Un modello matematico semplificato per illustrare i movimenti convettivi nei fluidi è il sistema proposto nel 1877 da Joseph Boussinesq, ritenuto comunemente abbastanza realistico rispetto alle evidenze sperimentali. Alcune ricerche recenti hanno però fatto emergere alcuni problemi legati a questo modello. Ce ne parla uno degli autori di queste ricerche, Lorenzo Brandolese, ricercatore di matematica presso l’Institut Camille Jordan, Université Lyon 1, a Villeurbanne, Francia.

Alcune delle leggi fondamentali della fisica (meccanica newtoniana, conservazione della massa, ecc.), applicate a dei sistemi continui come i fluidi in movimento, si traducono matematicamente in equazioni piuttosto complesse, dette « alle derivate parziali ». Nei casi più semplici, le incognite di tali equazioni sono essenzialmente due: il campo di velocità, ovvero la velocità di ciascuna particella di fluido in un dato istante ed in punto dello spazio, e la pressione. In molte questioni di idraulica, per esempio, velocità e pressione caratterizzano completamente il comportamento dell’acqua.

Vari aspetti fondamentali della meccanica dei fluidi sono stati capiti fin dall’antichità (si pensi al celebre principio di Archimede) e numerosi i trattati di idraulica, già nel XVII secolo, descrivevano in modo corretto il comportamento dei fluidi in varie situazioni di interesse pratico. Ma i primi tentativi di modellizzare matematicamente in modo completo la dinamica dei fluidi sono più recenti: in una celebre memoria del 1757, Eulero ottenne un sistema di equazioni che oggi portano il suo nome e che sono tuttora l’oggetto di molte ricerche. Tuttavia, le equazioni di Eulero sono corrette solo per i cosiddetti fluidi perfetti, risultando invece inadeguate per descrivere il movimento della quasi totalità dei fluidi reali. I limiti di tali equazioni furono  osservati quasi subito: al celebre paradosso di D’Alembert (1752), secondo il quale, se i moti dell’atmosfera fossero veramente governati dalle equazioni di Eulero, non sarebbe possibile agli uccelli di volare, fu data una spiegazione soddisfacente soltanto dopo vari decenni. Furono gli studi di Saint-Venant, Navier e Stokes che permisero di completare le equazioni de Eulero con un termine supplementare, che traduce matematicamente gli effetti della viscosità del fluido. Le equazioni di Navier-Stokes (1830) sono oggi considerate le equazioni fondamentali della meccanica dei fluidi.

Per scrivere per esteso le equazioni di Navier-Stokes basterebbero, almeno nel caso più semplice dei fluidi di densità costante, solo un paio di linee. La loro espressione non è particolarmente complicata. Ciò è abbastanza sorprendente, se si pensa a quanto possa essere complicato e imprevedibile il movimento in un fluido in presenza di turbolenze. La difficoltà di queste equazioni risiede, piuttosto, nel capire come si comportano le soluzioni. Purtroppo le soluzioni esatte non si conoscono se non in circostanze molto particolari. In pratica, si cerca allora di prevedere alcune proprietà significative della soluzioni (e quindi del comportamento del fluido a livello macroscopico) senza conoscere come sono fatte analiticamente.

Aggiungiamo a questo fatto che, nel caso di molti fluidi reali, lo studio della velocità e della pressione non basta a comprendere il flusso. Infatti, altri fattori (variazioni di temperatura, di densità o di viscosità, effetti elettromagnetici, ecc.) possono intervenire, influenzando in modo determinante la dinamica. In questo caso, non è possibile conoscere il campo di velocità di un fluido senza studiare simultaneamente l’evoluzione di tali fattori. Altre equazioni, con altre incognite, vengono allora a completare il sistema di equazioni iniziale.

Per esempio, i movimenti di convezione in un fluido sono dovuti al fatto che la temperatura influenza la densità del fluido: le porzioni di fluido più vicine a fonti di calore si scaldano, diventano meno dense e tendono a sollevarsi, mentre le porzioni di fluido più fredde sono più dense e tendono a spostarsi verso il basso. L’analisi matematica della convezione in un fluido richiede di allora « accoppiare » le equazioni di Navier-Stokes con altre equazioni a derivate parziali. Un modello matematico semplificato per illustrare i movimenti convettivi è il sistema di Boussinesq, proposto da Joseph Boussinesq nel 1877.

L’approssimazione di Boussinesq assume in primo luogo che le variazioni di densità siano proporzionali alle variazioni di temperatura e che il fluido abbia una capacità termica costante per unità di volume. Ma nonostante queste ipotesi semplificatrici, il sistema di equazioni che si ottiene rimane difficile da analizzare. Perciò, l’approssimazione di Boussinesq prende in considerazione le variazioni effettive di densità nel fluido solo in alcuni dei termini che figurano nelle varie equazioni, trascurandone altri: per esempio, nell’equazione che traduce la conservazione della massa, la densità è trattata come una costante, ma la stessa densità è trattata come una variabile nei termini che esprimono le forze convettive orientate verticalmente.

Nonostante tutte queste approssimazioni, il sistema di Boussinesq rimane il modello di riferimento per molti problemi di convezione e le predizioni che possono essere fatte tramite uno studio approfondito di questo sistema sono, in molte situazioni, in buon accordo con i dati sperimentali. Per questo motivo, l’approssimazione di Boussinesq è ritenuta un modello valido per descrivere i fenomeni di convezione.

Alcune ricerche recenti, tuttavia, hanno messo in evidenza alcuni limiti, inaspettati, di questa approssimazione. L’analisi delle soluzioni del sistema di Boussinesq ha mostrato infatti che, per tempi molto lunghi, si ottengono delle conclusioni fisiche irrealistiche sul fenomeno della convezione! Queste ricerche ribaltano completamente alcuni dei risultati che erano stati ottenuti negli anni novanta.

Vediamo meglio di che cosa si tratta. L’energia cinetica totale è una delle grandezze più significative per una descrizione macroscopica di un fluido in movimento. Questa energia potrebbe essere facilmente calcolata (almeno in teoria) conoscendo il campo di velocità. Tuttavia, ricordiamo che il campo di velocità non è conosciuto in modo esplicito, visto che la soluzione esatta delle equazioni non si conosce. Fortunatamente, gli specialisti delle equazioni della meccanica dei fluidi sanno come superare, almeno in parte, questo ostacolo ed effettuare alcune predizioni su come l’energia del fluido varierà con l’andare del tempo.

Prendiamo, per esempio, il caso più semplice di un fluido con densità costante, il cui movimento è governato quindi dalle equazioni di Navier-Stokes. Se non ci sono forze esterne che agiscono sul fluido, si sa che l’energia cinetica si dissipa (diminuisce) con il passare del tempo. La diminuzione dell’energia cinetica è quantificabile grazie ad una « stima a priori », ottenibile direttamente dalle equazioni: si tratta della cosiddetta disuguaglianza dell’energia. L’immensa portata della disuguaglianza dell’energia fu messa in evidenza negli anni trenta dal matematico francese Jean Leray, a cui si può far risalire l’analisi matematica della meccanica dei fluidi con metodi moderni. Ciò che però la disuguaglianza dell’energia non ci dice, e che non è ovvio, è se l’energia, dopo un tempo molto lungo, si dissipa fino ad annullarsi. O, detto in altre parole, se, in assenza di azioni esterne, i soli effetti della viscosità sono sufficienti per rallentare indefinitamente il movimento nel fluido, nella sua globalità. Questa domanda fu posta da Leray nella conclusione del suo fondamentale articolo del 1934. La risposta, affermativa, fu data da due matematici giapponesi negli articoli [4] e [5], ma solo cinquanta anni dopo!

Ritorniamo allora ai problemi di convezione, e più precisamente all’approssimazione di Boussinesq. Anche nel caso del sistema di Boussinesq è possibile scrivere una disuguaglianza dell’energia. Ma quest’ultima è meno precisa rispetto al caso delle equazioni di Navier-Stokes e non permette nemmeno di affermare con certezza che l’energia cinetica diminuisca nel tempo. Tuttavia, ci si aspetterebbe che la temperatura (e perciò anche la densità), in assenza di fonti di calore esterne e dopo un tempo indefinitamente lungo, tendesse a stabilizzarsi nel fluido ad un valore costante, e che quindi l’importanza dei moti convettivi tendesse a diminuire. Se questa ipotesi fosse corretta, questo significherebbe che il comportamento delle soluzioni del sistema di Boussinesq sarebbe comparabile a quello delle equazioni di Navier-Stokes, quantomeno per tempi lunghi: in particolare, l’energia dovrebbe decadere a zero. Negli anni novanta, un articolo [6] di due ricercatori dell’AMSS, l’Accademia Cinese delle Scienze Matematiche e dei Sistemi, sembrava confermare questa ipotesi.

Ma, inaspettatamente, due nostri articoli recenti, [1] che ho scritto con Charafeddine Mouzouni e [2] con Maria Schonbek, hanno completamente ribaltato questa conclusione. Abbiamo innanzitutto individuato la presenza di un errore cruciale in un teorema dei nostri colleghi dell’AMSS. Questo errore era sfuggito per circa 20 anni, un fatto abbastanza raro in matematica! Soprattutto, i nostri lavori dimostrano che, se accettiamo l’approssimazione di Boussinesq, l’energia cinetica totale dei moti convettivi solo in alcuni casi decade a zero: nella maggior parte delle situazioni, in realtà, questa energia cresce indefinitamente con il passare del tempo! È la conoscenza del valore della temperatura media nel fluido, che è costante nel tempo, che permette di decidere quale tra questi due comportamenti radicalmente opposti avrà luogo.

L’articolo dei ricercatori dell’AMSS rimane comunque un contributo utile, se non per i risultati che esso contiene, poi contraddetti dai nostri, ma almeno per quanto riguarda i metodi che esso sviluppa, che si sono rivelati fecondi.

Le conclusioni a cui siamo arrivate sono ottenute in una situazione idealizzata in cui nessuna parete limita il movimento dei fluidi. Non si applicano (per fortuna!) al caso di una pentola piena d’acqua scaldata sul fuoco, che è certamente il caso più comune di un moto convettivo. Hanno tuttavia il merito di portare ad una comprensione più profonda dell’approssimazione di Boussinesq, e dei suoi limiti di applicabilità.

Lorenzo Brandolese

Per saperne di più:

[1] L. Brandolese, C. Mouzouni, A short proof of the large time energy growth for the Boussinesq system J. Nonlinear Sci. 27, N.5 (2017), 1589-1608.

[2] L. Brandolese, M. E. Schonbek, Large time decay and growth for solutions of a viscous Boussinesq system, Trans. Amer. Math. Soc. 364(2012) 5057-5090

[3] D. J. Tritton, Physical fluid dynamics, Oxford Science Publication. Second Edition, 1988.

[4] T. Kato, Strong Lp-solutions of the Navier-Stokes equation in R$$^m$$, with applications to weak solutions, Math. Z. 1984, 187, Issue 4, pp. 471–480.

[5] K. Masuda, Weak solutions of the Navier-Stokes equations, Tohoku Math. J. 1984, 36, Issue 4, p. 623-646

[6] B. Guo, G. Yuan. On the suitable weak solutions for the Cauchy problem of the Boussinesq equations, Nonlinear Analysis 26, N.8, 1367–1385 (1996). MR1377668 (97b:35152)