La congettura ABC: un giallo (ancora) avvolto nella nebbia

On December 21, 2015

A che punto siamo con la dimostrazione della congettura ABC? Quello che viene definito, dai media, uno dei più grandi "gialli" della matematica potrebbe essere sul punto di risolversi? Prima di sapere chi è l'assassino o se siamo almeno vicini a scoprire chi sia, facciamo qualche passettino indietro a beneficio della memoria collettiva. In un caldo agosto di tre anni fa, il matematico Shinichi Mochizuki dell'Università di Kyoto in Giappone, pubblicava su web quattro articoli in cui, in oltre 500 pagine, sosteneva di aver dimostrato la "congettura ABC" (ce ne parla bene René Schoof in questo articolo).

Si tratta di un problema proposto per la prima volta da Joseph Oesterlé e David Masser nel 1985 e che, se risolto, potrebbe potenzialmente cambiare il volto della teoria dei numeri. La congettura è definita in funzione di tre numeri interi positivi a,b,c (da cui deriva il nome), privi di fattori comuni diversi da 1, e che soddisfino la relazione a+b=c. Se d è definito come il prodotto dei fattori distinti di abc, la congettura, essenzialmente, afferma che raramente d è molto più piccolo di c.

E veniamo ora alle indagini sull'assassino del quale, finora, sappiamo solo che frequenta l'Hodge Theatre (questa la capiscono solo gli esperti delle bizzarrìe di Mochizuki, che ha chiamato "Hodge Theatre" una delle costruzioni teoriche da lui create e usate nella dimostrazione). Mochizuki ha trovato il colpevole? Ce l'ha fatta a dimostrare la congettura ABC? Nì. O meglio, non si sa: ancora nessuno è stato in grado di capire chiaramente se la sua dimostrazione sia esatta oppure no. Dal 7 all'11 dicembre scorso, i maggiori specialisti del settore si sono riuniti all'Università di Oxford, per un workshop organizzato dal Clay Mathematics Institute, per cercare di raccapezzarsi.

Mochizuki, fedele alla sua fama di uomo schivo e riservato, non ha assistito fisicamente all'ennesimo esame del suo monumentale (almeno per quanto riguarda le dimensioni) lavoro, ma ha gentilmente risposto ad alcune domande in collegamento via Skype. Il contenuto dei suoi articoli è stato presentato in gran parte da due ricercatori nel campo della teoria dei numeri, Yuichiro Hoshi e Go Yamashita, che sostengono di aver controllato la dimostrazione nella sua interezza.

A furor di popolo, il momento clou del workshop è stato quello della conferenza del 9 dicembre tenuta da Kiran Kedlaya, geometra aritmetico dell'Università della California che ha parlato di un risultato del 2008 di Mochizuki in cui si collegava la congettura ABC con alcuni argomenti topologici - un collegamento ritenuto passo cruciale nella strategia di Mochizuki nella dimostrazione della congettura. "Ah ecco, allora è tutto chiaro!" hanno probabilmente osservato tra sé e sé esperti in teoria dei numeri come Brian Conrad della Stanford University [qui  c'è un piccolo racconto del workshop]; purtroppo Conrad e colleghi hanno dovuto successivamente ammettere che dopo l'iniziale, speranzoso, entusiasmo il materiale di Mochizuki si è nuovamente presentato in tutta la sua astrusità e difficoltà di interpretazione. A un passo avanti sono seguiti tre passi indietro, se si aggiunge poi il fatto che i matematici giapponesi, rispetto agli occidentali, hanno uno stile più formale durante i loro seminari.

Insomma, finora purtroppo ci sono ancora tante nebbie da diradare. Gli esperti si incontreranno per scrivere un altro capitolo del giallo a luglio, a Kyoto. Scopriremo chi è l'assassino? E, soprattutto, qualcuno ha controllato l'alibi del maggiordomo?

[in foto: Marty e Rust leggono, perplessi, la dimostrazione di Mochizuki]

Stefano Pisani

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