allestimento di appropriati sistemi di difesa. Tuttavia i modelli sviluppati all’epoca presentavano margini di errore sempre molto ampi: si prevedeva pioggia, ed ecco un bella giornata di sole. Eppure le cose non sono cambiate oggi: chi si fida di previsioni oltre i 2/3 giorni? Ma su questo punto torneremo a breve.

Finito il conflitto, Lorenz continua con i suoi studi concentrandosi in particolare su una domanda: “Perché è così difficile fare previsioni meteorologiche?”. Lorenz è consapevole del gran numero di variabili che descrivono la circolazione atmosferica: pressione, temperatura, volume, umidità, irraggiamento, periodo dell’anno, inclinazione dell’asse terrestre, temperatura superficiale delle acque, per non parlare dei tanti parametri biofisici legati alla vita sulla terra. I suoi sforzi si concentrano allora sullo sviluppo di un modello abbastanza compatto da poter ben rappresentare il problema. Lorenz mostra allora che, a causa della complessità delle variabili in gioco, non è sufficiente conoscere le singole grandezze per la descrizione di un fenomeno. Bisogna conoscere la reciproca interazione tra le grandezze, come nel caso della circolazione atmosferica per fare previsioni meteorologiche.

La Matematica ha da sempre avuto un ruolo descrittivo. Sin a partire dal periodo egizio, la matematica, o meglio la geometria, è l’arte di ripartizione delle terre secondo i dettami immutabili del faraone. Eppure, con Lorenz, si apre un nuovo capitolo: la Modellistica Matematica dei fenomeni complessi. Non si tratta più di una descrizione esclusivamente astratta. Il processo prevede: osservazione, raccolta dati, scrittura ed analisi del modello, validazione computazionale. È un’estensione con nuovi mezzi di quella che per secoli i matematici hanno fatto per via puramente astratta.Può il batter d’ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas?

Siamo negli anni ’60, quando Lorenz, utilizzando un modello che rappresenta la dinamica convettiva di un fluido, tenta di descrivere la circolazione atmosferica mediante un sistema di tre equazioni differenziali, in tre variabili, del primo ordine in forma normale; equazioni dipendenti da alcuni parametri fisici. “Ridotto il numero di variabili (la complessità), tutto dovrebbe essere più semplice da gestire”, pensa Lorenz.

Utilizzando delle simulazioni con dei supercomputer (del tempo, si intende), il meteorologo statunitense osserva uno strano comportamento, qualcosa di nuovo e sorprendente. Lasciando inalterati i termini delle equazioni, ma cambiando il dato iniziale da cui si avvia la simulazione, si osservano risultati finali completamente diversi. Una piccola oscillazione su quei numeri può portare ad un grande errore.

Con quelle simulazioni Lorenz ha scoperto quello che oggi chiamiamo il “comportamento caotico”. Ed è un comportamento tipico del sistema d’equazioni considerato, al di là del suo contenere o meno tante variabili. Difatti, nel suo caso, le equazioni differenziali sono appena tre, come tre sono le variabili.

Per confronto, consideriamo la caduta di un grave. Lascio cadere da una mano una biglia metallica. Conoscendo la posizione iniziale e trascurando l’attrito, conosco perfettamente il tempo che impiegherà a toccherà il suolo, utilizzando le equazioni del moto parabolico. Seppure dovessi sbagliarmi di qualche millimetro sulla posizione iniziale, non sarebbe questa una tragedia, dato che sbaglierei la previsione di qualche centesimo di secondo.

Per le previsioni meteorologiche no! Un errore sui dati rilevati, ed ecco che si prevede una giornata di pioggia, quando, in realtà, vi sarà il sole. Quest’aspetto è indipendente dal grande numero di parametri, ma è intrinseco al modello che lo descrive. Nell’odierna teoria dei sistemi dinamici vi è un coefficiente che calcola l’efficacia delle previsioni: il coefficiente di Ljapunov. Ecco perché fare le previsione meteorologiche è così difficile.

Ma la storia continua. Siamo nel 1963. Lorenz propone un articolo di grande successo “Deterministic nonperiodic flow”. Si trattano sistemi di equazioni differenziali con soluzioni che non hanno periodicità, ossia non si ripetono con alcun ritmo di tempo. Ed è proprio in questo lavoro che scrive, relativamente alla meteorologia: “Un meteorologo ha affermato che se questa teoria fosse corretta allora anche un solo lembo di un’ala di un gabbiano potrebbe alterare il tempo (meteorologico) per sempre. La cosa non è stata smentita, eppure, fino ad ora, sembra aver ragione il gabbiano”. L’ala del gabbiano diventa poi il più famoso battito d’ali della farfalla.  Si arriva al 1972, quando Lorenz intitola così una sua conferenza: “Può il batter d’ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas?” Al di là dell’effetto sbalorditivo ed accattivante, il battere d’ali lo si può leggere come il piccolo errore sui dati iniziali, mentre il tornado in Texas come l’amplificazione dell’errore sul risultato finale.

Gli studi di Lorenz hanno posto le basi della modellistica matematica del giorno d’oggi. La si può rivedere come il più diretto e forte tentativo di studiare il mondo, di scandagliare tutta la matematica che si nasconde nello studio della quotidianità.  Si è partiti dalla meteorologia, ma nella società dei “Big Data”, non vi è disciplina che non passi sotto l’analisi della matematica, che non necessiti di modelli per afferrare le sue più profonde dinamiche.

Con Lorenz si definiscono le quattro fasi del processo della modellistica matematica computazionale moderna. In una prima fase si osserva il fenomeno che si intende descrivere: economico, fisico, biologico, chimico, medico et similia. Dopo questa prima fase, si avvia la raccolta dei dati, relativamente a ciò che si sta osservando. L’era dei Big Data consente di avere a disposizione un’enorme mole di dati, in continuo aggiornamento, che può essere utilizzata per meglio comprendere il fenomeno, prima, e per la fase computazionale, poi. Definite le idee, è il momento in cui il Matematico con carta e penna si occupa di scrivere il modello. In generale si tratta di sistemi di equazioni differenziali di un certo ordine, strutturate tra variabili e parametri che dipendono dal particolare sistema descritto. Il Matematico segue con lo studio delle proprietà del sistema, ed è proprio in questo momento che servono le più svariate conoscenze: dall’algebra e la geometria, passando per l’analisi. Ne valuta, poi, complessità ed eventuali comportamenti caotici. Infine, con l’utilizzo dei computer (supercomputer, per la precisione), si cerca di validare il modello, per capire se davvero le equazioni scritte descrivono il fenomeno indicato. In questa fase, le simulazioni numeriche, forti dell’analisi fatta nella fase precedente, consentono di capire quanto stabile sia questo modello, da un punto di vista prettamente numerico.

E da Lorenz, arriviamo al giorno d’oggi, lungo tutti i problemi che la realtà ci pone di fronte, calati nelle diverse discipline. Sono i giorni del Covid-19, o Coronavirus, o, meglio, stando ai termini tecnici, SARS-Cov-2. In questi mesi di “quarantena” si è fatto un uso intenso dei modelli matematici che descrivono lo sviluppo delle epidemie virali, così da poterne prevedere picchi e comportamenti da adeguare. In questo settore il modello più usato è SIR (acronimo di Susceptible, Infectous, Recovered). Nella sua forma più di base è un sistema di tre equazioni differenziali ordinare del primo ordine, in tre variabili, la cui evoluzione dipende da parametri che hanno a che fare, oltre che con le proprietà del virus in questione, con i comportamenti della popolazione. Quanti si sono chiesti, in questi drammatici giorni: “come evolverà il modello?”. Ci sono state stime dei picchi, ma anche in questo caso la dipendenza dal parametro fa la differenza, determinando cosa accadrà al comportamento della curva soluzione. Stesso discorso si fa per valutare l’efficacia di un farmaco, l’andamento dei mercati, l’evoluzione di un sistema socio-economico, il moto di un fluido, l’ottimizzazione del traffico veicolare e tanto altro.

E Lorenz? Lorenz ha continuato a lavorare sui sistemi caotici della meteorologia sino al 2018, anno della sua morte. Nel 1983 è stato insignito del famoso “Premio Crafoord”, un parente stretto del più rinomato “Nobel”, ma volto a favorire ricerca e progetti di ricerca. Nel 2011, il “Centro di Ricerca Lorenz” è stato inaugurato al MIT, per omaggiare il grande meteorologo e anche per dar frutto alle sue idee, pioneristiche ed anticipatrici.

Questa storia lascia un’importante eredità al giorno d’oggi. La matematica non è un “vocabolario di formule”, ed i matematici non sono conoscitori di uno sterile elenco telefonico con cui martoriare studenti di ogni ordine e grado. La matematica è comprensione della realtà, capacità di scrivere modelli che descrivono (o almeno si spera, e mai come in questo periodo) i fenomeni del mondo che ci circonda. Da quel momento comincia anche una ricerca di bellezza della forma, una sintesi sempre più consolidata, ma solo dopo che i teoremi sono stati dimostrati.  Ogni problema richiede strumenti diversi; strumenti che possono essere già noti, oppure da inventare, e da studiarne con le loro proprietà. Ed ecco il parto di nuove teorie.  Né Newton né Leibnitz, citando la storica battaglia, si svegliarono una mattina, di sana pianta, e decisero di complicare le cose con il calcolo differenziale.

Ah, dimenticavo. Cosa risposi a quel ragazzo alla fine del seminario? “Stai scrivendo un messaggio, vero?”, chiedo curioso. “Sì, mi organizzo per stasera con la mia ragazza.”, risponde con un sorriso malizioso, mettendo rapidamente da parte lo smartphone. “Ecco, ringrazia la Matematica se riesci ad inviare così velocemente un messaggio per la tua serata in dolce compagnia.”

Marco Menale

Marco Menale