Un’applicazione piuuttosto insolita della teoria dei giochi e del teorema di Gale e Shapley, è quella dell’ottimizzazione dei trapianti di rene. Ce lo racconta Giorgio Rivieccio, giornalista e curatore della collana Rivoluzioni matematiche del mensile Le Scienze.

La matematica e la medicina sembrano, a prima vista, universi molto distanti; in realtà sono più compenetrati di quanto si pensi. Oltre agli esempi classici della statistica, c’è un ricorso sempre maggiore alla matematica superiore e quindi alle applicazioni di teoremi e algoritmi che richiedono innanzitutto un pensiero matematico per lo sviluppo o l’applicazione di tali strumenti a fenomeni di complessità sempre maggiore a mano a mano che le conoscenze biomediche si approfondiscono. Senza contare che negli ultimi decenni la biologia, la genetica, la diagnostica, la prevenzione e le terapie stanno evolvendosi in discipline che richiedono interventi mirati al singolo paziente, il che significa dover affrontare un numero sempre più alto di variabili fisiologiche, legate alla specificità del singolo organismo. Si è sviluppata così una collaborazione tra matematici e medici, biologi e quanti lavorano nell’organizzazione sanitaria.

Fioriscono così le applicazioni di strumenti matematici nati per tutt’altro: teorie dei giochi evolutivi per studiare l’interazione della chemioterapia con le cellule tumorali; geometria riemanniana per la ricostruzione di immagini diagnostiche; teorema di Bayes, adottato in passato per l’identificazione delle cause più probabili del tumore al polmone e oggi per stabilire la probabilità condizionata di presenza/assenza di una malattia infettiva basata sulla percentuale di specificità dei relativi test.

Una delle frontiere più interessanti, e ormai consolidata, è uno sviluppo della teoria dei giochi per abbinare pazienti e donatori nelle liste d’attesa dei trapianti di rene, che è adottato anche in Italia. Si tratta del teorema del matrimonio stabile di David Gale e Lloyd Shapley, quest’ultimo premiato col Nobel per l’economia nel 2012. Del teorema, e di questa applicazione nei trapianti di rene, si parla nel volume Teorema del matrimonio stabile di Roberto Lucchetti in uscita a fine febbraio nella collana Rivoluzioni matematiche del mensile Le Scienze, maggiori info qui.

Il teorema di Gale-Shapley nacque nel 1962 per abbinare gli studenti alle facoltà universitarie statunitensi in modo che ciascuno di essi potesse trovare una sistemazione soddisfacente anche se il più delle volte non sarebbe stata quella in cima ai suoi desideri. E afferma: dato un qualsiasi problema di abbinamento tra due insiemi della stessa cardinalità, esiste sempre almeno un abbinamento stabile. La dimostrazione avviene tramite algoritmi.

Il teorema deve il suo nome a un problema di immediata comprensione ma in realtà irrealistico – e che non ha mancato di suscitare critiche quale esempio di misoginia o misandria a seconda dal lato con cui lo si considera – relativo all’abbinamento tra un gruppo di uomini e uno di donne.

Ecco un esempio con quattro donne (A, B, C, D) e quattro uomini (a, b, c, d). Ciascuno fa una lista di preferenze. Sono gli uomini a fare le proposte (scelta casuale) e le donne possono accettarle o rifiutarle.
Ecco le preferenze, in ordine:

a: D, A, C, B
b: A, C, D, B
c: C, D, B, A
d: D, A, C, B

A: a, c, d, b
B: d, a, b, c
C: c, b, d, a
D: b, d, c, a

Le donne A e C, che hanno ricevuto una sola proposta, tengono il loro candidato in sospeso. La donna D ha la scelta tra a e d, quindi sceglie d perché più in alto nelle sue preferenze. Nella seconda fase, gli uomini rifiutati si propongono alla successiva scelta nelle loro preferenze. In questo caso l’uomo a fa la proposta alla donna A. La donna A ha ora due proposte e quindi rifiuta l’uomo b in favore dell’uomo a. Nella fase successiva, b fa la proposta alla donna C, che lo rifiuta in favore dell’uomo c. L’uomo b si propone questa volta alla donna D, che rifiuta l’uomo d in suo favore. L’uomo d poi fa la proposta alla donna A, che lo rifiuta, alla donna C, che lo rifiuta, e infine alla donna B, che finora non aveva ancora ricevuto una proposta. Lei quindi accetta d, e a questo punto tutte le donne hanno ricevuto almeno una proposta e quindi l’algoritmo termina con ogni donna che accetta l’uomo che in quel momento sta tenendo in sospeso. Quindi l’assegnazione stabile degli accoppiamenti è Aa, Bd, Cc, Db.

Nel tempo, il teorema di Gale-Shapley è stato impiegato anche in Europa e in Cina nell’ambito della sistemazione di studenti in scuole (da quelle inferiori alle università) o di candidati in diversi posti di lavoro, e perfino di rabbini nelle sinagoghe. Finché nel 2002, negli Stati Uniti, non si è pensato di utilizzarlo nei trapianti di rene, i più diffusi in questo campo. Il rene, infatti, consente di essere prelevato anche da un donatore vivente e la lista dei candidati riceventi è molto più affollata che per altri organi (in Italia, a oggi, quasi 6000 rispetto ai 1000 per il fegato e 600 per il cuore). Come in tutti i trapianti, deve esserci un elevato grado di compatibilità immunologica tra donatore e ricevente, a iniziare dal gruppo sanguigno per continuare con molti altri parametri biologici, nonché l’età e la gravità della situazione clinica del paziente.

Così, al posto delle preferenze tra ragazzi e ragazze c’è una serie di requisiti che permette di stabilire una lista di priorità, cioè una classifica, senza pareggi, tra i pazienti. Ovviamente questo viene fatto seguendo logiche mediche (per esempio si privilegiano i pazienti con gruppo sanguigno 0, recettore universale, che può ricevere sangue e organi da qualsiasi donatore), quelli in condizioni più gravi, quelli da più tempo in lista d’attesa e così via. Inoltre, sono presenti coppie donatore-ricevente, che magari non sono compatibili o lo sono poco: in questi casi le coppie vengono “separate” in modo che ogni donatore possa essere avviato verso un ricevente più compatibile e il donatore di quest’ultimo verso un altro paziente.

Alla fine si creano dei grafi in cui per esempio il donatore 1 dà il rene al paziente 2 e il donatore 2 a un altro paziente il cui donatore è a sua volta indirizzato verso un altro ancora. Talvolta queste catene si chiudono (ne esistono casi anche in Italia), cosicché si forma un ciclo che permette di soddisfare tutti. Altrimenti bisogna inserire altre coppie tenendo conto delle seconde scelte e così via, oppure donatori deceduti, mentre il partner del paziente ricevente dona il suo organo alla lista d’attesa. Infine, possono entrare in questo meccanismo anche i cosiddetti “samaritani”, individui – presenti anche nel nostro Paese – che decidono di donare alla lista d’attesa un rene senza avere nulla in cambio, essendo privi di un partner ricevente.

Come dice Lucchetti nel libro, negli Stati Uniti parecchi ospedali fanno riferimento a un registro che in media contiene 200-350 coppie donatore-ricevente. Con questi dati, nel caso in cui tutte le coppie fossero compatibili, si potrebbe arrivare a 10.100 di possibili catene di massimo 20 trapianti ciascuna. Essendo la situazione reale diversa, il programma elimina tutti quegli abbinamenti incompatibili per cause diverse, come l’incompatibilità dei gruppi sanguigni o degli anticorpi, tenendo anche conto delle richieste dei candidati al trapianto che possono riguardare l’età del donatore (per esempio, se il paziente è giovane, desidererebbe che l’organo provenisse da una persona giovane come lui). Il programma quindi produce fino a 1 milione di combinazioni possibili a un ritmo di 8000 al secondo. Queste vengono classificate sulla base di una serie di parametri, che tengono conto del periodo già trascorso da un paziente in lista d’attesa o della sua situazione immunologica che rende più difficile trovare un donatore adatto.

Si tratta dell’ennesima prova che la matematica è sempre più ubiquitaria. Non solo, ma una riprova che più un sistema diventa complesso più ha bisogno di matematica, a prescindere da quali siano il suo ambito e le sue applicazioni.

Giorgio Rivieccio