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Continua la rubrica Curiosità olimpiche, analizzando la genesi del problema presentato nella seconda puntata.

C’è un esercizio, problema o dimostrazione che secondo voi ha un qualcosa di unico? Segnalateceli!

3 – LA GENESI DI UN PROBLEMA

Dopo la pubblicazione della seconda puntata, ho parlato con Francesco Morandin, che mi ha svelato i retroscena della genesi del problema con risposta 42. Se non l’avete letta o se non avete ancora risolto l’esercizio proposto, fatelo prima di continuare a leggere. In questa puntata, svelando la genesi del problema, daremo un ulteriore aiuto per la risoluzione.

Come abbiamo già commentato, spesso nei dati dei problemi, siano esercizi delle gare individuali o delle gare a squadre, è l’anno corrente. Per farsi venire delle idee sui problemi, i collaboratori delle Olimpiadi spesso sviscerano a fondo le proprietà di tale numero.

L’anno corrente, all’epoca, era il 2009. La prima immediata osservazione è che

$$2009 = 7^2 \cdot 41\,.$$

Dalla scomposizione in fattori primi di un numero naturale $$n$$ si possono ricavare moltissime informazioni, come quanti sono i suoi divisori o quanti sono i numeri naturali minori di $$n$$ coprimi con $$n$$: tale valore viene indicato con $$\phi(n)$$. La funzione $$\phi$$ è detta funzione $$\phi$$ di Eulero o funzione toziente.

Parte tecnica. Se non si vuole affrontarla si può saltare fino alla prossima scritta in rosso. Data la scomposizione in numeri primi di $$n$$

$$n = p_1^{\alpha_1}\cdot \cdots \cdot p_k^{\alpha_k}$$

si ha che

$$\phi(n) = \left((p_1-1)p_1^{\alpha_1-1}\right)\cdot \cdots \cdot \left((p_k-1)\cdot p_k^{\alpha_k-1}\right)\,.$$

Ciò può essere provato come mostrato qui oppure utilizzando il teorema cinese del resto e l’osservazione che se $$p$$ è un numero primo allora i numeri non comprimi con $$p^\alpha$$ sono tutti e soli i multipli di $$p$$, ovvero $$p^{\alpha-1}$$ tra $$1$$ e $$p^\alpha$$.

Riprendi da qui.  Pertanto

$$\phi(2009) = 6 \cdot 7 \cdot 40 = 42 \cdot 40\,.$$

Osservato che 42 divide esattamente $$\phi(2009)$$, il problema era quasi nato. Con questo suggerimento, riuscite a risolvere l’esercizio?

Per arrivare al problema, mancava solo un’ultima osservazione, ovvero il fatto che

$$\phi(2009) = 6 \cdot 7 \cdot 40 = 42 \cdot 40 = 8 \cdot \frac{21\cdot 20}{2}$$

$$\phi(2009)$$ è esattamente 8 volte un numero triangolare. I numeri triangolari sono collegati alle coppie di oggetti e il problema è servito!

Alberto Saracco

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