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Dopo il mio articolo su un problema di terza elementare impossibile, sono stato amichevolmente rimbrottato da più parti per il seguente passaggio nella dimostrazione della Proposizione 2:

Ogni lato del poligono ha lunghezza pari alla radice quadrata di un numero intero positivo, grazie al teorema di Pitagora. Se un lato ha lunghezza non intera, allora ha lunghezza irrazionale e di conseguenza anche il perimetro non ha lunghezza intera.

“Ma come fai a dire che se i lati sono irrazionali allora il perimetro ha lunghezza irrazionale?”

“Come fa quel passaggio ad essere alla portata degli studenti delle medie?”

Metto le mani avanti: quel passaggio non è (almeno che io sappia) alla portata degli studenti delle medie. Ne ero più che consapevole, ma ciò nonostante, a parte quell’atto di fede (che lo studente può ben fare, spinto dall’insegnante), il resto è davvero fattibile.

L’articolo “Il perimetro è pari!” era pensato principalmente per insegnanti della scuola primaria. Ho incluso la Proposizione 2 semplicemente per far vedere come da un semplice esercizio (per di più sbagliato) si possa fare una riflessione molto ampia.

Ma giustamente i lettori di madd:maths! sono pignoli (come tutti i matematici). Viste le tante richieste, riscrivo in modo più completo la dimostrazione.

Proposizione 2. Un poligono con tutti i vertici su una griglia quadrettata e perimetro intero, ha perimetro pari.

Dimostrazione. Ogni lato del poligono ha lunghezza pari alla radice quadrata di un numero intero positivo, grazie al teorema di Pitagora, ovvero pari a \(n\sqrt{k}\), dove tutti i primi della scomposizione in primi \(k\) appaiono alla prima potenza e \(n\) è un intero positivo. Il perimetro \(P\) del poligono è pertanto:

\(P\ =\ n_0+\sum_{i=1}^K n_i\sqrt{k_i}\)

dove gli \(n_i\) sono interi positivi e i \(k_i\) interi maggiori di 1 senza quadrati nella propria scomposizione in primi. Ma le radici di numeri interi senza quadrati sono linearmente indipendenti su \(\mathbb Q\), vedi ad esempio il teorema 4 in questo file, di Eric Jaffe. La dimostrazione coinvolge l’estensione di campi e non è affatto elementare.

Pertanto se \(P\) è intero,si ha che

\(P\ =\ n_0+\sum_{i=1}^K n_i\sqrt{k_i}=N\in\mathbb N\)

e quindi

\((n_0-N)+\sum_{i=1}^N n_i\sqrt{k_i}=0\)

per cui \(n_0=N\) e tutti gli altri \(n_i\) sono nulli. Pertanto tutti i lati sono interi.

Ogni lato deve avere lunghezza intera. Ciò accade se e solo se il lato giace sulla griglia, oppure è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui lati formano una terna pitagorica. Modifichiamo la linea chiusa del perimetro del poligono sostituendo questa ipotenusa con i due cateti.

Se i due cateti sono entrambi di lunghezza pari (o entrambi di lunghezza dispari —questo caso è in realtà impossibile, come si dimostra con le congruenze modulo 4), è pari anche il quadrato dell’ipotenusa e quindi l’ipotenusa; se i due cateti hanno uno lunghezza pari e uno dispari, è dispari il quadrato dell’ipotenusa e quindi l’ipotenusa, ovvero la parità della somma delle lunghezze dei cateti è uguale alla parità della lunghezza dell’ipotenusa. Pertanto tale operazione non modifica la parità della lunghezza della curva chiusa.

Con un numero finito di queste sostituzioni, arriviamo ad una curva chiusa che giace sulla quadrettatura. La sua lunghezza ha la stessa parità del perimetro del poligono e, per la dimostrazione della Proposizione 1, è pari.

\(\fbox{ }\)

Indubbiamente c’era (un bel po’ di) polvere sotto il tappeto. Come sempre, il diavolo si nasconde nei dettagli. Ma penso che il filo del ragionamento da provare a stimolare negli studenti sia interessante comunque, eventualmente facendo presente che quel passaggio è molto complicato da giustificare.

Alberto Saracco

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